Questions du sujet
1. Calculer le polynôme caractéristique de 𝐴.
2. Montrer que 𝐴 est diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ et déterminer une matrice diagonale $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ avec $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ et une matrice inversible $P$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $A = PDP^{-1}$.
3. Déterminer le polynôme caractéristique de $B$ et une base de chacun des sous-espaces propres de $B$.
4. Montrer que $B$ n’est pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ mais qu’elle est trigonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
5. Déterminer un vecteur colonne $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ tel que $B v_2 = v_1 + v_2$.}
6. Déterminer un vecteur colonne $v_3 = \begin{pmatrix} z \\ t \\ 0 \end{pmatrix}$ de $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ tel que $B v_3 = v_2 + v_3$.
7. En déduire une matrice $R$ inversible de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $B = RT R^{-1}$ où $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
8. Montrer par récurrence sur $p$ que le polynôme caractéristique de $C$ est $\chi_C(X) = X^p – a_p X^{p-1} – \ldots – a_2 X – a_1$.
9. Montrer que si $\lambda \in \mathbb{R}$ alors le rang de $C – \lambda I_p$ est supérieur ou égal à $p-1$ ; en déduire que les sous-espaces propres de $C$ sont de dimension 1.
10. Montrer que $C$ est diagonalisable si et seulement si le polynôme caractéristique de $C$ est scindé à racines simples.}
11. On considère un polynôme unitaire $P$ de $\mathbb{R}[X]$ de degré $p$. Montrer qu’il existe un unique $(a_1,\ldots,a_p) \in \mathbb{R}^p$ tel que $P = \chi_C$ où $C = C(a_1,\ldots,a_p)$.
12. Étant donné un polynôme $Q$ de $\mathbb{R}[X]$, donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $Q$ pour que ce polynôme soit le polynôme caractéristique d’une matrice.
13. Montrer que si $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}_+^2$ et si $A$ et $B$ sont des matrices symétriques positives de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ alors $\lambda A + \mu B$ est une matrice symétrique positive.
14. Montrer que si $A$ est une matrice symétrique positive, alors $A^\top$ l’est aussi.
15. Justifier qu’il existe une matrice $P \in O_n(\mathbb{R})$ et des réels $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ tels que $A = P \, \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) P^\top$.}
16. On considère $i \in \{1, \ldots, n\}$ et un vecteur propre $X_i \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ de $A$ associé à $\lambda_i$. Montrer que $\lambda_i \| X_i \|^2 = X_i^\top A X_i$.
17. En déduire que les valeurs propres $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ de $A$ sont toutes positives.
18. Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ une matrice symétrique positive de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Montrer que $a+c \geq 0$ et $ac-b^2 \geq 0$.
19. On considère une matrice symétrique $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont toutes les valeurs propres sont positives. Il existe alors une matrice $P \in O_n(\mathbb{R})$ et des réels positifs $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ tels que $A = P \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) P^\top$.\\ On considère $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ et $X’ = P^\top X$. On note $X’ = \begin{pmatrix} x’_1 \\ \vdots \\ x’_n \end{pmatrix}$, montrer que $X^\top A X = X’^\top \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots, \lambda_n) X’ = \sum_{i=1}^n \lambda_i (x_i’)^2.$
20. En déduire que $A$ est une matrice symétrique positive.}
21. Montrer que si $A$ est une matrice symétrique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ alors $A$ est symétrique positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives.
22. On suppose qu’il existe $B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ telle que $A = B^\top B$. Montrer que $A$ est symétrique positive.
23. Réciproquement, on suppose que $A$ est une matrice symétrique positive. En utilisant la sous-partie II.B, montrer qu’il existe une matrice $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A = B^\top B$.
24. Calculer $A \otimes B$ et $X \otimes Y$.
25. Justifier sans calcul que la matrice $A \otimes B$ est diagonalisable.}
26. Vérifier que $X$ est un vecteur propre de $A$, que $Y$ est un vecteur propre de $B$ et que $X \otimes Y$ est un vecteur propre de $A \otimes B$.
