Questions du sujet
1. Montrer que si $n \in \mathbb{N}$, l’application $u_n : R_n[X] \to R_n[X]$ donnée par la formule $u_n(P)(X) = X^n P(\frac{1}{X})$ est bien définie, et que c’est une symétrie. 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur ses coefficients pour qu’un polynôme non nul de $\mathbb{R}[X]$ appartienne à $\mathcal{P}$ (respectivement à $\mathcal{D}$). 3. Établir que si $R \in \mathbb{R}[X]$ est réciproque (c’est-à-dire $R \in \mathcal{P} \cup \mathcal{D}$) et $x$ est une racine de $R$, alors $x$ est non nul et $\frac{1}{x}$ est aussi une racine de $R$. Montrer par ailleurs que tout polynôme de $\mathcal{D}$ admet $1$ pour racine, et que tout polynôme de $\mathcal{P}$ de degré impair admet $-1$ pour racine. 4. Étant donné trois polynômes $P,Q,R$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que $P = Q R$, montrer que si deux d’entre eux sont réciproques, alors le troisième l’est aussi. Établir un lien entre les espèces de ces trois polynômes réciproques. 5. Vérifier que $P \in \mathcal{P}$ implique $(X-1)P \in \mathcal{D}$. Réciproquement, montrer que si $D \in \mathcal{D}$, il existe un unique $P \in \mathcal{P}$ tel que $D = (X-1)P$.} 6. Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes de $\mathcal{P}$ de degré impair dans $\mathbb{R}[X]$. 7. Montrer que si $p \in \mathbb{N}$, alors il existe un unique $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que : $$ X^p + \frac{1}{X^p} = P\left(X + \frac{1}{X}\right) $$ Quel est le degré de $P$? 8. Montrer que $R$ est réciproque de première espèce et de degré pair. En déduire qu’il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, on ait l’équivalence $R(x) = 0 \Longleftrightarrow P(x + \frac{1}{x}) = 0$. Y a-t-il unicité du polynôme $P$ ? de $\deg(P)$ ? 9. Vérifier que $S_{i,j}$ et $S’_{i,j}$ sont des ensembles finis et montrer que l’application $$ S_{i+1,j} \longrightarrow S’_{i,j} \\ u \longmapsto (u_{k})_{0, …, i} $$ est bien définie et bijective. 10. Montrer que $s’_{i,j+1} = s_{i,j+1} + s’_{i,j}$ et en déduire que $s’_{i+1,j+1} = s’_{i,j+1} + s’_{i+1,j}$.} 11. Prouver que $s’_{i,j} = \binom{t+j-1}{i}$ et en déduire la valeur de $s_{i,j}$. 12. Établir le résultat lorsque $A$ est inversible. 13. Conclure en considérant la suite $(A – \frac{\lambda}{t} I_{n})_{k \in \mathbb{N}^{*}}$. 14. Montrer que $S$ est diagonalisable. La diagonalisation pour $n = 0$ et $1$, et calculer pour $p > 0,\ i=1,\ 0 \leq i \leq 2$. 15. Montrer que l’application $\psi : (R_n[X])^2 \to \mathbb{R}$ définie par la formule $$ \psi(P,Q) = \int_{0}^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t}dt $$ est un produit scalaire. On suppose désormais $R_n[X]$ muni de celui-ci.} 16. Vérifier que la famille $\mathcal{B} = (B_0,B_1,\ldots,B_n)$ définie par $B_i = \frac{X^i}{i!}$ est une base de $R_n[X]$ et évaluer $\psi(B_i,B_j)$ pour $i,j \in \{0,\ldots,n\}$. En déduire que $S$ est définie positive. Que peut-on en conclure sur les rangs de $S$ et de $S’$ ? 17. Pour $i \in \{0,1,…,n\}$ fixé, vérifier que pour tous $j, k \in \mathbb{N}$, $f_i^{(k)}(t) = o(t^{-k})$ quand $t \to +\infty$. Montrer que la formule suivante : $$ L_i(t) = \frac{(-1)^i f_i^{(i)}(t)}{i!}\ e^{t} $$ définit un polynôme $L_i \in \mathbb{R}[X]$ dont on déterminera les coefficients. 18. Montrer que $\mathcal{L} = (L_0, L_1, …, L_n)$ est une base orthonormale de $R_n[X]$. (On pourra au préalable calculer $\psi(L_i,B_j)$ pour $j \leq i$.) 19. Expliciter $T$ et $U$ et les comparer à la matrice de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{L}$. En déduire $S$ en fonction de $U$, puis les valeurs de $\det(S)$ et $\det(S’)$. 20. Calculer $(DU)^2$ et en déduire que $S^{-1}$ est semblable à $U U^t$, où $U^t$ désigne la transposée de $U$.} 21. En conclure que $\Phi_S$ est un polynôme réciproque ou réciproque de quelle espèce.}FAQ
L’application \( u_n \) est une symétrie car elle est involutive, c’est-à-dire que \( u_n \circ u_n = \text{Id} \). En effet, en appliquant deux fois \( u_n \) à un polynôme \( P \), on retrouve \( P \) : \( u_n(u_n(P)) = P \). De plus, elle est bien définie car si \( P \in R_n[X] \), alors \( u_n(P) \) est aussi un polynôme de degré au plus \( n \).
