Questions du sujet
1. Calculer $\chi(1)$. 2. Lorsque $N = 2$, déterminer $\chi$. 3. On suppose jusqu’à la fin de cette partie que $N = 4$. Montrer que $\chi(3)$ ne peut prendre que les valeurs $1$ ou $-1$. 4. On suppose maintenant que $\chi(3) = -1$. Montrer la convergence et calculer la valeur de la série \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n}. \]} 5. En considérant le produit $\, \prod_{k\in P} ak$, montrer que $a^{\varphi(N)} – 1$ est divisible par $N$. 6. Montrer que $|\chi(a)| = 1$. 7. Montrer que les $r_k$ sont deux à deux distincts. 8. Établir l’identité: \[ \sum_{k=1}^{N-1} \chi(ak) = \sum_{k=1}^{N-1} \chi(k). \] 9. On suppose dorénavant qu’il existe $a$ premier avec $N$ tel que $\chi(a) \neq 1$. Pour chaque entier $n$, calculer \[ \sum_{k=n}^{n+N-1} \chi(k). \] On pourra commencer par le cas $n = 0$.} 10. Montrer, pour tout $m > 0$, l’inégalité \[ \left|\, \sum_{k=1}^m \chi(k) \,\right| \leq \varphi(N). \] 11. Montrer que la suite $\left( \sum_{k=1}^n \frac{\chi(k)}{k}, \; n \geq 1 \right)$ est convergente.} 12. Pour tout entier $n \geq 1$, on pose $f_n = \sum_{d\,|\,n} \chi(d)$. Soient $n$ et $m$ deux entiers strictement positifs, premiers entre eux. Montrer que $f_{nm} = f_n f_m$. 13. Soit $p$ un nombre premier et $\alpha \in \mathbb{N}^{\ast}$. Calculer $f_{p^\alpha}$. 14. Pour tout entier $n \geq 1$, établir l’encadrement : $0 \leq f_n \leq n$. 15. Pour tout entier $n \geq 1$, montrer que $f_{n^2} \geq 1$. 16. Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n}{x^n}$. On note $f(x)$ la somme de cette série.} 17. Montrer pour tout $x \in [1/2, 1[$ : \[ f(x) \geq \frac{1}{\sqrt{-\ln(x)}} \int_{\ln(2)}^{+\infty} e^{-u^2} du. \] On pourra utiliser une comparaison d’une série à une intégrale. }FAQ
Un caractère de Dirichlet est une fonction arithmétique périodique et totalement multiplicative, souvent utilisée en théorie des nombres, particulièrement dans l’étude des séries de Dirichlet et des congruences. Dans ce sujet, ce concept apparaît de façon transversale pour aborder des thématiques variées : propriétés multiplicatives, comportement des séries associées, liens avec les fonctions indicatrices, et applications dans la divisibilité des entiers. Comprendre les caractères t’aide à développer une vision profonde des outils utilisés en maths pures, redoutablement efficaces en concours.
La convergence de séries comme \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n} \) fait souvent appel à des outils d’analyse classique (comme le critère de Dirichlet ou d’Abel), mais exige aussi une fine compréhension des propriétés du caractère (valeurs prises, périodicité, etc.). Savoir identifier les méthodes générales de convergence, comprendre le rôle de la périodicité, et bien manipuler les sommes partielles sont des compétences fondamentales que tu pourras renforcer grâce aux corrigés de Prépa Booster.
L’ordre d’un entier modulo un autre et la propriété d’être ‘premier avec’ (coprimalité) sont omniprésents quand on travaille avec les caractères, les restes modulo N, et des outils comme la fonction indicatrice d’Euler \( \varphi(N) \). Ces notions permettent de structurer les ensembles impliqués (restes, inversibles, etc.), de prouver des identités fondamentales, et d’exploiter les propriétés algébriques et arithmétiques. Maîtriser cela, c’est t’assurer de la robustesse de ton raisonnement en maths approfondies.
Un piège classique est de mal gérer la condition ‘premier avec N’ ou de confondre multiplication d’éléments en modulo avec la multiplication classique. Les subtilités des démonstrations sur la divisibilité liée à des caractères ou sur des sommes sur \( \varphi(N) \) termes sont nombreuses, et il est toujours utile de rédiger très précisément toutes les étapes. Sur Prépa Booster, tu trouveras toutes ces étapes détaillées dans les corrigés et des rappels de méthode pour sécuriser chaque point du barème sur ce type de question.
Plusieurs questions du sujet t’amènent à utiliser des encadrements, comme sur les sommes avec les caractères ou sur le comportement de certaines fonctions arithmétiques (encadrement de \( f_n \), inégalités sur les sommes partielles, etc.). Ces compétences sont précieuses, car elles permettent d’estimer des quantités complexes et de justifier rigoureusement une convergence ou une majoration. Savoir utiliser et prouver ces encadrements fait la différence en maths CPGE.
La multiplicativité permet de casser la complexité d’une fonction arithmétique en des facteurs plus simples, en jeu ici avec la fonction \( f_n = \sum_{d | n} \chi(d) \). Cette propriété ouvre la voie à des questions de factorisations, de produits eulériens, de séquences et parfois à des généralisations vers des formules analytiques. Pour bien maîtriser l’esprit concours, il faut savoir reconnaître et exploiter cette structure, un point clé souvent testé en épreuve.
Commence par maîtriser les fondamentaux sur les caractères, la structure modulo N et les sommes associées. Ensuite, entraîne-toi sur des exercices où tu dois prouver la convergence, manipuler des séries, ou établir des relations d’ordre et de divisibilité. Tous ces points sont explorés en détail dans les corrigés complets et l’espace d’entraînement personnalisé de Prépa Booster. Débloque les corrigés pour avoir une vision claire du raisonnement attendu et éviter les omissions fatales au barème.