Questions du sujet
1. I.A.1) Soit $\vec{r}$ un vecteur de $\overrightarrow{\mathcal{E}}$. Montrer que l’application $\mathcal{M} : A \mapsto \vec{r} \wedge \overrightarrow{OA}$ est un torseur.
2. I.A.2) Montrer que l’ensemble $\mathcal{T}$ des torseurs est un sous-espace vectoriel du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathcal{F}(\mathcal{E}, \overrightarrow{\mathcal{E}})$ des applications de $\mathcal{E}$ dans $\overrightarrow{\mathcal{E}}$.
3. I.A.3) \\
a) Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Rappeler, sans démonstration, une condition géométrique nécessaire et suffisante pour que $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.\\
b) Soit $\mathcal{M}$ un torseur. Montrer que le vecteur $\vec{r}$ de la définition est unique.\\
Il s’appelle la résultante du torseur $\mathcal{M}$. On admet que l’application $\mathcal{T} \to \overrightarrow{\mathcal{E}}, \mathcal{M} \mapsto \vec{r}$ est linéaire.
4. I.A.4) Vérifier qu’une application constante de $\mathcal{E}$ dans $\overrightarrow{\mathcal{E}}$ est un torseur et en donner la résultante. Un tel torseur s’appelle un couple. Montrer que l’ensemble $\mathcal{C}$ des couples est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{T}$ et que l’application $\mathcal{C} \to \overrightarrow{\mathcal{E}}, \mathcal{M} \mapsto \mathcal{M}(O)$ est un isomorphisme.\\
En déduire la dimension de $\mathcal{C}$.
5. I.A.5) On appelle glisseur tout torseur qui s’annule en au moins un point de $\mathcal{E}$.\\
a) Soit $O_1$ un point de $\mathcal{E}$ distinct de $O$ et $\vec{r}$ un vecteur non nul et non colinéaire à $\overrightarrow{OO_1}$. On note $g_0: A \mapsto \vec{r}\wedge\overrightarrow{OA}$ et $g_1: A \mapsto \vec{r} \wedge \overrightarrow{O_1A}$.\\
Montrer que $g_0$ et $g_1$ sont des glisseurs, mais que $g_0 – g_1$ n’en est pas un. Expliquer pourquoi l’ensemble $\mathcal{G}$ des glisseurs n’est pas un sous-espace vectoriel de $\mathcal{T}$.\\
b) Montrer que l’ensemble $\mathcal{G}_O$ des glisseurs s’annulant en $O$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{T}$ et que l’application $\mathcal{G}_O \to \overrightarrow{\mathcal{E}},\ \mathcal{M} \mapsto \vec{r}$, où $\vec{r}$ est la résultante de $\mathcal{M}$, est un isomorphisme.\\
En déduire la dimension de $\mathcal{G}_O$.\\
c) Démontrer que $\mathcal{T} = \mathcal{C} \oplus \mathcal{G}_O$. Quelle est la dimension de $\mathcal{T}$ ?
}
6. I.B.1) Démontrer que, si $\mathcal{M}$ est un torseur alors $\mathcal{M}$ vérifie la propriété suivante :\\
$\forall A, B \in \mathcal{E},\ \mathcal{M}(A) \cdot \overrightarrow{AB} = \mathcal{M}(B) \cdot \overrightarrow{AB}$\\
Cette propriété est connue sous le nom de propriété d’équiprojectivité.
7. I.B.2) Question préparatoire\\
a) Rappeler la définition d’une matrice antisymétrique.\\
b) L’espace est muni du repère orthonormé direct $(O, \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ et on identifie tout vecteur avec la matrice colonne $3 \times 1$ contenant ses coordonnées dans la base $\mathcal{B}$.\\
Montrer qu’il existe un unique vecteur $\vec{r}$, dont on donnera les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$, tel que\\
$\forall\ \vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \overrightarrow{\mathcal{E}},\ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec{r} \wedge \vec{u}$
8. I.B.3) Soit $f : \overrightarrow{\mathcal{E}} \to \overrightarrow{\mathcal{E}}$ une application telle que pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, $f(\vec{u}) \cdot \vec{v} = -\vec{u} \cdot f(\vec{v})$.\\
a) Montrer que $f$ est linéaire.\\
Pour $\lambda$ et $\mu$ deux nombres réels, on pourra considérer le vecteur $\vec{w} = f(\lambda \vec{u} + \mu \vec{v}) – \lambda f(\vec{u}) – \mu f(\vec{v})$ et montrer qu’il est orthogonal à tout vecteur de $\overrightarrow{\mathcal{E}}$.\\
b) Montrer que la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est une matrice antisymétrique.\\
c) Démontrer qu’il existe un unique vecteur $\vec{r} \in \overrightarrow{\mathcal{E}}$ tel que pour tout $\vec{u} \in \overrightarrow{\mathcal{E}}$, $f(\vec{u}) = \vec{r} \wedge \vec{u}$.
9. I.B.4) Soit $\mathcal{M} : \mathcal{E} \rightarrow \overrightarrow{\mathcal{E}}$ une application vérifiant la propriété d’équiprojectivité. Montrer alors que $\mathcal{M}$ est un torseur.\\
On pourra considérer l’application $f : \overrightarrow{\mathcal{E}} \rightarrow \overrightarrow{\mathcal{E}}$ définie pour tout vecteur $\vec{u} \in \overrightarrow{\mathcal{E}}$ par $f(\vec{u}) = \mathcal{M}(O’)-\mathcal{M}(O)$ où $O’$ désigne le translaté du point $O$ par le vecteur $\vec{u}$ c’est-à-dire $\overrightarrow{OO’} = \vec{u}$.
