Questions du sujet
1. 1) Montrer que les deux séries qui entrent dans la définition de g_f(z) sont convergentes pour tout z \in D. \\ Soit S(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n la somme d’une série entière de rayon de convergence \geq 1.} 2. 2) Au moyen d’une dérivation terme à terme d’une série de fonctions de variable réelle, justifier que l’application S^{\hspace{-1pt}\mathrm{e}} : D^{\hspace{-1pt}\mathrm{e}} \to \mathbb{C} admet une dérivée partielle par rapport à x qui est continue sur D^{\hspace{-1pt}\mathrm{e}}, et exprimer \frac{\partial S^{\hspace{-1pt}\mathrm{e}}}{\partial x} (x, y) sous la forme de la somme d’une série.} 3. 3) Montrer que S est de classe C^2 sur D et déterminer \Delta S(z) pour tout z \in D.} 4. 4) En déduire que g_f est de classe C^2 sur D et que \Delta g_f(z) = 0 pour tout z \in D.} 5. 5) En tenant compte de la définition des c_n dans l’expression de g_f(z), montrer que \\ g_f(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(e^{it})P_z(t) dt.} 6. 6) Déterminer g_f pour f = p_n et f = q_n, où n \in \mathbb{N}. Donner la valeur de l’intégrale \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P_z(t) dt et étudier le signe de P_z(t) pour tout t \in \mathbb{R}.} 7. 7) Montrer que si (f_n)_{n\in\mathbb{N}} est une suite d’éléments de C(T) qui converge uniformément vers f sur T, alors G_{f_n} converge uniformément vers G_f sur D.} 8. 8) Soit \mathcal{P}(T) le sous-espace vectoriel de C(T) engendré par \{p_n ; n \in \mathbb{N}\} \cup \{q_n ; n \in \mathbb{N}\}. Justifier que tout élément de C(T) est limite uniforme d’une suite d’éléments de \mathcal{P}(T), et en déduire que G_f est continue sur D.} 9. 9) On suppose dans cette question que f est la fonction nulle et que G est à valeurs réelles. Soit \varepsilon > 0 et u : D \to \mathbb{R} définie par u(z) = G(z)+\varepsilon|z|^2. Montrer que \Delta u(z) > 0 pour tout z \in D. En déduire que u(z) \leq \varepsilon pour tout z \in D (on pourra considérer, après en avoir justifié l’existence, un point z_0 \in D où u atteint son maximum.)} 10. 10) Conclure dans le cas particulier de la question précédente, puis dans le cas général. (On pourra d’abord étendre la conclusion au cas où f est nulle mais G est à valeurs complexes.)} 11. 11) Montrer que G vérifie la condition (a3) et en déduire, pour tout n \in \mathbb{Z}, la valeur de l’intégrale \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{\cos t}\cos(\sin t)\cos(nt) dt. \]} 12. 12) Montrer que u est de classe C^2 et telle que \Delta u = 0 sur U si et seulement si, pour tout disque fermé D(a,R) contenu dans U et pour tout z \in D(a,R), on a \[ u(z) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} u(a + Re^{it})\;P_{\frac{z – a}{R}}(t)dt. \]} 13. 13) Déduire de la question précédente que si la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers une fonction u, alors u est également de classe C^2 et telle que \Delta u = 0 sur U.} 14. 14) Montrer que \varphi_z vérifie ces quatre propriétés.} 15. 15) Montrer que si \varphi vérifie les conditions (c1), (c2) et (c3), alors \varphi = \varphi_z.} 16. 16) Calculer N(h)^2 en fonction de N(f) et de \lambda.} 17. 17) En étudiant |\varphi(h)|^2, montrer que \varphi(f) \in \mathbb{R} puis que \varphi(f) \geq 0.} 18. 18) En déduire que \varphi(\overline{f}) = \overline{\varphi(f)} pour tout f \in C(T), et conclure.}FAQ
Au concours Mines-Ponts, on retrouve fréquemment l’étude des fonctions harmoniques, leur régularité (classe C²), la résolution de l’équation de Laplace (Δu=0), ou encore l’analyse de séries entières et de leur rayon de convergence. Tu seras aussi amené à manipuler des séries de fonctions, leur dérivation terme à terme, et à savoir exprimer des fonctions analytiques via des formules intégrales (type Poisson). Maîtriser ces outils te permet non seulement de réussir l’épreuve, mais aussi de mieux comprendre les liens profonds entre analyse réelle et complexe.
La formule de Poisson sur le disque est fondamentale car elle relie les valeurs d’une fonction harmonique à l’intérieur du disque à ses valeurs sur le bord. C’est l’outil incontournable pour caractériser les solutions de l’équation de Laplace avec conditions aux limites, pour montrer la régularité des solutions ou l’unicité. Tu la retrouves si souvent car elle fait le lien entre analyse harmonique, fonctions analytiques, séries de Fourier, et, plus généralement, la résolution des EDP les plus classiques.
L’épreuve 2010 MP Mines-Ponts te demande de bien manier les polynômes trigonométriques (p_n, q_n), les propriétés d’orthogonalité, et de comprendre comment une fonction continue sur le cercle peut s’approximer par des combinaisons linéaires de ces fonctions. Cela permet, via la densité des polynômes trigonométriques dans C(T), d’établir des résultats de convergence uniforme et donc de construire ou de justifier la solution d’EDP comme l’équation de Laplace. C’est un point fondamental du programme CPGE MP et du concours.
Pour dériver terme à terme une série entière ou une série de fonctions, il faut connaître et savoir citer les hypothèses de convergence uniforme locale (pour les séries entières, elle est assurée sur les compacts du disque de convergence). Il faut aussi être capable de rédiger clairement pourquoi la dérivation terme à terme est permise, en utilisant par exemple le théorème sur la dérivation des séries de fonctions. Ce point de rigueur est très surveillé au concours et valorisé dans la correction.
Les fonctions harmoniques sur un domaine borné atteignent leur maximum (et minimum) sur le bord du domaine – c’est le principe du maximum. C’est un outil puissant pour étudier l’unicité des solutions de l’équation de Laplace et obtenir des majorations. Dans le sujet, en ajoutant un ε|z|^2, tu peux utiliser ce principe pour établir des inégalités ou montrer qu’une solution harmonique doit être constante si elle atteint son extrémum à l’intérieur.
La densité des polynômes trigonométriques (ℙ(T)) dans l’espace des fonctions continues sur le cercle (C(T)) te permet de remplacer n’importe quelle fonction continue par une suite de polynômes trigonométriques qui l’approche uniformément. C’est fondamental pour prouver les propriétés des solutions de l’équation de Laplace (continuité, convergence uniforme) et justifier rigoureusement le passage à la limite dans des suites de problèmes approchés. Cette technique est très utilisée dans les sujets du concours.
Pour briller en démonstration d’existence et d’unicité, il faut systématiquement préciser : 1) le cadre régulier de la fonction (au moins C²), 2) que la solution vérifie l’équation Δu=0 et la condition au bord, 3) l’application du principe du maximum pour l’unicité, et pour l’existence, la construction explicite via la formule de Poisson suivie d’une justification de convergence et de régularité. Tu donnes ainsi une rédaction complète, valorisée par les correcteurs.
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