27. Si $\alpha \in \mathbb{R}$, $A \in \mathcal{M}_{n,n’}(\mathbb{R})$, $A’ \in \mathcal{M}_{n,n’}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,p’}(\mathbb{R})$ montrer que $(\alpha A + A’) \otimes B = \alpha A \otimes B + A’ \otimes B$.
28. Si $A \in \mathcal{M}_{n,n’}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,p’}(\mathbb{R})$ montrer que $(A \otimes B)^\top = A^\top \otimes B^\top$. En déduire que si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ sont symétriques alors $A \otimes B$ est symétrique.
29. Pour toutes matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ démontrer que $\mathrm{tr}(A \otimes B) = \mathrm{tr}(A) \mathrm{tr}(B)$.
30. Montrer que $X \otimes Y$ est un vecteur propre de $A \otimes B$ et que $\lambda\mu$ est une valeur propre de $A \otimes B$.}
31. Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont des matrices symétriques positives montrer que $A \otimes B$ est une matrice symétrique positive de $\mathcal{M}_{n^2}(\mathbb{R})$. On pourra utiliser les résultats des questions 22 et 23 ainsi que l’égalité (III.3).
32. On suppose dans cette question que $n=2$. Calculer $E^{(2)}_{1,2} \otimes E^{(2)}_{2,1}$ et plus généralement les 16 produits tensoriels $E^{(2)}_{i,j} \otimes E^{(2)}_{k,l}$.
33. Si $i,j,k,l\in \mathbb{N}^*$, exprimer $E^{(n)}_{i,j} \otimes E^{(n)}_{k,l}$ en fonctions d’éléments de la base canonique de $\mathcal{M}_{n^2}(\mathbb{R})$.
34. Montrer que $\forall (A,B)\in (\mathcal{M}_n(\mathbb{R}))^2,\; \tau_2(A \otimes B) = A \otimes B^\top$.
35. Démontrer que tout élément $\alpha \in \mathbb{Z}$ est un entier algébrique.}
36. Montrer que $i$ et $\sqrt{2}$ sont des entiers algébriques.
37. Prouver que le nombre d’or $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est un entier algébrique.
38. En utilisant la sous-partie I.D et la question 30, montrer que le produit $\alpha \beta$ de deux entiers algébriques $\alpha$ et $\beta$ est un entier algébrique.
39. Si $(A,B) \in (\mathcal{Q}_N)^2$ montrer que $\forall t \in [0,1],\; tA + (1-t)B \in \mathcal{Q}_N$. On dit que $\mathcal{Q}_N$ est un ensemble convexe.
40. On suppose que $m$ est un entier naturel non nul. Montrer que si, $\forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\, A_i \in \mathcal{Q}_n,\, B_i \in \mathcal{Q}_n,\, p_i \in \mathbb{R}_+$ et si $\sum_{i=1}^m p_i = 1$ alors $\sum_{i=1}^m p_i A_i \otimes B_i \in \mathcal{Q}_{n^2}$.}
41. Montrer que si un état $C$ de $\mathcal{Q}_{n^2}$ est séparable alors la matrice $\tau_2(C)$ est symétrique positive (l’application $\tau_2$ a été définie dans la sous-partie III.D).
42. Calculer le produit $\Psi^\top \Psi$.
43. Montrer que $\Psi^\top \Psi$ est un état quantique de $\mathcal{M}_{n^2}(\mathbb{R})$.
44. Préciser la matrice $\Psi^\top \Psi$ de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$.
45. Montrer que $W_p$ est un état quantique de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$. On l’appelle état quantique de Werner.}
46. Expliciter la matrice $W_p$.
47. Expliciter la matrice $\tau_2(W_p)$ de $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ et calculer ses valeurs propres.
48. En utilisant la question 41, démontrer qu’il existe un intervalle $I$ inclus dans $[0,1]$ tel que $\forall p \in I, W_p$ n’est pas séparable.\\ Ce résultat traduit que, pour les valeurs de $p$ dans cet intervalle, l’état quantique des deux particules est global, on ne peut pas le décrire en séparant les particules l’une de l’autre.}