Questions du sujet
1. Soit $f \in E$. On suppose, dans cette question, que $f$ admet des moments de tous ordres. Montrer l’existence de $\varphi_f$ et de ses dérivées successives que l’on exprimera à l’aide de $f$. 2. Montrer que pour tout réel $x$ et tout entier $n \geq 1$, \[ \left|e^{ix} – \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(ix)^m}{m!}\right| \leq \frac{|x|^n}{n!}. \] 3. Soit $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$. Montrer que la fonction $h_{a,b}$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[ h_{a,b}(t) = \begin{cases} \dfrac{e^{-i t a} - e^{-i t b}}{i t} & \text{si } t \neq 0 \\ b-a & \text{si } t = 0 \\ \end{cases} \] est continue sur $\mathbb{R}$. 4. Montrer que pour tout réel $t$, $|h_{a,b}(t)| \leq b-a$. 5. Montrer que pour tout entier $k \geq 0$, $e^k \geq \dfrac{k^k}{k!}$.} 6. Exprimer $R(\theta,T)$ à l’aide de $S$. 7. Soit $x, y \in \mathbb{R}$. Calculer la limite de $R(x,T) - R(y,T)$ quand $T \to +\infty$ (on discutera de cette limite en fonction des signes de $x$ et $y$). 8. Soit $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $a < b$. Montrer que \[ \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-T}^T h_{a,b}(t)\varphi_f (t)dt = \int_a^b f(t)dt. \] 9. En déduire qu’étant donné deux fonctions $f$ et $g$ de $E$, si $\varphi_f = \varphi_g$, alors $f = g$. 10. Montrer que $f_0 \in E$.} 11. Montrer que $f_0$ admet des moments de tous ordres et calculer $a_k(f_0)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. 12. On introduit, pour $a \in [-1, 1]$, la fonction $f_a$ définie sur $\mathbb{R}$ par la formule \[ f_a(x) = f_0(x) \cdot (1+ a \sin(2\pi\ln x)). \] Montrer que $f_a \in E$, et que $a_k(f_0) = a_k(f_a)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$. 13. Montrer que, pour tout entier $k \geq 0$, on a l’inégalité \[ \left(b_{2k+1}(f)\right)^2 \leq a_{2k}(f) \cdot a_{2k+2}(f). \] 14. En déduire que la suite de terme général $b_k(f)^{1/k}$ est majorée par $2M$. 15. Montrer que pour tous $x$ et $h$ réels, et pour tout entier $n \geq 1$, \[ \left|\varphi_f(x + h)-\sum_{m=0}^{n-1} \frac{h^m}{m!} \varphi_f^{(m)}(x)\right| \leq \frac{|h|^n}{n!} b_n(f). \]} 16. Montrer que, pour un certain $A > 0$ que l’on exprimera en fonction de $M$, on a l’égalité \[ \varphi_f(x + h) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{h^m}{m!} \varphi_f^{(m)}(x) \] pour tout réel $x$ et pour tout $h$ tel que $|h| < A$. 17. En déduire que si $\ell$ est un entier $> 0$ et $g$ une fonction de $E$ admettant des moments de tous ordres tels que $a_k(f) = a_k(g)$ pour tout $k \in \mathbb{N}$, alors \[ \varphi_f(x) = \varphi_g(x) \] pour tout $x \in \left[ -\dfrac{\ell A}{2}, \dfrac{\ell A}{2} \right]$ (on pourra procéder par récurrence). 18. Conclure. 19. Résoudre en $f \in E$ le système d’équations suivant : \[ \begin{cases} a_{2k}(f) = (2k-1)a_{2k-2}(f) \\ a_{2k-1}(f) = 0 \end{cases} \quad \text{pour tout entier } k \geq 1. \]}FAQ
Ce sujet aborde principalement l’analyse réelle et complexe, avec des notions de moments d’une fonction, transformée de Fourier, continuité, inégalités classiques, développement en série, et unicité par les moments. On retrouve également de la manipulation d’intégrales, d’estimations majorantes, ainsi que des raisonnements par récurrence et par passage à la limite. Le tout est articulé autour d’exercices qui nécessitent une bonne maîtrise de l’analyse en CPGE.
Les moments d’une fonction, souvent notés \( a_k(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^k f(x) dx \), encapsulent des informations cruciales sur la fonction, comme son « barycentre », sa variance, etc. Dans ce sujet, connaître tous les moments permet d’exprimer la transformée de Fourier et de raisonner sur l’unicité par les moments, des outils essentiels en analyse, en probabilités et en physique mathématique.
La transformée de Fourier permet de passer du domaine temporel (ou spatial) au domaine fréquentiel. Dans ce sujet, elle sert à relier la fonction f à ses moments et à ses propriétés analytiques (existence, dérivabilité, continuité, etc.). Elle est aussi la clé pour prouver certaines identités d’intégration et pour établir l’unicité entre deux fonctions ayant la même transformée.
Tu retrouveras dans ce sujet des estimations sur des restes de développement limité (Taylor), des inégalités sur les séries, l’utilisation de bornes supérieures via la norme \( L^1 \) des fonctions, et la majoration par des fonctions simples contrôlant le comportement d’intégrales oscillantes ou à support compact. Les majorations type \( |h_{a,b}(t)| \leq b-a \) illustrent ces outils incontournables des concours.
L’unicité par les moments signifie qu’une fonction est déterminée de façon unique par la suite de ses moments (sous certaines conditions). Ce sujet t’amène à raisonner sur ce principe, notamment en reliant moments et transformée de Fourier. C’est un thème profond, présent à la fois en analyse, en probabilité et en physique, et qui nécessite rigueur et maîtrise des séries et des développements.
Le développement en série entière permet d’exprimer la transformée de Fourier et certaines fonctions associées (comme \( e^{ix} \)) sous forme de somme, ce qui est très utile pour effectuer des approximations et analyser la régularité (continuité, dérivabilité, etc.). Cela permet aussi de travailler efficacement sur les restes et sur la convergence, points essentiels à maîtriser au concours.
Pour réussir des raisonnements par récurrence, veille toujours à bien poser ton initialisation et ton hypothèse de récurrence. Le passage à la limite doit être justifié par les grands théorèmes d’analyse (domination, convergence dominée, etc.). Ces deux outils sont incontournables pour traiter des suites ou des familles de fonctions, et pour obtenir des formules générales à valider sur tout entier naturel.
Tu dois savoir manier la continuité et la différentiabilité, car ce sont les outils de base pour démontrer des propriétés d’intégrales dépendant d’un paramètre, passer à la limite, ou exprimer les développements de fonctions. Les sujets d’analyse de ce type testent ta compréhension profonde de ces notions, essentiels pour des preuves rigoureuses et des estimations précises.
Pour progresser, entraîne-toi sur des sujets annales similaires, travaille les techniques d’estimation d’intégrale, de manipulation de séries, et reprends tes classiques sur la transformée de Fourier. Tu peux aussi retrouver des exercices corrigés détaillés et un dashboard personnalisé en débloquant les corrigés sur Prépa Booster : tu bénéficieras d’un vrai suivi de ta progression, et de toutes les explications pour bien comprendre les corrections officielles.