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Mines Maths 1 MP 2003

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Énoncé de l’épreuve

💡 Si un sujet identique a été utilisé par le concours pour différentes filières, le sujet affiché ci-dessous peut-être celui d'une autre filière. Le contenu reste identique.

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Questions du sujet

1. Calculer, pour toute valeur de l’entier strictement positif $n$, l’intégrale $I_n$. 2. Déterminer les constantes $A$, $B$, $C$ et $D$ figurant dans le développement limité de la fonction $n \mapsto I_n$ à l’infini qui s’écrit sous la forme suivante : $$I_n = A n + B \ln n + C + \frac{D}{n} + o \left( \frac{1}{n} \right).$$ 3. Etablir un encadrement du réel $S_n$ à l’aide de $I_n$. 4. En déduire que la somme $S_n$ est équivalente à l’infini à $2n \ln 2$. 5. Déterminer la relation qui lie l’intégrale $J_n$ au réel $S_n$. En déduire, lorsque l’entier $n$ croît indéfiniment, un équivalent de $J_n$ à l’infini.} 6. Démontrer que, pour qu’une suite de $n$ vecteurs $x_1, x_2, …, x_n$ soit une base orthonormée de $E_n$, il faut et il suffit qu’elle soit une suite $1$-presque orthogonale. 7. Démontrer que, si une suite de $n$ vecteurs $x_1, x_2, …, x_n$ de $E_n$ est $\mu$-presque orthogonale, la suite est libre. 8. Démontrer que, bien que la suite des fonctions $P_n$ de norme unité soit libre, la suite $(P_n)_{n\in\mathbb{N}}$ n’est pas presque orthogonale. 9. Démontrer l’existence d’une matrice carrée $P$ orthogonale et d’une matrice diagonale $D$ dont tous les éléments de la diagonale sont différents de $0$, telles que : $M = {}^tPDP$. 10. Etablir la relation qui lie la norme du vecteur $W$ au réel ${}^tA M A$ ; ${}^tA$ désigne la matrice transposée de la matrice colonne $A$.} 11. En déduire que les éléments de la matrice $D$ sont strictement positifs, puis en déduire un encadrement de la norme du vecteur $W$ à l’aide des valeurs propres de la matrice $M$ et de la norme du vecteur $B$ égal à l’image par la matrice $P$ du vecteur $A$ ($B = P A$). 12. En déduire que la suite $(V_1, V_2, …, V_n)$ est $\mu$-presque orthogonale ; préciser des valeurs possibles pour le réel $\mu$. 13. Démontrer que, s’il existe un réel $\alpha$, strictement supérieur à $3$ ($\alpha > 3$), tel que le produit scalaire de deux vecteurs $V_p$ et $V_q$ soit majoré en valeur absolue par le réel $\alpha^{-|p-q|}$, c’est-à-dire : $$|(V_p \mid V_q)| \leq \frac{1}{\alpha^{|p-q|}},$$ la suite $(V_n)_{n\geq1}$ est presque orthogonale. 14. Soit $f$ la fonction définie dans le quart de plan $[1, +\infty[ \times [1, +\infty[$ par la relation suivante : $$f(x, y) = \frac{\sqrt{2y + 1} \sqrt{2xy + 1}}{y + xy + 1}.$$ Soit $G$ la fonction, définie sur la demi-droite $[1, +\infty[$, par la relation suivante : $$G(x) = \lim_{y\to +\infty} f(x, y).$$ Etudier les variations des six fonctions définies sur la demi-droite fermée $[1, +\infty[$ par les relations suivantes : $$x \rightarrow f(x, 1); \quad y \rightarrow f(1, y); \quad G : x \rightarrow \lim_{y\to+\infty} f(x, y);$$ $$y \rightarrow \lim_{x\to+\infty} f(x, y); \quad f_y : x \rightarrow f(x, y); \quad f_x : y \rightarrow f(x, y).$$ 15. Soit $\gamma$ un réel strictement compris entre $0$ et $1$ ($0 < \gamma < 1$). Démontrer l’existence d’une fonction $\varphi_\gamma$, définie sur la demi-droite fermée $[1, +\infty[$, telle que, pour tout réel $y$ de la demi-droite $[1, +\infty[$, la relation ci-dessous soit vérifiée : $$f(\varphi_\gamma(y), y) = \gamma.$$ Démontrer l’existence d’un réel $\beta$ tel que la fonction $G$, définie ci-dessus, prenne la valeur $\gamma$ en ce point : $G(\beta) = \gamma$. Démontrer que ce réel $\beta$ est strictement supérieur à $1$ et est un minorant de l’image par $\varphi_\gamma$ de la demi-droite fermée $[1, +\infty[$.} 16. On choisit une suite $(k_i)_{i\geq 0}$ telle que la suite $(Q_i)_{i \geq 0}$ soit presque orthogonale. Démontrer que le réel $\mu$ entrant dans la définition de la presque orthogonalité est strictement supérieur à $1$ ($\mu > 1$). Démontrer qu’il existe un réel $\beta$, strictement supérieur à $1$ ($\beta > 1$), tel que, pour tout indice $i$, les indices $k_i$ et $k_{i+1}$ soient liés par la relation suivante : $$k_{i+1} \geq \beta k_i.$$}

FAQ

Quelles notions de calcul intégral faut-il maîtriser pour réussir le sujet de mathématiques MP Mines-Ponts 2003 ?

