Questions du sujet
1. Justifier que l’espace vectoriel $\mathbb{C}^n$ est somme directe des espaces $F_i : \mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$. 2. En considérant une base de $\mathbb{C}^n$ adaptée à la somme directe précédente, montrer que pour tout $i \in \{1,…, r \}$, le polynôme caractéristique de $f_i$ est $P_i$. (On pourra d’abord établir que $P_i$ est un polynôme annulateur de $f_i$.) 3. Montrer qu’il existe une matrice inversible $P$ de $M_n(\mathbb{C})$ telle que $A_0 = P^{-1}AP$ soit une matrice définie par blocs de la forme suivante :\\ \[ A_0= \begin{pmatrix} \lambda_1I_{\alpha_1} + N_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \lambda_rI_{\alpha_r} + N_r \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_rI_{\alpha_r} + N_r \end{pmatrix} \] où $N_i \in M_{\alpha_i}(\mathbb{C})$ est nilpotente pour tout $i \in \{1,\ldots, r\}$. 4. En déduire que la matrice $A$ s’écrit sous la forme $A = D + N$, où $D$ est une matrice diagonalisable et $N$ une matrice nilpotente de $M_n(\mathbb{C})$ qui commutent.\\ Les matrices $D$ et $N$ vérifiant ces conditions constituent la décomposition de Dunford de la matrice $A$. Dans toute la suite du problème, on admettra l’unicité de cette décomposition, c’est-à-dire que $D$ et $N$ sont déterminées de façon unique par $A$. 5. Calculer la décomposition de Dunford de $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.} 6. Soit $P$ une matrice inversible de $M_n(\mathbb{C})$. Calculer $\mathrm{conj}_P^{-1} \circ \mathrm{comm}_A \circ \mathrm{conj}_P$. 7. Si $A$ est une matrice diagonale, montrer que pour tous $i, j \in \{1,2,…,n\}$, $\mathrm{comm}_A$ admet $E_{i,j}$ comme vecteur propre. Déterminer l’ensemble des valeurs propres de $\mathrm{comm}_A$. 8. En déduire que si $A$ est diagonalisable, $\mathrm{comm}_A$ l’est aussi. 9. Montrer que si $A$ est nilpotente, $\mathrm{comm}_A$ l’est également, c’est-à-dire qu’il existe un entier $k > 0$ pour lequel $(\mathrm{comm}_A)^k$ est l’endomorphisme nul de $M_n(\mathbb{C})$. 10. Montrer que si $A$ est nilpotente, et si $\mathrm{comm}_A$ est l’endomorphisme nul, alors $A$ est la matrice nulle.} 11. Déterminer la décomposition de Dunford de $\mathrm{comm}_A$ à l’aide de celle de $A$ et conclure. 12. Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Démontrer les implications suivantes :\\ (i) $u$ est diagonalisable $\implies$ (ii) $\ker u = \ker(u^2) \implies$ (iii) $\ker u \cap \mathrm{Im}\,u = \{0\}$. 13. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, de dimension $q$, et soit $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_q)$ une base de $F$. Pour tout $i \in \{1,\ldots,q\}$, on note $\varphi_i$ la forme linéaire sur $E$ définie par $\varphi_i(x) = b(\varepsilon_i, x)$.\\ Montrer que $(\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_q)$ est une famille libre de $E^*$. 14. On complète cette famille libre en une base $(\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_p)$ de $E^*$ et on note $(e_1,e_2,\ldots,e_p)$ la base de $E$ antéduale (dont $(\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_p)$ est la base duale).\\ Montrer que $F^{\perp_b}$ est engendré par $(e_{q+1},e_{q+2},\ldots,e_p)$, et en déduire la valeur de $\dim F + \dim(F^{\perp_b})$. 15. Montrer que l’application $\varphi$ de $M_n(\mathbb{C}) \times M_n(\mathbb{C})$ dans $\mathbb{C}$, définie par la formule $\varphi(X,Y) = \mathrm{tr}(XY)$ pour tous $X,Y \in M_n(\mathbb{C})$, est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.} 16. Établir l’égalité $ \left( \ker(\mathrm{comm}_A)\right)^{\perp_\varphi} = \mathrm{Im}(\mathrm{comm}_A)$. 17. En déduire que si $A$ est nilpotente, il existe une matrice $X$ de $M_n(\mathbb{C})$ telle que $A = \mathrm{comm}_A(X)$. Calculer alors $\mathrm{comm}_{A+\lambda I_n}(X)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$. 18. Soit $D$ et $N$ les matrices de la décomposition de Dunford de $A$ définies à la question 4).\\ Démontrer qu’il existe une matrice $X$ de $M_n(\mathbb{C})$ telle que $N = \mathrm{comm}_A(X)$. 19. Conclure.}FAQ
