Questions du sujet
1. \textbf{Q1.} Établir l’expression de $\delta_{\text{source}}$ en fonction de $a$ et $\alpha \ll 1$.1. \textbf{Q2.} Exprimer le signal $s_1(t)$ reçu au point $M$ pour l’onde qui est passée par $T_1$, ainsi que le signal $s_2(t)$ reçu au point $M$ pour l’onde qui est passée par $T_2$, en fonction de $s_0$, $\omega$, $t$, $k = \frac{2\pi}{\lambda_0}$, $(S_A T_1 M)$ et $(S_A T_2 M)$. On négligera la décroissance d’amplitude de l’onde liée à la propagation.
1. \textbf{Q3.} Donner l’expression de $I$ à l’aide de $s_1$ et $s_2$ et éventuellement d’autres grandeurs. Déduire de celle-ci la relation \[ I(\delta) = 2I_0 \left( 1 + \cos \left[ k \left( a\frac{\alpha}{2} + \delta \right) \right] \right). \]
1. \textbf{Q4.} Indiquer, avec justification, si les signaux issus de $S_A$ interfèrent avec ceux issus de $S_B$. Montrer que l’intensité détectée au point $M$ se met sous la forme \[ I_d(\delta) = I_{d,0} \left( 1 + \Gamma(a,\alpha) \cos(k\delta) \right) \] où la fonction $\Gamma$, appelée facteur de cohérence, est donnée par : \[ \Gamma(a,\alpha) = \cos \left( \alpha \frac{ka}{2} \right). \]
1. \textbf{Q5.} Tracer l’allure de $I_d(\delta)$ en fonction de $\delta$ dans le cas où le facteur de cohérence vaut 1, puis dans le cas où le facteur de cohérence est nul.}
1. \textbf{Q6.} Calculer numériquement $\frac{ka}{2}$ pour cette expérience.
1. \textbf{Q7.} En déduire l’incertitude-type sur $\frac{ka}{2}$.
1. \textbf{Q8.} Déterminer la valeur numérique du contraste pour cette figure d’interférences.
1. \textbf{Q9.} Ajouter votre point de mesure avec son incertitude-type sur le document réponse. L’incertitude-type sur le contraste sera prise égale à $10\,\%$ de sa valeur.
1. \textbf{Q10.} Expliquer en quelques lignes comment on peut obtenir les incertitudes-types sur les paramètres $C_0$ et $\alpha$ en exploitant les incertitudes-types sur les données expérimentales.}
1. \textbf{Q11.} En déduire la valeur numérique de $d$ avec son incertitude-type $u(d)$.
1. \textbf{Q12.} Déterminer une autre valeur numérique de $d$ à partir de cette expérience, en proposant une estimation d’incertitude associée. Comparer à la valeur obtenue à la question \textbf{Q11}. Discuter à l’aide d’un critère quantitatif l’accord des deux résultats.
1. \textbf{Q13.} Établir l’expression de la différence de marche totale entre un rayon passant dans le télescope 2 et un rayon passant dans le télescope 1 en fonction de $\alpha$, $a$ et $\delta_r$. Comparer au résultat de la question \textbf{Q1} et commenter.
1. \textbf{Q14.} Déterminer la résolution angulaire que l’on peut ainsi obtenir avec ces télescopes. En déduire la résolution spatiale (en kilomètres) que l’on peut espérer atteindre pour une exoplanète située à une distance de 100 années-lumière. Commenter.
1. \textbf{Q15.} Exprimer la distance $SF_b$ en fonction de $r_{\text{sch}}$ et $b$. Calculer numériquement $z_0 = SF_0$. On exprimera cette distance en unités astronomiques et on la comparera au rayon de l’orbite de Neptune, qui est de 30 unités astronomiques.}
1. \textbf{Q16.} Analyser la possibilité, pour un observateur situé entre $S$ et $F_b$, d’exploiter l’effet de lentille gravitationnelle pour voir le point $A_0$.
1. \textbf{Q17.} Comparer le devenir de rayons venant de l’infini, parallèles à l’axe optique, lorsqu’ils sont déviés par : \begin{itemize} \item une lentille mince en verre, utilisée en optique géométrique ; \item une lentille gravitationnelle. \end{itemize} Il est conseillé d’illustrer votre réponse à l’aide de schémas.
1. \textbf{Q18.} Exprimer la distance $A_1B_1$ en fonction de $A_0B_0$, $SA_0$ et $SA_1$.