Pour ce sujet, il est indispensable d’être à l’aise avec les techniques d’intégration, notamment l’intégration par parties, le changement de variable et le passage à la limite pour établir le développement asymptotique. La manipulation d’intégrales paramétrées et le lien entre sommes et intégrales sont aussi fortement mobilisés. Pour approfondir ces savoir-faire et retrouver des exercices corrigés similaires, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !

La notion de presque orthogonalité intervient souvent en algèbre. Peux-tu expliquer de quoi il s’agit et son importance dans ce sujet ?

Bien sûr ! La presque orthogonalité généralise la notion d’orthogonalité classique : une base est dite presque orthogonale si les vecteurs sont presque perpendiculaires, selon un certain réel μ. Concrètement, cela permet de garantir une forme de stabilité et de indépendance linéaire, tout en tolérant de légers écarts par rapport à la stricte orthogonalité. Cette idée est très utile dans l’étude des suites de vecteurs, de polynômes ou lors de corrections d’erreurs numériques. Maîtriser ce concept, ainsi qu’exercices-types et astuces pour ton concours, c’est ce que tu trouveras en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !

Comment aborder efficacement l’étude d’équivalents asymptotiques et de développements limités pour les concours CPGE et notamment Mines-Ponts ?

Pour réussir l’analyse asymptotique, il te faut une solide méthode : repérer la structure dominante, employer les bons outils (développements limités, équivalents, encadrements) et savoir exploiter les résultats sur les logarithmes et puissances à l’infini. L’analyse classique des séries et la comparaison somme/intégrale sont très souvent sollicitées. Pense aussi à bien rédiger les petits o, grands O et à justifier chaque étape pour cartonner à l’épreuve. D’autres conseils de rédaction et des sujets corrigés t’attendent sur Prépa Booster.

En quoi consiste la diagonalisation d’une matrice et pourquoi est-ce important dans ce type d’épreuve ?

La diagonalisation, c’est l’art de simplifier l’étude d’une matrice en la transformant, via une matrice de passage, en une matrice diagonale (facile à manipuler !). On exploite les valeurs propres et vecteurs propres, central dans l’analyse des endomorphismes symétriques. Cela permet de lier la norme d’un vecteur à une forme quadratique ${}^tA M A$, comme vu dans le sujet. La maîtrise de la diagonalisation assure autant des calculs rapides qu’une compréhension profonde de la géométrie de l’espace vectoriel, deux atouts pour te démarquer au concours.

Pourquoi le lien entre sommes, intégrales et encadrements est-il si précieux dans les sujets de concours CPGE MP ?

C’est une clef de la boite à outils CPGE ! Les techniques de passage de la somme à l’intégrale, d’encadrement puis d’équivalent, permettent de calculer efficacement des séries ou des suites difficiles. Au concours, on attend souvent de toi une maîtrise de ces passages, notamment via l’inégalité des accroissements finis, le théorème de la moyenne ou des intégrales comparées. Cela tombe régulièrement tant en analyse qu’en probabilités.

Quels types de fonctions et de raisonnements dois-tu savoir étudier pour les questions sur les variations, limites et équations fonctionnelles en concours ?

Tu dois savoir manipuler des fonctions à deux variables, étudier leurs variations, limites (simples et doubles), et trouver des équivalents pour les grandes valeurs. Il te faut aussi une bonne maîtrise des techniques classiques : calcul de dérivée, monotonicité, continuité, injections, calcul de limites composées, et parfois même de la résolution d’équations fonctionnelles. L’entraînement sur des sujets réels et corrigés disponibles sur Prépa Booster fera une énorme différence pour t’approprier ces méthodes.

En quoi l’étude approfondie de la linéarité et de la liberté des familles de vecteurs est-elle discriminante sur ce type de sujet ?

Maîtriser la linéarité, la liberté, l’orthogonalité et la quasi-orthogonalité, c’est indispensable pour réussir les épreuves d’algèbre linéaire des concours Mines-Ponts. Savoir démontrer qu’une famille est libre (ou non), construire/identifier une base, ou comprendre ce qu’implique l’ajout d’un vecteur à une famille donnée, sont des exercices classiques qui font toute la différence sur la copie. Ce sont ces réflexes que tu pourras consolider avec les parcours d’exercices corrigés sur Prépa Booster.

Pourquoi travailler les sujets et corrigés des années précédentes est-il un vrai avantage pour préparer le concours Mines-Ponts en MP ?

C’est la meilleure façon de t’imprégner du style des épreuves, des attentes du jury et de développer les bons automatismes ! Décortiquer les corrigés détaillés te permet d’identifier les points de vigilance dans la rédaction, de t’exercer sur la méthodologie et de gagner en assurance le jour J. En bonus, tu pourras comparer tes méthodes à celles d’autres candidats et accéder à un dashboard personnalisé sur Prépa Booster pour cibler tes révisions.