Un polynôme \( P \) de degré \( n \) est réciproque de première espèce (\( \mathcal{P} \)) si ses coefficients vérifient \( a_k = a_{n-k} \) pour tout \( k \). Il est de deuxième espèce (\( \mathcal{D} \)) si ses coefficients vérifient \( a_k = -a_{n-k} \) pour tout \( k \). Ces conditions assurent la symétrie des racines par rapport à l’inversion \( x \mapsto \frac{1}{x} \).
Si \( R \) est un polynôme réciproque et \( x \) une racine non nulle de \( R \), alors \( \frac{1}{x} \) est aussi une racine. Cela découle de la propriété \( R(x) = 0 \Rightarrow R(\frac{1}{x}) = 0 \), car \( R \) est invariant (ou anti-invariant) sous l’action de \( u_n \). De plus, les polynômes de \( \mathcal{D} \) ont toujours \( 1 \) comme racine, et ceux de \( \mathcal{P} \) de degré impair ont \( -1 \) comme racine.
Si deux des trois polynômes \( P, Q, R \) dans \( P = QR \) sont réciproques, alors le troisième l’est aussi. De plus, si \( P \) et \( Q \) sont de même espèce (tous deux dans \( \mathcal{P} \) ou \( \mathcal{D} \)), alors \( R \) est aussi de cette espèce. Sinon, \( R \) est de l’autre espèce. C’est une propriété fondamentale des polynômes réciproques.
Si \( P \in \mathcal{P} \), alors \( (X-1)P \in \mathcal{D} \). Réciproquement, tout polynôme \( D \in \mathcal{D} \) peut s’écrire de manière unique sous la forme \( D = (X-1)P \) avec \( P \in \mathcal{P} \). Cela montre un lien structurel entre les deux types de polynômes réciproques.
Les polynômes de \( \mathcal{P} \) de degré impair ont toujours \( -1 \) comme racine. Cela découle de leur symétrie et du fait que leur degré est impair, ce qui impose une racine en \( -1 \) pour satisfaire la condition \( P(-1) = 0 \).
Il existe un unique polynôme \( P \) de degré \( p \) tel que \( X^p + \frac{1}{X^p} = P\left(X + \frac{1}{X}\right) \). Ce polynôme est lié aux polynômes de Tchebychev et peut être construit par récurrence. Son degré est exactement \( p \).
Un polynôme réciproque de première espèce et de degré pair \( R \) peut s’écrire sous la forme \( R(x) = x^n P\left(x + \frac{1}{x}\right) \), où \( P \) est un polynôme de degré \( n/2 \). Les racines de \( R \) sont ainsi liées à celles de \( P \) via la transformation \( y = x + \frac{1}{x} \).
L’application qui associe à un élément de \( S_{i+1,j} \) sa restriction aux \( i+1 \) premiers termes est bijective car elle est injective et surjective. Cela découle de la structure combinatoire des ensembles \( S_{i,j} \) et \( S’_{i,j} \), qui sont finis et de même cardinal.
La relation \( s’_{i+1,j+1} = s’_{i,j+1} + s’_{i+1,j} \) se déduit de la relation \( s’_{i,j+1} = s_{i,j+1} + s’_{i,j} \) en utilisant la structure combinatoire des coefficients. Cela ressemble à la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux, ce qui suggère une interprétation en termes de chemins ou de partitions.
On montre que \( s’_{i,j} = \binom{i+j-1}{i} \) en utilisant une récurrence et une interprétation combinatoire. Ensuite, on en déduit \( s_{i,j} \) en utilisant la relation \( s_{i,j} = s’_{i,j} – s’_{i-1,j} \). Ces formules sont essentielles pour résoudre les problèmes de dénombrement associés.
Le produit scalaire \( \psi(P,Q) = \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t}dt \) est défini positif car l’intégrale d’une fonction positive non nulle est strictement positive. La famille \( \mathcal{B} = (B_0, \ldots, B_n) \) avec \( B_i = \frac{X^i}{i!} \) est orthogonale pour \( \psi \), ce qui montre que \( \psi \) est bien un produit scalaire.
La famille \( \mathcal{L} = (L_0, \ldots, L_n) \) définie par \( L_i(t) = \frac{(-1)^i f_i^{(i)}(t)}{i!} e^t \) est une base orthonormale de \( R_n[X] \) pour \( \psi \). Les polynômes \( L_i \) sont obtenus par orthogonalisation de Gram-Schmidt à partir de la base \( \mathcal{B} \).
Le déterminant de \( S \) est lié à la matrice de passage \( U \) entre les bases \( \mathcal{B} \) et \( \mathcal{L} \). On montre que \( S = U U^t \), ce qui permet de calculer \( \det(S) = \det(U)^2 \). Comme \( U \) est triangulaire, son déterminant est le produit de ses coefficients diagonaux.
On utilise la relation \( (DU)^2 = S \) pour montrer que \( S^{-1} \) est semblable à \( U U^t \). Cela découle de la diagonalisation de \( S \) et de la structure de \( U \), qui est une matrice triangulaire supérieure.
Le polynôme \( \Phi_S \) est réciproque car il est associé à une matrice symétrique \( S \), dont les propriétés de symétrie se reflètent dans les coefficients du polynôme. Cela découle de la structure algébrique sous-jacente et des relations entre les racines.