Questions du sujet
1. Justifier que la matrice $P$ est inversible. En déduire que la famille $\mathcal{B}_1 = (c_1, c_2, c_3)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
2. Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base $\mathcal{B}_1 = (c_1, c_2, c_3)$ pour construire une base orthonormée $\mathcal{B}_2 = (u_1, u_2, u_3)$ de $\mathbb{R}^3$.
3. Soit $Q$ la matrice de passage de la base canonique $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^3$ à la base $\mathcal{B}_2$. Justifier que $Q^{-1} = Q^\top$.
4. Déterminer la matrice de passage $R$ de la base $\mathcal{B}_2$ à la base $\mathcal{B}_1$.\\On constate que $R$ est triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs.
5. Justifier que $P = QR$.}
6. Soit $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible. En s’inspirant de la démarche mise en place sur l’exemple, montrer qu’il existe une matrice $Q$ orthogonale et une matrice $R$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs telles que $P = QR$.
7. Soit $b$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$ et $P$ une matrice inversible de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Expliquer l’intérêt de la décomposition $P = QR$, avec $Q$ orthogonale et $R$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs, pour résoudre le système linéaire $P x = b$, d’inconnue $x \in \mathbb{R}^n$.
8. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice à la fois orthogonale et triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. En raisonnant de proche en proche de la première à la dernière colonne de $M$, montrer que $M = I_n$.
9. On considère quatre matrices $Q_1, Q_2, R_1, R_2$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $Q_1$ et $Q_2$ sont orthogonales, $R_1$ et $R_2$ sont triangulaires supérieures à coefficients diagonaux strictement positifs et $Q_1 R_1 = Q_2 R_2$. Montrer que $Q_1 = Q_2$ et $R_1 = R_2$.
10. Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont le polynôme caractéristique $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{R}$. En utilisant la décomposition $QR$ d’une matrice inversible bien choisie, démontrer qu’il existe une matrice $Q \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ orthogonale et une matrice $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telles que $A = Q T Q^\top$.}
11. Donner un exemple de matrice $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ diagonalisable et une décomposition $A = Q T Q^\top$ avec $Q \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ orthogonale et $T \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure à éléments diagonaux strictement positifs, mais non diagonale.
12. Donner un exemple de matrice $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ diagonalisable et une décomposition $A = Q T Q^\top$ avec $Q \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ orthogonale et $T \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ diagonale à éléments diagonaux strictement positifs.
13. Vérifier que, pour tout couple $(i, j) \in \llbracket 0, n \rrbracket^2$, $A_i(r_j) = \delta_{i,j}$.
14. Démontrer que $(A_0, A_1, \ldots, A_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$ et donner la décomposition, dans cette base, d’un polynôme $P$ quelconque de $\mathbb{R}_n[X]$.
15. Pour tout entier $i \in \llbracket 0, n \rrbracket$, exprimer $\omega_i$ en fonction de $A_i$.}
16. En déduire l’unicité de $(\omega_0, \ldots, \omega_n)$.
17. Démontrer que, pour les valeurs $\omega_0, \ldots, \omega_n$, déterminées à la question 15, l’égalité
$$
\int_{-1}^1 P(x)\, dx = \sum_{k=0}^n \omega_k P(r_k)
$$
est valable pour toute fonction $P$ polynomiale de degré inférieur ou égal à $n$.
18. On choisit $n = 0$ et $r_0 = 0$. Donner l’interprétation géométrique, en termes d’aire, de $\Sigma_r(f)$ lorsque $f$ est positive sur $[-1, 1]$.
19. On choisit $n = 1$, $r_0 = -1$ et $r_1 = 1$. Donner l’interprétation géométrique, en termes d’aire, de $\Sigma_r(f)$ lorsque $f$ est positive sur $[-1, 1]$.
20. Justifier l’existence de $N(f^{(n+1)})$ et de $N(Q_r)$.}
21. Démontrer que $T_{r, f} = \sum_{k=0}^n f(r_k)A_k$ est l’unique polynôme de $\mathbb{R}_n[X]$ vérifiant $T_{r, f}(r_i) = f(r_i)$, pour tout entier $i \in \llbracket 0, n \rrbracket$.
22. On se propose de démontrer que, pour tout réel $x \in [-1, 1]$,
$$
|f(x) – T_{r, f}(x)| \leq \frac{N(f^{(n+1)}) N(Q_r)}{(n+1)!}.
$$
23. On suppose que $g$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $[-1, 1]$ s’annulant en au moins $n + 2$ points distincts de $[-1, 1]$.\\
Démontrer que $g’$ s’annule en au moins $n + 1$ points distincts de $]-1, 1[$.