1. \textbf{Q19.} Proposer, à l’aide de la courbe figure 8b, une valeur numérique pour $\rho_{\text{min}}$, valeur minimale de la distance $A_1B_1$ telle que les taches centrales des intensités lumineuses autour de $A_1$ et $B_1$ ne se superposent pas.
1. \textbf{Q20.} Déterminer la valeur numérique de $A_0B_0$ correspondant à $A_1B_1 = \rho_{\text{min}}$. Commenter.}
1. \textbf{Q21.} Discuter la modification de l’anneau d’Einstein lorsque la sonde s’éloigne du Soleil.
1. \textbf{Q22.} Justifier que $\mu = \frac{8 b}{D}$. Calculer numériquement $\mu$ pour un télescope situé en $F_0$ (donc pour $b = R_s$) et $D = 1{,}0\text{ m}$. Commenter.
1. \textbf{Q23.} Rappeler l’expression de l’énergie et l’expression de la norme de la quantité de mouvement d’un photon associé à cette onde lumineuse en fonction de $\lambda$ et de constantes fondamentales.
1. \textbf{Q24.} Exprimer le nombre $\delta N$ de photons qui se réfléchissent sur la voile pendant une durée $\delta t$ en fonction de $I_s$, $\lambda$, $c$, $h$, $\beta$, $S$ et $\delta t$.
1. \textbf{Q25.} Montrer que la force exercée par les photons sur la voile s’identifie à une force de pression, associée à une pression de radiation $p_r$ d’expression : \[ p_r = \frac{2 I_s \cos^2 \beta}{c}. \]}
1. \textbf{Q26.} Comparer le résultat obtenu à la question précédente avec le résultat de cette expérience. Commenter.
1. \textbf{Q27.} Montrer que : \[ R_T^3 \omega_T^2 = G M_s. \] Rappeler le nom de cette loi. Déduire l’expression de la vitesse $v_T$ de la sonde sur son orbite, en fonction de $G$, $M_s$ et $R_T$.
1. \textbf{Q28.} Montrer que le moment cinétique $L_z$ de la sonde par rapport à l’axe $(Oz)$ se conserve. Montrer que la grandeur $C = \frac{|L_z|}{m}$ vérifie la relation $C = r^2 |\dot{\theta}|$.
1. \textbf{Q29.} Déterminer l’expression de l’énergie potentielle associée à la somme de la force gravitationnelle et de la force due à la pression de radiation subies par la sonde, en fonction de $G$, $M_s$, $m$, $p_T$, $R_T$, $S$ et $r$. On prendra une énergie potentielle nulle à l’infini.
1. \textbf{Q30.} Montrer que l’énergie mécanique de la sonde se met sous la forme \[ E_m = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + E_{p,\text{eff}}(r) \] et exprimer l’énergie potentielle effective $E_{p,\text{eff}}$ en fonction de $G$, $M_s$, $m$, $p_T$, $R_T$, $S$, $C$ et $r$.}
1. \textbf{Q31.} Montrer que l’énergie potentielle effective admet un extremum si $S$ est inférieure à une valeur limite $S_{\text{lim}}$. Tracer alors, sans justification, l’allure de l’énergie potentielle effective en fonction de $r$ dans le cas où $S < S_{\text{lim}}$. Donner enfin, sans justification, la nature de la trajectoire de la sonde selon la valeur de son énergie mécanique.
1. \textbf{Q32.} Exprimer l’énergie mécanique de la sonde juste après l’ouverture de la voile solaire. Expliciter la condition sur cette énergie mécanique pour que la sonde puisse atteindre l’infini. En déduire la surface minimale de la voile de la sonde.
1. \textbf{Q33.} Montrer que l’équation du mouvement se met sous la forme \[ \frac{\mathrm{d}^2 \vec{\rho}}{\mathrm{d}\tau^2} = -\frac{1}{\rho^2} \vec{e}_r + \frac{\eta}{\rho^2} \cos^2 \beta \, \vec{u}. \] On exprimera la constante réelle positive $\eta$ en fonction des paramètres du problème. Proposer une signification physique pour $\eta$.
1. \textbf{Q34.} Montrer que l’équation différentielle trouvée à la question précédente peut se réécrire sous la forme d’un système de quatre équations différentielles du premier ordre portant sur les grandeurs $\rho$, $\theta$, $\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\tau}$ et $\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\tau}$.
