Questions du sujet
1. Déterminer un éventuel prolongement par continuité de la fonction $\varphi$ en $0$. 2. Étudier les variations de la fonction $\varphi$ sur la demi-droite ouverte $D=]0,+\infty[$ ; il peut être intéressant d’introduire la fonction auxiliaire $\psi$ définie par la relation suivante : \[ \psi(t) = \frac{1 – e^{-\pi t}}{1+t^2} – \pi \arctan t~. \] En déduire la borne supérieure de la fonction $\varphi$ sur $D$. 3. Justifier l’existence de l’intégrale $I$ définie par la relation suivante : \[ I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan t}{e^{\pi t} – 1} \, dt~. \] 4. Démontrer les deux relations suivantes : \[ I = \sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{+\infty} e^{-k \pi t} \arctan t \, dt \quad ; \quad I = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-k \pi t}}{1+t^2} \, dt~. \] 5. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$. Préciser l’ensemble dans lequel la fonction $f$ est continue ; quelle est sa limite lorsque le réel $x$ tend vers l’infini ?} 6. Dans quel ensemble est-elle deux fois continûment dérivable ? Établir une relation simple entre la fonction $f$ et sa dérivée seconde $f”$ sur la demi-droite ouverte $D=]0,+\infty[$. 7. Existe-t-il une limite à chacune des expressions $S(X)$ et $C(X)$, lorsque le réel $X$ croît vers l’infini ? 8. Résoudre l’équation différentielle vérifiée par la fonction $f$ dans la demi-droite ouverte $D=]0,+\infty[$ ; exprimer la solution générale de cette équation à l’aide des deux fonctions $g$ et $h$. 9. En déduire les deux expressions ci-dessous de la fonction $f$ : \[ f(x) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin u}{u + x} du = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (xt)}{1 + t^2} dt~. \] 10. En utilisant les résultats établis dans les première et deuxième parties, démontrer la relation suivante : \[ I = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(ku)}{\pi + u} du~. \]} 11. Démontrer le résultat suivant : \[ I = \frac{1}{\pi^2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} – \frac{1}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(u+\pi)^2} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nu)}{n^2} \right) du~. \] 12. Étudier la parité de la fonction $G$. Déterminer le développement en série de Fourier, à coefficients réels, de cette fonction $G$. Quelle est la nature de la convergence de la série de Fourier ? 13. En déduire la somme $T(x)$ de la série de terme général $\frac{\cos(nx)}{n^2}$, $n\in\mathbb{N}^*$, lorsque le réel $x$ appartient au segment $[0, 2\pi]$ : \[ T(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} \] En déduire la somme $S$ de la série de terme général $1/n^2$, $n\in\mathbb{N}^*$ : \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}~. \] 14. Calculer, pour tout entier naturel $k$, la valeur du réel $a_k$ : \[ a_k = \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \frac{1}{(u+\pi)^2} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nu)}{n^2} \right) du~. \] 15. Démontrer que la valeur de l’intégrale $I$ est égale à la limite de la suite $(I_N)_{N\in\mathbb{N}^*}$ : \[ I = \lim_{N\to+\infty} I_N~. \] En déduire que l’intégrale $I$ est la somme d’une série convergente.} 16. Après avoir montré que l’expression $E_N = \exp(I_N)$ est égale à un produit de facteurs, déterminer la valeur de l’intégrale $I$. 17. Calculer l’intégrale $K$, définie ci-dessous, en utilisant le résultat obtenu pour l’intégrale $I$ et la valeur admise pour l’intégrale $J$ : \[ K = \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan t}{e^{\pi t}+1} dt~. \]}FAQ
Le sujet balaye des notions fondamentales d’analyse comme la continuité, la dérivabilité, la définition et l’étude de fonctions sur des intervalles ouverts, l’étude de leur prolongement par continuité, ou encore la manipulation d’intégrales impropres. Les séries de fonctions, développements en série de Fourier et les relations entre intégrales et séries sont aussi au cœur de cette épreuve. Si ces points ne sont pas encore totalement solides pour toi, pense à structurer tes révisions grâce aux corrigés et outils interactifs proposés par Prépa Booster.
