Questions du sujet
1. \textbf{Q1.} Expliquer la nécessité d’un bloc Convertisseur “Linéaire/Exponentiel” présenté figure 2. Déterminer la relation entre $V_{\mathrm{in},0}$ et $V_{\mathrm{in},1}$ sous la forme \[ V_{\mathrm{in},1} = g(V_{\mathrm{in},0}) \quad \text{avec } g(V_{\mathrm{in},0}) = V_{\mathrm{ref}} \exp(\alpha V_{\mathrm{in},0}). \] Évaluer numériquement la constante $\alpha$.1. \textbf{Q2.} Déterminer la variation de tension $\Delta V_{BE}$ qui permet d’augmenter d’une octave la fréquence émise par l’OCT en fonction de $v(T)$. Calculer $\Delta V_{BE}$ à 20~°C.
1. \textbf{Q3.} Montrer que l’ajout des résistances permet de créer un bloc Convertisseur “Linéaire/Exponentiel”, en considérant une température de travail de 20~°C.
1. \textbf{Q4.} Avec des composants à 30~°C, analyser séparément comment les variations de $I_S(T)$ et de $v(T)$ influencent un $\text{La}_3$ initialement joué à 20~°C.
1. \textbf{Q5.} Exprimer $I_{C2}$ en fonction de $I_{C1}$, $V_B$ et $v(T)$.}
1. \textbf{Q6.} Quelle amélioration présente ce circuit par rapport au circuit de la figure 4 ?
1. \textbf{Q7.} En prenant pour base un fonctionnement à 20~°C, calculer la variation de température acceptable pour le synthétiseur. Commenter.
1. \underline{\textbf{Q8.}} En considérant $R’ \ll R$ et en prenant toujours pour base un fonctionnement à 20~°C, proposer une modification du circuit présenté en figure 5 permettant de compenser au mieux possible la variation de température. Déterminer alors la variation de température acceptable pour le synthétiseur avec le nouveau circuit proposé. Conclure.
1. \textbf{Q9.} Dans quel(s) régime(s) fonctionnent les deux ALI de la figure 7 ? Préciser dans ce cas le modèle de l’ALI idéal.
1. \textbf{Q10.} Déterminer la valeur de la résistance électrique $R_A$ telle que la tension $V_{SW}$ prenne successivement les valeurs -2~V, -1~V, 0~V, +1~V ou +2~V selon la position du commutateur.}
1. \textbf{Q11.} Quel est le rôle de l’ALI \textcircled{1} situé juste après le commutateur ?
1. \textbf{Q12.} Montrer que le montage de l’ALI \textcircled{2} est un sommateur et que le circuit permet effectivement de modifier l’octave de la note jouée.
1. \textbf{Q13.} En justifiant votre réponse, identifier le régime de fonctionnement de l’ALI \textcircled{4}. Quelle(s) conséquence(s) immédiate(s) cela engendre-t-il ?
1. \textbf{Q14.} Déterminer $V_{\mathrm{out},1}(t)$ en fonction de $R_1$, $C_1$, $R_2$, $R_3$, $V_{\mathrm{in},1}$, $t$ et d’une constante que l’on déterminera ultérieurement.
1. \textbf{Q15.} Déterminer, en fonction de $V_{\mathrm{sat}}$, $R_6$ et $R_7$ la tension positive de basculement $V_{\mathrm{haut}}$ de l’ALI \textcircled{4} et sa tension négative de basculement $V_{\mathrm{bas}}$. Représenter graphiquement l’évolution de $V_{\mathrm{out},2}$ en fonction de $V_{\mathrm{out},1}$.}
1. \textbf{Q16.} On suppose que $V_{\mathrm{out},1}(t = 0) = -V_{\mathrm{bas}} > 0$ à l’instant initial. En déduire l’instant $t_1$ à partir duquel l’ALI \textcircled{4} change d’état (bascule). Que se passe-t-il alors ?
1. \textbf{Q17.} Déterminer $V_{\mathrm{out},1}(t)$ pour $t > t_1$ tant que l’ALI \textcircled{4} reste dans le même état. Quelle condition sur $R_4$ permet d’obtenir des oscillations symétriques ? On supposera cette condition vérifiée par la suite.
1. \textbf{Q18.} On suppose que $R_6 = R_7$. En déduire que la fréquence $f$ de fonctionnement de l’OCT est donnée par \[ f = \frac{1}{2 R_1 C_1} \frac{R_2}{R_2 + R_3} \frac{V_{\mathrm{in},1}}{V_{\mathrm{sat}}}. \]
1. \textbf{Q19.} Représenter schématiquement les évolutions temporelles des tensions $V_{\mathrm{out},1}$ et $V_{\mathrm{out},2}$.
