Questions du sujet
1. \textbf{Q 1.} Justifier par des considérations de symétrie que ce champ électrique est radial (on se placera en coordonnées sphériques).1. \textbf{Q 2.} Utiliser les invariances pour montrer que la distance radiale $r$ est le seul paramètre pertinent pour caractériser le champ électrique.
1. \textbf{Q 3.} Rappeler tout d’abord le théorème de Gauss en vous appuyant sur un schéma permettant d’illustrer les notations. Appliquer ce théorème en exploitant les considérations de symétrie et d’invariance au cas de la distribution de charges considérée, dont la charge totale est notée $Q = +q_e$. En déduire que le champ électrique à l’intérieur de l’atome s’écrit $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a_0^3}\vec{r}$ où $\vec{r} = r \vec{u}_r$ est le vecteur radial et $\vec{u}_r$ le vecteur radial unitaire.
1. \textbf{Q 4.} Justifier que le poids de l’électron est négligeable par rapport à la force électrique qu’il subit.
1. \textbf{Q 5.} Montrer que le mouvement est plan.}
1. \textbf{Q 6.} En prenant un repère cartésien $Oxy$ de ce plan dont l’origine coïncide avec le centre de l’atome, montrer que les coordonnées de l’électron obéissent au système d’équations suivant : $$\begin{cases} \ddot{x} + \omega_0^2 x = 0 \\ \ddot{y} + \omega_0^2 y = 0 \end{cases}$$ où $\omega_0$ est une pulsation que l’on exprimera en fonction de la charge élémentaire $q_e$, de la masse de l’électron $m$, du rayon atomique $a_0$ et de la constante diélectrique du vide $\epsilon_0$.
1. \textbf{Q 7.} Si on suppose la vitesse initiale dirigée perpendiculairement au rayon vecteur, caractériser la trajectoire de l’électron dans l’atome.
1. \textbf{Q 8.} Exprimer l’énergie mécanique de l’électron et montrer que si le module de la vitesse initiale $v_0$ est inférieure à la valeur $\omega_0\sqrt{a_0^2 – r_0^2}$ alors l’électron reste bien dans l’atome tout au long de sa trajectoire.
1. \textbf{Q 9.} On montre en électromagnétisme classique (c’est-à-dire à partir des équations de Maxwell) qu’une charge animée d’un mouvement périodique de fréquence $f$ rayonne une onde électromagnétique de même fréquence. Calculer la fréquence de l’onde électromagnétique associée, en déduire la longueur d’onde correspondante. À quel domaine spectral cela correspond-il ?
1. \textbf{Q 10.} Justifier quantitativement l’ordre de grandeur du champ électrique transverse déduit par Rutherford à partir des résultats expérimentaux. On détaillera les notations utilisées en s’aidant d’un schéma.}
1. \textbf{Q 11.} En utilisant le champ électrique obtenu à la question Q 3 montrer que la force suivant la direction transverse (axe $Oy$) vaut $F_y = \frac{2Ze^2}{a_0^3}b$ où $e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}$, $b$ est la distance de la trajectoire avec la droite parallèle passant par le centre diffuseur (paramètre d’impact).
1. \textbf{Q 12.} Montrer alors que la variation maximale de la quantité de mouvement de la particule $\alpha$ dans la direction transverse vaut $\Delta p_m = \frac{2Ze^2}{a_0 v_0}$.
1. \textbf{Q 13.} En déduire que la déviation angulaire $\delta\theta$ correspondante vaut $\delta\theta = \frac{Ze^2}{a_0\mathcal{E}_c}$ où $\mathcal{E}_c$ est l’énergie cinétique de la particule $\alpha$. Effectuer l’application numérique. On prendra $a_0 = 1,0 \cdot 10^{-10}\text{ m}$, $\mathcal{E}_c = 5\text{ MeV}$.