10. II.A.1) Produits téléscopiques\\
a) Montrer que $\prod_{n=2}^{N} \left(1 – \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{N}$. En déduire la divergence du produit infini $\prod_{n \geq 2}\left(1 – \frac{1}{n}\right)$.\\
b) Justifier que $\prod_{n=2}^{N}\left(1 – \frac{1}{n^2}\right) = \left(\prod_{n=2}^{N} \frac{n-1}{n}\right) \left(\prod_{n=2}^{N} \frac{n+1}{n}\right)$.\\
En déduire la convergence et la valeur du produit infini $\prod_{n \geq 2}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$.
}
11. II.A.2) Conditions nécessaires de convergence\\
a) Montrer que si $\prod_{n \geq n_0} u_n$ converge alors pour tout $n \geq n_0$, $u_n \neq 0$.\\
b) Montrer, en considérant le quotient $\frac{P_{N+1}}{P_N}$ que si $\prod_{n \geq n_0} u_n$ converge alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.\\
c) La condition $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ est-elle suffisante pour que le produit infini $\prod_{n \geq n_0}u_n$ converge ?
12. II.A.3) On suppose dans cette question que $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une suite de réels strictement positifs.\\
a) Montrer que le produit infini $\prod_{n \geq n_0} u_n$ converge si et seulement si la série $\sum_{n \geq n_0} \ln(u_n)$ converge. Préciser alors la relation entre $\prod_{n=n_0}^{+\infty} u_n$ et $\sum_{n=n_0}^{+\infty} \ln u_n$.\\
b) Montrer que si, pour tout $n \geq n_0$, $0 < u_n < 1$ alors le produit infini $\prod_{n \geq n_0} (1 – u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_{n \geq n_0} u_n$ converge.\\ c) Soit $q$ un nombre réel appartenant à $[0, 1[$ quelle est la nature du produit infini $\prod_{n \geq 1}(1 – q^n)$ ? 13. II.B.1) Expliquer pourquoi il suffit de démontrer cette égalité pour tout $x \in ]0, 1[$.\\ Dans toute la suite de cette sous-partie II.B, $x$ est un réel fixé appartenant à l’intervalle $]0, 1[$. 14. II.B.2) Prouver la convergence du produit infini $\prod_{n \geq 1} \left(1 – \frac{x^2}{n^2}\right)$. 15. II.B.3)\\ a) Montrer que pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^2,\ \cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a – b)]$.\\ b) On définit la fonction $f$, $2\pi$-périodique, par $\forall t \in ]-\pi, \pi],\ f(t) = \cos(xt)$.\\ Représenter graphiquement la fonction $f$ dans le cas particulier où $x = 1/2$.\\ Dans le cas général où $x \in ]-1, 1[$, démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $C^1$ par morceaux.\\ Calculer les coefficients de Fourier de $f$.\\ c) En déduire, pour tout $t \in [-\pi, \pi]$, l’égalité\\ $\cos(xt) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi} \left(\frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n 2x}{x^2 – n^2} \cos(nt)\right)$\\ d) Pour tout $t \in \mathbb{R}$ tel que $\sin t \neq 0$ on pose $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$. Montrer que,\\ $\pi \cot(\pi x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 – n^2}$ } 16. II.B.4)\\ a) À l’aide d’un développement limité en 0 de $u \cos u – \sin u$, calculer $\lim_{t \rightarrow 0} (\pi \cot(\pi t) – \frac{1}{t})$. En déduire la convergence de l’intégrale $I = \int_0^x \left(\pi \cot(\pi t) – \frac{1}{t}\right) dt$.\\ b) Prouver l’existence et calculer la limite de $\ln \left(\frac{\sin(\pi \epsilon)}{\pi \epsilon}\right)$ quand $\epsilon$ tend vers 0.\\ c) En déduire que $I = \ln \left(\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\right)$.\\ d) Expliquer pourquoi la quantité $\sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2t}{n^2 – t^2}$ est définie pour tout $N \in \mathbb{N}^*$ et tout $t \in [0, 1]$.\\ e) Justifier que $\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2}{n^2 – 1} = 0$.\\ f) Montrer que\\ $\forall t \in [0,1[, \forall N \in \mathbb{N}^*,\ 0 \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{2t}{n^2 – t^2} \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2}{n^2 – 1}$.\\ g) Montrer que, pour tout $N \in \mathbb{N}^*$,\\ $\left|\ln \left(\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}\right) – \sum_{n=1}^N \int_0^x \frac{2t}{t^2 – n^2} dt\right| \leq x \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2}{n^2 – 1}$.\\ h) En déduire le développement en produit infini de $\sin(\pi x)$. 17. II.B.5) Deux applications\\ a)\\ i. Justifier la convergence du produit infini $\prod_{n \geq 1} \left(1 – \frac{1}{4n^2}\right)$.\\ ii. À l’aide du développement en produit infini de $\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ appliqué à un réel $x$ bien choisi, donner la valeur du produit infini $\prod_{n \geq 1} \left(1 – \frac{1}{4n^2}\right)$.\\ b) On introduit la fonction $\zeta$ de Riemann donnée par $\zeta(a) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^a}$.\\ i. Prouver que $\zeta$ est définie sur $]1, +\infty[$.\\ ii. Écrire le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction $x \mapsto \sin(\pi x)$.\\ iii. On trouve dans les travaux d’Euler un « calcul formel » permettant d’obtenir la valeur de $\zeta(2)$. Il identifie les termes de degré 3 du développement limité de $x \mapsto \sin(\pi x)$ et de son développement en produit infini. Conjecturer la valeur de $\zeta(2)$ en utilisant cette méthode. }