1. \textbf{Q20.} La fiche technique des ALI utilisés indique une vitesse de balayage maximale de 0,3~V/$\mu$s en contre-réaction négative. Décrire ce que cela signifie et en déduire une borne supérieure de la fréquence de fonctionnement de l’OCT. Commenter.}
1. \textbf{Q21.} Déterminer précisément la puissance fournie par le système à l’air au travers des échanges conducto-convectifs en fonction de $h$, $T_a$, $T(x, t)$ et de paramètres géométriques.
1. \textbf{Q22.} En effectuant un bilan énergétique en régime stationnaire, prouver que le champ de température vérifie \[ \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}(x) – m^2 T(x) = -m^2 T_a \] Exprimer $m$ en fonction de $h$, $\lambda$ et $e$, en considérant $m > 0$.
1. \textbf{Q23.} Quelle condition limite le champ de température vérifie t-il en $x = 0$ ?
1. \textbf{Q24.} Écrire, pour chaque hypothèse, la condition limite associée à $T$ en $x = \ell$. Laquelle de ces hypothèses vous semble la plus réaliste ? Justifier.
1. \textbf{Q25.} Sous l’hypothèse 1, déterminer le champ de température $T(x)$. Exprimer ensuite $\widetilde{T}(x) = \frac{T(x) – T_a}{T_1 – T_a}$ en fonction de $m$ et $x$, puis tracer $\widetilde{T}(x)$.}
1. \textbf{Q26.} Déterminer $\widetilde{T}(x)$.
1. \textbf{Q27.} Déterminer le flux thermique total $\Phi$ évacué par l’ailette.
1. \textbf{Q28.} On pose $\Phi_u$ le flux thermique qui serait évacué par l’ailette si sa température était en tout point égale à la température de la base $T_1$. Sans calcul, déterminer lequel de $\Phi$ ou de $\Phi_u$ est le plus élevé.
1. \textbf{Q29.} On définit le rendement thermique de l’ailette par $\eta = \Phi/\Phi_u$. Pourquoi peut-on assimiler cette grandeur à un rendement ?
1. \textbf{Q30.} Montrer alors que \[ \eta = \frac{\tanh(m\ell)}{m\ell}, \] avec $\tanh$ la fonction tangente hyperbolique définie en fin d’énoncé.}
1. \textbf{Q31.} En vous aidant du formulaire en fin d’énoncé, déterminer la forme d’ailette permettant d’obtenir la dissipation thermique la plus efficace.
1. \textbf{Q32.} En complément des ailettes, des systèmes de ventilation peuvent être utilisés. Quel type d’écoulement d’air faut-il privilégier pour maximiser les échanges thermiques ? Justifier.
1. \textbf{Q33.} Écrire l’équation-bilan de formation du nitrure de silicium à partir de silicium et de diazote, en prenant un coefficient stœchiométrique égal à 1 pour $\mathrm{Si_3N_4}$. Montrer que cette réaction est quantitative à 298~K.
1. \textbf{Q34.} En introduisant les réactifs en proportions stœchiométriques dans un réacteur calorifugé sous 1~bar, déterminer la température finale. Conclure.
1. \textbf{Q35.} Montrer que \[ \alpha = \beta \frac{\Delta W}{W^0}, \] avec $\beta$ un facteur numérique à identifier.}
1. \textbf{Q36.} Expliquer pourquoi la nitruration du silicium cesse d’être favorisée au-delà d’une certaine température en citant deux phénomènes pouvant en être responsables.
1. \textbf{Q37.} On suppose que la réaction de formation de $\mathrm{Si_3N_4}$ aux temps courts ($t \leqslant 30\text{ minutes}$) suit une loi d’ordre 0. Identifier l’expression de $\alpha(t)$ en fonction notamment de la constante de vitesse $k$ (en considérant la vitesse molaire de réaction).
1. \textbf{Q38.} Rappeler la loi d’Arrhénius. Définir clairement les grandeurs qui y apparaissent et préciser leurs unités.
1. \textbf{Q39.} À partir des résultats expérimentaux de la figure 11-b), déterminer numériquement les paramètres introduits dans la loi d’Arrhenius.
1. \textbf{Q40.} Écrire la réaction de formation de $\mathrm{SiO_2}$ à partir de dioxygène, puis à partir de $\mathrm{H_2O}$. Justifier le terme d’oxydant employé pour ces deux composés.}
1. \textbf{Q41.} Quelle est l’unité de $h_g$ ?
1. \textbf{Q42.} Déterminer $N_v$ pour le dioxygène et pour la vapeur d’eau. Calculer le nombre de moles d’oxydant nécessaires à la formation de $1\text{ cm}^3$ de $\mathrm{SiO_2}$.
