Questions du sujet
1. Soit $z = (z_n, n \geq 1)$ une suite réelle. Rappeler les définitions suivantes : \[ \liminf_{n} z_n \quad \text{et} \quad \limsup_{n} z_n \] 2. Soit $(f_n(x), n \geq 1)$ une famille de fonctions réelles. Montrer que : \[ \liminf_{n} f_n(x) \leq \liminf_{n} f_n \leq \limsup_{n} f_n \leq \limsup_{n} f_n(x) \] 3. Soit $f$ une fonction mesurable et positive sur $\mathbb{R}$ telle que, pour un réel $\rho>0$, on ait pour tout $x\in\mathbb{R}$ : \[ 0 < f(x) \leq \frac{1}{\rho} \exp\left( \frac{1}{2}-\rho)x^2 \right) \] Montrer que $f$ est intégrable par rapport à la mesure de probabilité gaussienne normale centrée réduite. 4. Soit $H$ l'espace des fonctions mesurables et positives sur $\mathbb{R}$ telles que : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(u)e^{-u^2/2} du = \sqrt{2\pi} \] Montrer que l'opérateur intégral suivant définit une bijection de $H$ sur $H_0$ : \[ F_f(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u) e^{-u^2/2} du \] où $H_0$ est l'ensemble des fonctions croissantes de $\mathbb{R}$ dans $[0,\sqrt{2\pi}]$ qui tendent vers $0$ en $-\infty$ et vers $\sqrt{2\pi}$ en $+\infty$. 5. Montrer que l'opérateur $\varphi$ défini par l'égalité \[ \int_{-\infty}^{\varphi(x)} f(u) e^{-u^2/2} du = \int_{-\infty}^{x} e^{-u^2/2} du \] est une bijection croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$.} 6. Établir la formule suivante pour $h$ continue bornée : \[ \int_{-\infty}^{+\infty} h(u) f(u) e^{-u^2/2} du = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\varphi(u)) e^{-u^2/2} du \] 7. Justifier l'existence, pour $A>0$, $x\geq A$ : \[ \int_{x}^{x+1} \varphi^2(u) e^{-u^2/2} du \geq \varphi^2(x) e^{-(x+1)^2/2} \] 8. Justifier que pour $B>0$ et $|u|\geq B$ : \[ |\varphi(u)| \leq e^{(|u|+1)^2/4} \] 9. Soit \[ I = \int_{-\infty}^\infty (u\varphi(u) – u^2 – \varphi(u) + 1) e^{-u^2/2} du \] Calculer $I$. 10. Soit \[ E(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u)\ln(f(u)) e^{-u^2/2} du, \quad \Phi(f) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} |u – \varphi(u)|^2 e^{-u^2/2} du \] Exprimer $E(f)$ uniquement en fonction de $\varphi$.} 11. Montrer que \[ E(f) – \Phi(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(\varphi(u) – 1 – \ln(\varphi(u))\right) e^{-u^2/2} du \] 12. Montrer que $E(f) \geq \Phi(f)$, et donner le cas d’égalité. 13. Soit $\psi(x) = x \ln x$. Montrer que pour $f_n(u) = \frac{n-1}{n} g(u) + \frac{1}{n}$ où $g$ est une fonction positive intégrable : \[ E(f_n) \to E(g) \] 14. Notant $\varphi_n$ la fonction associée à $f_n$ comme plus haut et posant \[ \psi_1(x) = \liminf_n \varphi_n(x),\quad \psi_2(x) = \limsup_n \varphi_n(x) \] Montrer que pour tout $x$ réel : \[ \int_{-\infty}^{\psi_j(x)} g(u) e^{-u^2/2} du = \int_{-\infty}^x e^{-u^2/2} du \quad \text{pour } j=1,2 \] 15. Posons $a = \inf\{x \in \mathbb{R} : g(x) > 0\}$ et $b = \sup\{x \in \mathbb{R} : g(x)>0\}$. Montrer que $\psi_j(x)\to a$ lorsque $x\to -\infty$ et $\psi_j(x)\to b$ lorsque $x\to +\infty$.} 16. Soit $D = \{ x \in \mathbb{R} : \psi_1(x^+) – \psi_1(x^-) > 0\}$. Montrer que $|D| \leq b-a$. 17. Montrer que si pour un $x$, $\psi_1(x) < \psi_2(x)$ alors $g$ est non nulle sur $[\psi_1(x),\psi_2(x)]$. 18. Montrer si $g(\psi_1(x))>0$ alors $\psi_1$ est strictement croissante au voisinage à gauche de $x$. 19. Montrer que si $\psi_1$ est continue en $x$, alors $\psi_1(x) = \psi_2(x)$. 20. Soit $K$ un compact inclus dans $\mathbb{R}$. Montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, on peut recouvrir $K$ par un nombre fini d’intervalles sur lesquels la discontinuité de $\psi_1$ est au plus $\varepsilon$.} 21. Soit $(\varphi_n)$ une suite de fonctions comme ci-dessus. Montrer que pour tout $A>0$ : \[ \lim_{n \to +\infty} \int_{-A}^A |u-\varphi_n(u)|^2e^{-u^2/2} du = \int_{-A}^A |u-\psi_1(u)|^2 e^{-u^2/2} du \] }FAQ