1. \textbf{Q 14.} La cible constituée d’une feuille d’or d’épaisseur $L = 1\ \mu\text{m}$ contient $N$ atomes sur la trajectoire de la particule $\alpha$. Celle-ci effectue donc $N$ collisions dont en moyenne la moitié vont donner une déviation positive $+\delta\theta$ et l’autre moitié une déviation négative $-\delta\theta$. on peut alors montrer que la déviation totale est une variable aléatoire dont l’écart type s’écrit $\Delta\theta = \delta\theta\sqrt{N}$. Calculer l’ordre de grandeur de cette déviation et conclure quant à la possibilité d’avoir des déviations angulaires importantes (plusieurs dizaines de degrés).
1. \textbf{Q 15.} On considère le cas extrême d’une collision frontale et on supposera pour simplifier que l’atome est immobile compte tenu de sa masse importante par rapport aux particules $\alpha$. Montrer en utilisant la conservation de l’énergie mécanique que le noyau possède un rayon maximal $r_0$ vérifiant $r_0 = \frac{2Ze^2}{\mathcal{E}_c}$ où $\mathcal{E}_c$ est l’énergie cinétique initiale des particules $\alpha$.}
1. \textbf{Q 16.} Application numérique : on obtient une rétrodiffusion élastique jusqu’à des énergies incidentes $\mathcal{E}_c = 40\text{ MeV}$ des $\alpha$. Déterminer alors les dimensions du noyau. Commenter.
1. \textbf{Q 17.} Exprimer le champ magnétique $\vec{B}(M)$ associé en admettant que localement l’onde rayonnée a une structure d’onde plane se propageant dans la direction de $\vec{OM}$.
1. \textbf{Q 18.} Donner l’expression du vecteur de Poynting, en fonction des champs $\vec{E}(M)$ et $\vec{B}(M)$, et rappeler son interprétation physique.
1. \textbf{Q 19.} En déduire alors que la puissance rayonnée à grande distance dans tout l’espace a pour expression $P = \frac{1}{6\pi}\frac{q^2}{\epsilon_0 c^3}a^2$ où $a$ est le module du vecteur accélération. On donne l’intégrale $\int_0^\pi \sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}$.
1. \textbf{Q 20.} Dans un modèle d’atome d’hydrogène « planétaire » où l’électron a un mouvement circulaire uniforme autour du noyau, montrer que l’énergie mécanique s’écrit $E = -\frac{1}{2}\frac{e^2}{R}$ où $R$ désigne la distance électron-noyau, et où on a posé comme précédemment $e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}$.}
1. \textbf{Q 21.} On tient compte à présent de la puissance électromagnétique rayonnée par l’électron. Par conservation de l’énergie totale du système, l’émission d’une énergie de rayonnement doit s’accompagner d’une diminution de l’énergie mécanique de l’électron. En supposant la trajectoire quasi-circulaire de rayon $R$, montrer que la puissance rayonnée par l’électron s’écrit $P = \frac{2}{3}\frac{e^6}{m^2 c^3}\frac{1}{R^4}$.
1. \textbf{Q 22.} En déduire que la rayon moyen $R$ obéit à l’équation différentielle $R^2 \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}t} = -\frac{4}{3}\frac{e^4}{m^2 c^3}$.
1. \textbf{Q 23.} Estimer alors le temps de vie $\tau$ de cet atome.
1. \textbf{Q 24.} Effectuer l’application numérique en prenant pour rayon initial $a_0 = 1,0 \cdot 10^{-10}\text{ m}$. Commentaires ?
1. \textbf{Q 25.} Rappeler l’interprétation physique de la fonction d’onde $\psi(r)$ et en déduire que la valeur de la constante $A$ (à une phase près) vaut $A = \sqrt{\frac{3}{4\pi r_0^3}}$.}
1. \textbf{Q 26.} Calculer la valeur moyenne de la position $\langle\vec{r}\rangle$ et du carré de la distance $\langle\|\vec{r}\|^2\rangle$. Montrer alors que la « dispersion en position » définie par la relation $\Delta r = \sqrt{\langle\|\vec{r}\|^2\rangle – \|\langle\vec{r}\rangle\|^2}$ vaut $\Delta r = \sqrt{\frac{3}{5}}r_0$.