24. Démontrer que $g^{(n+1)}$ s’annule en au moins un point de l’intervalle $]-1, 1[$.
25. Démontrer que l’inégalité (II.1) est vérifiée si $x \in \{r_0, \ldots, r_n\}$.}
26. On suppose que $x \notin \{r_0, \ldots, r_n\}$. Montrer qu’il existe un réel $\lambda_x$ pour lequel la fonction $g_x$ définie sur $[-1, 1]$ par
$$
\forall t \in [-1, 1],\ g_x(t) = f(t) – T_{r, f}(t) – \lambda_x Q_r(t)
$$
vérifie $g_x(x) = 0$.
27. En utilisant le résultat de la question 23, démontrer qu’il existe un réel $c_x \in ]-1, 1[$ tel que
$$
\lambda_x = \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c_x)
$$
et conclure.
28. En déduire que $|I(f) – \Sigma_r(f)| \leq \frac{2 N(f^{(n+1)}) N(Q_r)}{(n+1)!}$.
29. On choisit un jeu $s = (s_0, \ldots, s_n)$ de $n+1$ nœuds équidistants dans l’intervalle $[-1, 1]$ vérifiant $s_0 = -1$ et $s_n = 1$.\\
On cherche à minorer $N(Q_s)$.\\
On pose $h = 2/n$ et $x = -1 + t h$ avec $t \in [0, n]$. Exprimer $|Q_s(x)|$ en fonction de $\varphi_{n+1}(t) = \prod_{k=0}^n |t-k|$.
30. Justifier que la fonction $\varphi_{n+1}$ admet un maximum sur $[0, n]$ et que ce maximum est atteint sur $[0, n/2]$.\\
On admet dans la suite que ce maximum est atteint sur $[0, 1]$.}
31. Démontrer que $\max_{[0,1]} \varphi_2 = \frac{2}{3} \sqrt{3}$.
32. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geq 1$, $\max_{[0, n]} \varphi_{n+1} \geq \frac{1}{4} (n-1)!$.
33. En déduire une minoration de $N(Q_s)$.
34. On cherche un nouveau jeu de nœuds $c = (c_0, \ldots, c_n)$ utilisant une famille de polynômes.\\
On rappelle que arccos est la fonction réciproque de la fonction $[0, \pi] \to [-1, 1]$, $\theta \mapsto \cos(\theta)$.\\
Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on note $T_n : x \mapsto \cos(n \arccos(x))$.\\
Préciser le domaine de définition de $T_n$.
35. Calculer, pour tout $x$ dans le domaine de définition, $T_0(x)$, $T_1(x)$, $T_2(x)$ et $T_3(x)$.}
36. Pour tout entier naturel $n$, calculer $T_n(-1)$, $T_n(0)$ et $T_n(1)$.
37. Étudier la parité de $T_n$ en fonction de $n$.
38. Pour tout $x$ dans le domaine de définition, démontrer que $T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2x T_n(x)$.
39. En déduire que $T_n$ est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coefficient dominant.\\
Pour tout entier naturel $n$, $T_n$ est le $n$-ième polynôme de Tchebychev.
40. Montrer que $T_{n+1}$ admet $n + 1$ racines distinctes dans l’intervalle $[-1, 1]$.}
41. Compléter la fonction Python \texttt{Tchebychev(n)} ci-dessous qui prend en argument un entier $n$ et renvoie un couple de deux vecteurs $(u_0, \ldots, u_{999})$ et $(y_0, \ldots, y_{999})$, avec, pour tout $k \in \llbracket 0, 999 \rrbracket$, $y_k = T_n(u_k)$.
\begin{verbatim}
import numpy as np
def Tchebychev(n):
T = np.linspace(np.pi/2, np.pi, 1000)
U = np.cos(T)
Y = …
return U, Y
\end{verbatim}
42. Pour chacune de ces deux courbes, préciser, en la justifiant, la valeur utilisée pour le paramètre $n$.
43. On choisit les racines obtenues en question 39 comme nœuds du jeu $c = (c_0, \ldots, c_n)$. Donner la valeur de $N(Q_c)$.
44. En admettant que $n! \sim \sqrt{2\pi n}\, e^{-n} n^n$, calculer la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, du rapport $\frac{N(Q_c)}{N(Q_s)}$.
45. À l’aide de ce résultat et de celui de la question 27, comparer la qualité des estimations de l’intégrale sur $[-1, 1]$ par quadrature, selon le choix de $s$ ou $c$ comme jeu de nœuds.}