Pour ces questions, il est vital de bien comprendre les critères de convergence (absolue, de série alternée, etc.) et de savoir manipuler les intégrales impropres (comparaison, domination, changement de variable). Il est conseillé d’identifier rapidement la nature de la singularité (en zéro ou à l’infini) et de s’appuyer sur des théorèmes vus en cours (par exemple, le théorème de convergence dominante). Garde toujours en tête qu’avoir accès à des corrigés détaillés te permettra d’aller plus vite sur la méthodologie et d’avoir des modèles de rédaction pour réussir ce genre de questions.
Le développement en série de Fourier est ici utilisé pour exprimer certaines fonctions sous forme de somme de fonctions trigonométriques, ce qui facilite leur étude et l’évaluation d’intégrales. C’est aussi un outil puissant pour relier séries et intégrales – par exemple, pour passer d’une somme à une valeur exacte. Ce type de développement doit absolument être maîtrisé dans tout sujet où apparaissent périodicité, symétries et calculs d’intégrales liées au cercle trigonométrique.
Ce genre d’intégrale mélange fonctions spéciales, exponentielles, et fonctions trigonométriques via l’arctangente. Cela nécessite d’être à l’aise avec l’analyse des intégrales impropres, l’usage des séries et souvent des manipulations astucieuses comme l’échange somme-intégrale. Savoir traiter ces objets est caractéristique du niveau attendu en MP et t’entraîner avec les corrigés détaillés Prépa Booster t’aidera à te sentir à l’aise avec ces calculs difficiles.
Tu rencontres ici un classique : on te demande de montrer qu’une fonction définie par une intégrale vérifie une équation différentiel, puis d’utiliser la résolution de cette EDO pour obtenir différentes formulations de la fonction (solutions particulières, solutions générales faisant apparaître des constantes ou des intégrales). Cela s’appuie sur la maîtrise de la dérivation sous le signe intégral et des résolutions standards d’EDO. Aborder une telle question avec méthode s’apprend ; les exercices corrigés t’apporteront de précieux repères !
Savoir manipuler et étudier une fonction définie par une intégrale (intégrale à paramètre, régularité, passage à la limite, dérivation sous le signe intégral, estimations asymptotiques) est un atout décisif en maths sup/MP. Cela permet, comme dans ce sujet, de relier plusieurs chapitres du programme, d’illustrer la puissance de l’analyse et d’accéder à des résultats marquants. Pour t’entraîner de façon ciblée, débloque les corrigés sur Prépa Booster et retrouve des méthodes prêtes à l’emploi.
Il faut être à l’aise avec les définitions formelles, justifier soigneusement l’existence des limites aux bornes ou en un point « singulier », et savoir utiliser les critères usuels (sqrt, log, arctan, etc.). L’analyse des variations avec ou sans fonction auxiliaire est un classique. Retrouve dans les corrigés Prépa Booster toutes les astuces de rédaction et des corrections commentées pour t’entraîner au format concours.
Ce sont les questions qui départagent souvent les candidats, car elles nécessitent à la fois rigueur, créativité, et maîtrise de nombreux outils analytiques. Calcul de limites, changement d’ordre de sommations ou d’intégration, exploitation de développements en série : tout cela suppose de l’entraînement. Profite des exercices corrigés en accès Premium pour perfectionner tes automatismes sur ce type de points difficiles.
Il n’y a pas de secret, il faut s’habituer à détailler chaque étape : existence, justification des changements d’ordre, conditions de régularité, précisions sur les ensembles de définition. T’inspirer de corrigés de concours comme ceux disponibles sous forme interactive sur Prépa Booster te permet de voir comment structurer une réponse adaptée aux exigences du jury.
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