1. \textbf{Q35.} Déterminer les valeurs à $\tau = 0$ des grandeurs $\rho$, $\theta$, $\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}\tau}$ et $\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\tau}$. En déduire la liste à fournir à la ligne 7 du code de la figure 12.}
1. \textbf{Q36.} Proposer un code pour la fonction \texttt{voile\_solaire\_beta} en respectant la syntaxe attendue par la fonction \texttt{odeint}.
1. \textbf{Q37.} Expliquer pourquoi $\rho_f = 1$ lorsque $\beta = -90^\circ$ et $\beta = 90^\circ$.
1. \textbf{Q38.} En utilisant le résultat de cette simulation, déterminer la valeur optimale de $\beta$, notée $\beta_e$, pour que la sonde s’éloigne le plus loin possible du Soleil, ainsi que la valeur optimale de $\beta$, notée $\beta_a$, pour que la sonde s’approche le plus possible du Soleil au bout de 5 mois.
1. \textbf{Q39.} Expliquer qualitativement pourquoi commencer à se rapprocher du Soleil conduit à une diminution du temps mis pour s’en éloigner. Aucun calcul n’est attendu pour répondre à cette question.
1. \textbf{Q40.} Proposer une estimation du temps minimal envisageable pour qu’une sonde atteigne une distance de 500 unités astronomiques du Soleil, compte tenu des contraintes thermiques et dans les conditions des simulations présentées à la figure 14. On explicitera soigneusement la démarche suivie avec les éventuels choix effectués.}
FAQ
Le sujet de Centrale MP 2025 touche à plusieurs domaines fondamentaux : interférences lumineuses, cohérence et contraste, optique géométrique et lentille gravitationnelle, mécanique orbitale, pression de radiation, lois de Kepler, dynamique des satellites, et modélisation/programmation des systèmes physiques. C’est un sujet transversal où l’analyse mathématique précise rejoint l’expérimentation et la modélisation, ce qui résume bien l’esprit de la physique en classe préparatoire.
La compréhension des interférences et de la cohérence des ondes lumineuses est essentielle car elle explique comment la lumière peut produire des figures d’intensité contrastées, exploitées dans des expériences de type Michelson ou dans l’astrophysique (par exemple pour caractériser des objets distants). Savoir manipuler et exploiter la notion de facteur de cohérence, de contraste et d’écart de marche est fondamental pour ce sujet et plus largement pour la physique moderne.
La pression de radiation, liée à l’impact des photons sur une surface, est ici étudiée via l’effet de la lumière sur une voile solaire. Ce principe a des applications concrètes en astronautique, pour la propulsion des sondes spatiales par exemple. Le sujet permet d’étudier la force exercée par la lumière et d’en donner une modélisation complète, autant sur des bases classiques (quantité de mouvement du photon) que dans le cadre des lois fondamentales de la mécanique.
Le sujet propose une plongée dans l’optique gravitationnelle — c’est-à-dire l’étude des effets de lentilles créés par la courbure de l’espace-temps autour d’objets massifs (comme le Soleil). Tu es amené à comparer ces phénomènes à l’optique classique, à analyser la formation d’un anneau d’Einstein, à calculer les distances caractéristiques et la résolution attendue pour observer des exoplanètes ou des systèmes lointains.
Ce sujet typique de Centrale combine la rigueur analytique à la manipulation concrète des systèmes dynamiques : dans les dernières questions, la dynamique de la sonde est modélisée par des équations différentielles, à résoudre numériquement via un code Python. Savoir modéliser un problème physique, choisir les bonnes variables, coder un système, c’est aujourd’hui indispensable, que ce soit pour l’analyse théorique ou la confrontation à des données expérimentales.
La manipulation des incertitudes-types (incertitudes expérimentales) permet d’évaluer la justesse et la fiabilité des résultats obtenus. En concours, Central et autres grandes écoles sont très attentifs à la capacité des candidats à estimer précisément les erreurs expérimentales, à les propager correctement et à comparer quantitativement des résultats, le tout avec rigueur. C’est une compétence transversale, utile aussi bien en optique qu’en mécanique ou traitement des signaux.
Je te conseille de maîtriser les bases analytiques (développement limité, sinus/cosinus, intégrales), de connaître sur le bout des doigts les lois de l’optique, de l’onde et de la mécanique (Kepler, quantité de mouvement, énergie potentielle…), de t’entraîner à analyser des expériences, à estimer les incertitudes, et de pratiquer la programmation scientifique en Python pour être à l’aise avec une résolution numérique. Pour voir comment appliquer tout ça, débloque les corrigés sur PrépaBooster : tu auras des corrigés détaillés, des exercices corrigés, et même un dashboard personnalisé pour suivre ta progression !