1. \textbf{Q 27.} Par analogie avec la fonction d’onde spatiale $\psi(\vec{r})$, on introduit la fonction d’onde en quantité de mouvement, $\chi(\vec{p})$ pour décrire la densité de probabilité dans l’espace des quantités de mouvement. On admet que la fonction d’onde en quantité de mouvement, $\chi(\vec{p})$ vérifie : $$\begin{cases} \chi(\vec{p}) = B & \text{pour } p < p_0 \\ \chi(\vec{p}) = 0 & \text{pour } p > p_0 \end{cases}$$ où $p$ désigne le module de $\vec{p}$, $B$ est une constante et $p_0$ un paramètre ajustable que nous déterminerons un peu plus loin. Par analogie avec la notion de fonction d’onde spatiale, proposer une interprétation du carré du module de la fonction d’onde $\chi(\vec{p})$.
1. \textbf{Q 28.} Comme précédemment, calculer la constante $B$ et la « dispersion en quantité de mouvement » $\Delta p$.
1. \textbf{Q 29.} En vous appuyant sur les inégalités spatiales d’Heisenberg, justifier que si l’électron est dans son état fondamental (c’est-à-dire de plus basse énergie) on doit avoir la relation $\frac{3}{5}p_0 r_0 \sim \hbar$ où $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ est la constante de Planck réduite et le signe $\sim$ signifie « de l’ordre de grandeur de ».
1. \textbf{Q 30.} On cherche l’expression de l’énergie de l’électron en fonction de $r_0$. Rappeler l’expression de l’énergie potentielle d’un électron dans le champ électrique créé par le noyau. On notera $e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}$ où $q_e$ est la charge élémentaire.}
1. \textbf{Q 31.} Montrer que l’énergie potentielle moyenne $\langle E_p\rangle$ de l’électron décrit par la fonction d’onde $\psi(\vec{r})$ s’écrit $\langle E_p\rangle = -\frac{3}{2}\frac{e^2}{r_0}$ où $e^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0}$ avec $q_e$ est la charge élémentaire.
1. \textbf{Q 32.} Montrer de même que l’énergie cinétique moyenne $\langle E_c\rangle$ de l’électron décrit par la fonction d’onde $\chi(\vec{p})$ s’écrit $\langle E_c\rangle = \frac{3}{10}\frac{p_0^2}{m}$.
1. \textbf{Q 33.} En éliminant $p_0$ grâce à la relation obtenue à la question Q 29 (on remplacera le signe $\sim$ par une égalité pour effectuer ce calcul), établir l’expression de $\langle E_m\rangle$ en fonction uniquement de $r_0$.
1. \textbf{Q 34.} En déduire que la « taille » de la l’atome d’hydrogène a pour expression $a_0 \sim \frac{\hbar^2}{m e^2}$.
1. \textbf{Q 35.} Effectuer l’application numérique. Commenter.}
1. \textbf{Q 36.} À partir de la formule de la molécule de phtalocyanine, calculer la masse d’une molécule de $\mathrm{PcH}_2$.
1. \textbf{Q 37.} On note un élargissement des franges « vers le bas » que l’on attribue à l’action de la pesanteur sur la trajectoire initialement horizontale des molécules. Montrer par un calcul simple de mécanique classique que la trajectoire d’une particule de masse $m$ soumise à l’action de la pesanteur $g$ et de vitesse initiale horizontale $v_0$, présente à une distance $D$ de son point de lancement une déviation verticale $h$ donnée par la relation $h = -\frac{1}{2}g \left(\frac{D}{v_0}\right)^2$.
1. \textbf{Q 38.} Comme indiqué sur la figure 3 droite, on sélectionne des molécules dont la déflexion se situe dans l’intervalle $[-240, -160]\ \mu\text{m}$. En déduire la vitesse moyenne $v_0$ et la dispersion (indétermination) $\Delta v$ correspondante. On prendra $D = 0,96\text{ m}$.
1. \textbf{Q 39.} Définir puis calculer la longueur d’onde de de Broglie $\lambda_B$ des molécules de phtalocyanine.