La décomposition de Dunford permet d’écrire toute matrice comme la somme unique d’une matrice diagonalisable et d’une matrice nilpotente qui commutent. C’est fondamental en algèbre linéaire car cela structure l’étude des endomorphismes. Au concours Mines-Ponts, maîtriser cette notion te permet de résoudre efficacement les questions sur la réduction des matrices, la compréhension de leurs spectres, et d’aborder sereinement les manipulations d’endomorphismes et de matrices, notions incontournables du programme de MP.
L’opérateur commutateur, comm_A(X) = AX – XA, émerge fréquemment lorsque tu étudies les propriétés des matrices, notamment leur spectre, leur structure de commutant et les problèmes de similitude. Dans ce sujet Mines-Ponts 2011, tu vois comment cet opérateur agit et comment sa propre décomposition de Dunford peut être reliée à celle de la matrice A. C’est donc un outil puissant pour explorer toutes les interactions internes dans l’algèbre des matrices, au cœur des problèmes de concours.
Pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable, il faut que le polynôme minimal se scinde en produits simples de facteurs linéaires et que l’espace se décompose totalement en sous-espaces propres. Pour qu’il soit nilpotent, il doit exister un entier k tel que u^k = 0. Ces deux adjectifs sont à la racine de presque tous les outils en algèbre linéaire, y compris la décomposition canonique et les réductions matricielles. Savoir jongler entre ces propriétés, c’est disposer d’une lecture fine des matrices rencontrées dans les épreuves du concours MP. Pour développer ta maitrise, débloque les corrigés sur Prépa Booster et entraîne-toi avec les énoncés et corrigés détaillés.
La notion de forme bilinéaire, comme celle définie par le produit scalaire trace φ(X, Y) = tr(XY), permet d’introduire des concepts d’orthogonalité dans M_n(C). Cela sert notamment à caractériser les noyaux et images d’endomorphismes comme comm_A. Maîtriser ces outils, c’est savoir utiliser le cadre des espaces vectoriels pour résoudre les problèmes qui touchent à la structure fine des applications linéaires et des matrices, domaine très apprécié des jurys du concours.
Choisir une base adaptée (par exemple, une base de diagonalisabilité ou de blocs de Jordan) permet de simplifier l’expression des matrices représentant les endomorphismes et rend plus accessible le calcul de polynômes caractéristiques, de noyaux ou d’images. Cette méthode est une arme puissante dans les sujets de type Mines-Ponts, en particulier pour les questions sur les sommes directes ou la réduction par blocs. Une bonne stratégie consiste toujours à réfléchir à la structure intrinsèque de l’endomorphisme pour sélectionner la base qui te permet d’aller au bout du problème rapidement.
En mathématiques CPGE, chaque sujet comme celui de 2011 te fait réviser des piliers du programme (espaces vectoriels, endomorphismes, matrices, formes bilinéaires…) dans des contextes variés. S’entraîner sur les annales permet de repérer les méthodes récurrentes, d’anticiper les difficultés rencontrées le jour J et d’approfondir sa maîtrise en vue du concours. Pour compléter ta préparation et accéder aux corrigés complets, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster, tu profiteras aussi du dashboard personnalisé pour suivre tes progrès.