1. \textbf{Q43.} Justifier que le flux molaire surfacique est uniforme dans l’ensemble de la structure. Démontrer alors que l’épaisseur $x$ de la couche d’oxyde suit une loi de la forme \[ x^2(t) + A x(t) = B \times (t + \tau). \] Identifier les constantes $A$, $B$ et $\tau$ en fonction de $N_v$, $D$, $h_g$, $k_i$, $C_g$ et $x_0$.
1. \textbf{Q44.} Exprimer $x(t)$. Identifier deux régimes de croissance de la couche de dioxyde en considérant le comportement asymptotique \[ t + \tau \ll \frac{A^2}{4B} \quad \text{puis} \quad t + \tau \gg \frac{A^2}{4B} \] Représenter alors de façon asymptotique l’évolution de $x(t)$.
1. \textbf{Q45.} Comparer le temps caractéristique de diffusion issu de l’étape 2 au temps caractéristique de croissance de la couche de $\mathrm{SiO_2}$. Sous quelle condition peut-on se placer en régime quasi-stationnaire ?}
FAQ
On trouve souvent ce type de montage dans les synthétiseurs ou les circuits d’asservissement : il permet de convertir une tension ou un courant linéaire en une grandeur qui évolue exponentiellement. C’est capital par exemple pour générer des signaux dont la fréquence double à chaque octave (loi logarithmique du son). Dans le contexte des concours Centrale PSI, comprendre et savoir dimensionner un tel convertisseur est une compétence clé en électronique/physique appliquée.
Il faut être à l’aise avec la conduction et la convection thermique, savoir établir un bilan énergétique en régime permanent, dériver les équations différentielles gouvernant le champ de température, et surtout bien définir et exploiter les conditions aux limites (température imposée, flux imposé, échange convectif). L’analyse du rendement d’une ailette, et la comparaison avec la dissipation idéale, sont aussi très appréciées. Retrouve des exercices corrigés pour cet aspect en débloquant l’accès sur PrépaBooster !
Les paramètres des composants électroniques, notamment les transistors, varient avec la température (tension de seuil, courants de saturation…). Savoir modéliser l’impact d’une élévation de température sur le fonctionnement d’un circuit, proposer une compensation, ou dimensionner les tolérances acceptables est fondamental pour garantir la robustesse d’un montage. Un bon entraînement passe par l’analyse de montages concrets proposés en annales, comme ceux que tu retrouves dans ce sujet et dans nos corrigés détaillés sur PrépaBooster.
Tu dois être au point sur les équations de réactions, les bilans de matière et d’énergie, la stœchiométrie, l’étude des équilibres et des enthalpies libres, sans oublier les lois de vitesse (cinétiques), la loi d’Arrhénius, et les distinctions entre régimes cinétiques (ordre 0, 1, 2). Savoir lire un graphe expérimental et extraire des constantes en utilisant des linéarisations fait souvent la différence lors des concours.
Il faut bien distinguer les deux régimes de fonctionnement : régime linéaire (contre-réaction négative, fonctionnement sommateur, intégrateur, suiveur) et régime saturé (bascule, comparateur). Maîtrise les modèles de l’ampli op idéal, sache écrire les équations en appliquant la loi des nœuds et retomber sur les résultats types : tensions de seuil de basculement, oscillateurs, additionneurs. Pratique sur des schémas variés en t’aidant des annales et corrigés. Pour approfondir, débloque le tableau de bord personnalisé sur PrépaBooster !
Lis bien l’énoncé, commence par écrire la réaction chimique, repère les grandeurs à suivre (masse, épaisseur, flux molaire), fais un schéma si besoin. Sache utiliser les lois de Fick pour la diffusion, et analyse les limites de réactifs (cinétique, diffusion, transfert), puis déduis la loi temporelle (croissance linéaire ou quadratique selon le régime). Ne te contente jamais d’appliquer une formule : explique ta démarche et justifie le choix du régime.
Le passage d’une note à une autre sur une octave implique un doublement de fréquence, ce qui est exponentiel, et non linéaire ! Beaucoup d’élèves confondent la variation de fréquence (qui se multiplie) et la variation de tension d’entrée pour obtenir ce doublement (qui est linéaire). Une compréhension parfaite de ces liens est indispensable pour bien traiter les circuits de modulation dans le sujet.
Parce que cela relie la physique fondamentale (transferts, thermodynamique) à des enjeux industriels réels : dissipation dans l’électronique de puissance, croissance de matériaux pour les semi-conducteurs, rendement des dispositifs. Ces sujets interdisciplinaires permettent de croiser modélisation, expérimentation et applications, ce qui est à la pointe des attentes des concours.