1. \textbf{Q 40.} En interprétant le phénomène observé comme résultant d’interférences entre des ondes de longueur d’onde $\lambda_B$, établir simplement que l’on observe des interférences constructives (et donc des densités de probabilités de présence maximales des molécules) dans les directions $\theta_k$ données par la relation $a \sin\theta_k = k\lambda_B$ où $a$ est la distance entre deux fentes consécutives et $k$ est un nombre entier.}
1. \textbf{Q 41.} Montrer alors que l’interfrange $i$ que l’on définira vaut $i = \frac{\lambda_B L_2}{a}$ où $L_2$ est la distance entre le réseau et l’écran. Effectuer l’application numérique, puis estimer la dispersion $\Delta i$ compte tenu de la dispersion en vitesse obtenue plus haut. On négligera les incertitudes sur les mesures de $L_2$ et de $a$.
1. \textbf{Q 42.} Comparer avec la valeur obtenue expérimentalement. Conclure.
1. \textbf{Q 43.} Citer deux autres phénomènes de la physique dont l’évolution est modélisée par une équation de ce type.
1. \textbf{Q 44.} Montrer que pour tout $m$ et pour $k \geqslant 2$, on a la relation $u_{k,m+1} = u_{k,m} + p (u_{k+1,m} + u_{k-1,m} – 2u_{k,m})$
1. \textbf{Q 45.} Montrer que par passage à la limite continue ($\tau \to 0$ et $a \to 0$) on retrouve bien l’équation equation VI.1 à condition de poser $D = \frac{p a^2}{\tau}$.}
1. \textbf{Q 46.} Justifier que compte tenu des conditions aux limites dues au comportement des particules sur la paroi, on a pour tout $m \geqslant 0$ en $k = 0$ et $k = 1$ les relations : $$u_{0,m+1} = u_{0,m} + p u_{1,m},$$ $$u_{1,m+1} = p u_{2,m} + (1 – 2p) u_{1,m}.$$
1. \textbf{Q 47.} L’évolution du carré de la densité surfacique normalisée en surface en fonction du temps (valeurs de $u_{0,m}^2$) est représenté sur la figure 5, pour la valeur $p = 0,1$, du paramètre de probabilité de saut. On note $M_0(t)$ la densité surfacique sur la paroi (pour rappel, on a $M_0(t) = n_0 \times a \times u(0, t)$). Vérifier à l’aide de ce graphe que, passés les premiers instants, la densité surfacique $M_0(t)$ suit la relation $M_0^2(t) \simeq \alpha D n_0^2\ t$ où $\alpha$ est un coefficient numérique voisin de 1 à déterminer à partir du graphe.
1. \textbf{Q 48.} En utilisant les données numériques précisées plus haut dans la description de l’expérience et en vous appuyant sur le résultat de la question précédente, extraire de la figure 6 la valeur du coefficient de diffusion $D$ des grains colloïdaux dans cette solution. On indiquera la procédure mise en œuvre et on prendra soin d’exprimer ce résultat en unité du système international (SI).
1. \textbf{Q 49.} En exploitant le résultat précédent et la relation d’Einstein (eq equation VI.2) déduire une estimation de la constante de Boltzmann $k_B$, puis de la constante d’Avogadro. On indiquera précisément les différentes valeurs numériques et leurs unités utilisées dans ce calcul. On donne la constante des gaz parfait $R = 8,31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}$. Commenter le résultat.}
FAQ
Tu retrouveras dans cette épreuve toutes les notions clés de l’électrostatique (champ électrique, symétrie, théorème de Gauss), de la mécanique classique (mouvement plan, énergie mécanique, stabilité), de l’électromagnétisme (radiation, puissance rayonnée, vecteur de Poynting), mais aussi les bases de la mécanique quantique (fonction d’onde, dispersion, inégalités d’Heisenberg). Les notions de diffusion, d’énergie, et le modèle planétaire de l’atome sont également au cœur du sujet. Cela donne un beau panorama du programme de physique de MP.