La lim sup (limite supérieure) et la lim inf (limite inférieure) d’une suite réelle traduisent le comportement asymptotique de la suite. La lim sup correspond à la plus petite des bornes supérieures des queues de la suite, tandis que la lim inf est la plus grande des bornes inférieures. Elles permettent d’analyser la convergence et les phénomènes de divergences oscillantes. Pour approfondir la manipulation de ces notions et voir des exemples concrets issus du sujet Mines-Ponts 2005, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Pour établir l’intégrabilité d’une fonction sur ℝ pour la mesure gaussienne centrée réduite, il convient de vérifier que l’intégrale de la fonction, pondérée par la densité gaussienne e^{-u²/2}, est finie. Cela passe par une étude fine des bornes et des comportements aux infinis, souvent en utilisant des majorations appropriées. Ce type de question, fréquent au concours Mines-Ponts en filière MP, fait appel à la technicité de l’analyse en prépa. Si tu veux t’entraîner avec des applications concrètes et avoir un corrigé détaillé, pense à activer l’accès aux corrigés sur Prépa Booster.
Un opérateur intégral associe à chaque fonction f une nouvelle fonction F_f(x), généralement en intégrant f selon une certaine mesure jusqu’en x. Dans le contexte du concours Mines-Ponts MP 2005, on a examiné si un tel opérateur peut construire des applications bijectives entre espaces fonctionnels aux propriétés spécifiques (positivité, croissance, limites aux infinis…). Ces opérateurs sont fondamentaux en théorie des probabilités et en analyse, et leur étude éclaire sur la façon de relier des espaces de densités et de fonctions de répartition. Des exercices similaires et leur solution détaillée sont accessibles via Prépa Booster.
La mesure gaussienne normale centrée-réduite est un classique des concours, notamment en filière MP, car elle intervient aussi bien en probabilités, en statistiques qu’en analyse. Cette mesure offre des propriétés remarquables : elle est invariante par translation, dotée d’une queue rapidement décroissante, et reliée à de nombreux théorèmes fondamentaux. Travailler avec cette mesure prépare donc efficacement aux attentes des jurys, tant sur le plan technique que théorique.
Les changements de variable via des opérateurs monotones comme φ permettent de simplifier ou de réinterpréter des intégrales complexes. Cela sert notamment à ‘transporter’ des mesures ou des densités d’un espace fonctionnel à un autre, ce qui est central en probabilités et théorie de la mesure. Dans ce sujet Mines-Ponts 2005, il s’agit d’une illustration concrète de cette technique, souvent utilisée dans des problèmes d’inégalités, de transport optimal ou d’entropie en analyse avancée.
L’entropie et l’énergie sont deux fonctionnels importants en analyse et en probabilités. L’entropie (typiquement E(f)) mesure le ‘désordre’ ou la dispersion d’une fonction densité, tandis que l’énergie (ici Φ(f)) indique la ‘distance quadratique’ à une certaine structure idéale. Leur différence permet souvent de caractériser des situations d’égalité remarquables ou de tester des inégalités fondamentales. Ce genre de question t’exerce à manipuler des notions abstraites en situation concrète, un vrai plus pour les épreuves orales comme écrites !
Maîtriser les différents modes de convergence (pointwise, uniforme, L², etc.) pour des suites de fonctions est essentiel. Savoir exploiter les liminf, limsup, et les propriétés des suites permet non seulement de répondre à des questions de théorie, mais aussi d’aborder des problèmes constructifs comme ceux que tu retrouveras au concours Mines-Ponts MP. Pour voir cette notion en pratique et enrichir ta préparation, accède au dashboard personnalisé sur Prépa Booster après avoir débloqué les corrigés !
Commence par identifier les grands thèmes du sujet (ici : analyse de suites, fonctions mesurables, opérateurs intégrals, inégalités). Prends toujours le temps de soigner les hypothèses et de bien lire la définition précise des opérateurs. Joue la méthode en soignant rédaction et justifications, même sur les parties techniques. Enfin, n’hésite pas à t’entraîner régulièrement avec des sujets et corrigés originaux pour gagner en sérénité le jour J.