Le théorème de Gauss est un outil fondamental pour relier la distribution de charge à la valeur du champ électrique. Dans de nombreux exercices, il te permet, grâce à la symétrie, de calculer rapidement un champ électrique sans besoin d’intégration complexe. Lorsque le problème présente une sphéricité ou une invariance, repère tout de suite si Gauss s’applique, c’est un réflexe de physicien à avoir pour gagner du temps au concours.
Le sujet propose une alternance subtile entre physique classique et quantique. Tout ce qui concerne les champs électriques, le mouvement d’une particule, la conservation de l’énergie ou de la quantité de mouvement relève du classique (mécanique/newtonien et Maxwell pour l’EM). Quand on commence à parler de fonction d’onde, de dispersion en position ou quantité de mouvement, de relations d’indétermination ou de calculs probabilistes, tu bascules dans le domaine de la mécanique quantique. Bien distinguer ces domaines permet d’appliquer les méthodes adaptées à chaque partie.
Identifier des symétries (sphérique, cylindrique, plan) permet de simplifier l’analyse des problèmes et souvent de réduire les difficultés de calcul. Les invariances de translation ou de rotation t’indiquent quelles grandeurs sont pertinentes (comme le rayon r pour un champ central). Dans tous les sujets de concours, cette démarche rigoureuse est très appréciée du correcteur, alors ne néglige jamais une justification par symétrie dans ta copie !
Souvent, les erreurs proviennent d’amalgames entre classique et quantique : il ne faut pas appliquer directement les lois de Newton à l’électron sans tenir compte de la quantification de son état ! De même, pour le modèle planétaire, attention à ne pas oublier les forces électrostatiques ou à confondre vitesse et pulsation. Et en mécanique quantique, méfie-toi de la normalisation des fonctions d’onde et des interprétations probabilistes ! Pour progresser plus vite, accède à tous les corrigés détaillés et à ton dashboard personnalisé sur PrépaBooster en débloquant les corrigés.
Justifier l’ordre de grandeur des forces permet de bien comprendre la hiérarchie des interactions et de ne négliger aucune contribution importante. Dans l’atome, la force électrique est des millions de fois plus intense que le poids, d’où l’intérêt de bien comparer pour savoir ce que l’on peut négliger ou non dans les modèles.
La notion de dispersion traduit la plage de valeurs possibles mesurées pour une grandeur (position, quantité de mouvement) et intervient naturellement dès que l’on quitte la physique classique déterministe. L’énergie mécanique (somme énergie cinétique et potentielle) reste une notion commune dans les deux cadres. Le rayonnement, quant à lui, fait le lien entre accélération de charges et émission d’ondes EM : il se calcule avec la physique classique mais peut avoir des conséquences en quantique (comme la stabilité des états). Tout est interconnecté !
La dispersion en position (Δr) te donne une idée de l’étalement spatial de la probabilité de présence de la particule, tandis que la dispersion en quantité de mouvement (Δp) donne l’étendue des valeurs possibles pour sa quantité de mouvement. Leur produit vérifie l’inégalité de Heisenberg : elles sont donc centrales pour comprendre la structure même de la matière à l’échelle microscopique et l’impossibilité de localiser précisément une particule et sa vitesse en même temps.
Incontournable ! Un schéma bien fait aide à structurer ta réflexion, à clarifier la situation physique et montre au correcteur que tu maîtrises les conventions de représentation (orientations, axes, distances, champs). Prends l’habitude d’en faire à chaque question pour t’aider à organiser tes informations, en particulier pour les questions de symétrie et de champ électrostatique.
Parce que les sujets sont construits pour tester tout ton spectre de compétences : théorie, méthodes, rigueur du raisonnement mais aussi ta rapidité et ta capacité à trier l’essentiel de l’accessoire. Les sujets récents croisent plusieurs chapitres, mélangent souvent classique et quantique ou mettent en scène des applications expérimentales. PrépaBooster t’accompagne dans ce défi en te proposant des corrigés détaillés, des exercices inédits et un dashboard personnalisé dès que tu débloques les corrigés.