Questions du sujet
1. I.A.1) Exprimer $\|u_{n+1}\|$ en fonction de $\|u_n\|$ et justifier que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée dans $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.
2. I.A.2) À quelle condition, portant sur le vecteur $u$, la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge-t-elle vers $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$?
3. I.A.3) Que peut-on dire des valeurs propres d’une matrice $A$ qui appartient à la fois à $O_3(\mathbb{R})$ et à $T_3(\mathbb{R})$ ? En déduire la description de tous les éléments de $O_3(\mathbb{R}) \cap T_3(\mathbb{R})$.
4. I.B.1) Pour quelles valeurs du paramètre $s$ la matrice $B_s = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s \\ 0 & s^2 & 0\end{pmatrix}$ appartient-elle à $O_3(\mathbb{R})$ ? Pour ces valeurs de $s$, donner une description géométrique de l’endomorphisme associé à $B_s$ dans la base canonique.
5. I.B.2) Pour quelles valeurs du paramètre $s$ la matrice $B_s$ appartient-elle à $T_3(\mathbb{R})$ ? Que vaut alors son rayon spectral $\rho(B_s)$ ?}
6. I.B.3) Pour tout entier $\ell \geq 1$, calculer la matrice $B_s^{2\ell}$.
7. I.B.4) Déduire des deux questions précédentes qu’il existe $A \in T_3(\mathbb{R})$ et $u \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ tels que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par la condition initiale $u_0 = u$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = Au_n$ ne soit pas bornée dans $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.
8. II.A – Donner les valeurs de $a_0$, $b_0$ et $c_0$.
9. II.B – Soit $n$ un entier naturel. Déterminer la probabilité conditionnelle $P_n(A_{n+1})$ de $A_{n+1}$ sachant $A_n$. Calculer de même les probabilités conditionnelles $P_n(B_{n+1})$ et $P_n(C_{n+1})$.
10. II.C – En déduire l’égalité $P(A_{n+1}) = P(A_n) + \frac{1}{4}P(C_n)$.}
11. II.D – Démontrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{4} c_n$, $b_{n+1} = \frac{3}{4} b_n + \frac{1}{4}c_n$ et $c_{n+1} = \frac{1}{4} b_n + \frac{1}{2} c_n$.
12. II.E – On note $u_n = \begin{pmatrix}a_n \\ b_n \\ c_n\end{pmatrix}$. Déterminer une matrice $A$ telle que la relation $u_{n+1} = A u_n$ soit vérifiée pour tout $n \in \mathbb{N}$.
13. II.F.1) Montrer que la suite $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vérifie la relation de récurrence linéaire d’ordre $2$ : $b_{n+2} = \frac{5}{4} b_{n+1} – \frac{5}{16} b_n$.
14. II.F.2) En déduire l’expression de $b_n$, puis celles de $c_n$ et de $a_n$ en fonction de $n$.
15. II.F.3) Les suites $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont-elles convergentes ? Si oui, préciser leurs limites et en donner une interprétation.}
16. II.G.1) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
17. II.G.2) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, exprimer l’événement $(X = n)$ en fonction de $A_n$ et $C_{n-1}$.
18. II.G.3) Donner la loi de $X$. Justifier que pour $x \in ]-1, 1[$, $\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$. Calculer l’espérance de $X$. Comment peut-on l’interpréter dans le cadre du problème du labyrinthe.
19. III.A.1) Démontrer l’inégalité $\|P^{-1}A^{n+1}P w\| \leq \mu\|P^{-1} A^{n} P w\|$ pour tout entier $n \geq 1$ et toute matrice $w \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$. En déduire que $\|P^{-1}A^{n}P w\| \leq \mu^n\|w\|$.
20. III.A.2) a) Justifier brièvement l’inégalité :\newline
$\forall \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$, $\Vert P \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} \Vert \leq |x| \Vert P \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \Vert + |y| \Vert P \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \Vert + |z| \Vert P \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \Vert$.}
21. III.A.2) b) Pour $P = \begin{pmatrix}p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33}\end{pmatrix}$, on pose $C(P) = \sqrt{p_{11}^2 + p_{21}^2 + p_{31}^2 + p_{12}^2 + p_{22}^2 + p_{32}^2 + p_{13}^2 + p_{23}^2 + p_{33}^2}$. En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz à des vecteurs bien choisis, démontrer l’inégalité :\newline
$\forall w \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}),\; \|P w\| \leq C(P)\|w\|$.
22. III.A.3) Déduire de ce qui précède l’inégalité $\|A^n P w\| \leq C(P)\mu^n \|w\|$, valable pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $w \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.
23. III.A.4) En introduisant $w = P^{-1} u$, démontrer l’inégalité $\|u_n\| \leq C(P^{-1}) C(P) \mu^n \|u\|$, valable pour tout $n \in \mathbb{N}$.
24. III.A.5) a) Dans le cas où $0 \leq \mu \leq 1$, montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée.
25. III.A.5) b) Dans le cas où $0 \leq \mu < 1$, montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\begin{pmatrix}0\\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.} 26. III.B.1) Justifier l’égalité $\rho(A) = \rho(P^{-1}AP)$, valable pour toute matrice $P \in GL_3(\mathbb{R})$. 27. III.B.2) Préciser le rayon spectral $\rho(D)$ de la matrice diagonale $D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, d_3)$. 28. III.B.3) Pour tout $w \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$, démontrer l’inégalité $\|D w\| \leq \rho(D)\|w\|$. 29. III.B.4) Expliquer pourquoi il existe une matrice $P \in GL_3(\mathbb{R})$ telle que l’on a l’inégalité $\|P^{-1} A P w\| \leq \rho(A)\|w\|$ pour tout $w \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$. 30. III.B.5) En déduire que si $\rho(A) \leq 1$ alors la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bornée.} 31. III.B.6) Le résultat de la question précédente est-il cohérent avec la question II.F.3 ? Justifier la réponse. 32. III.B.7) Que dire de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ si $\rho(A) < 1$ ? 33. III.C.1) On définit la matrice $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$. Que vaut $\rho(A)$ ? $A$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ? 34. III.C.2) Donner l’expression de $A^\ell$, valable pour tout $\ell \in \mathbb{N}^*$. 35. III.C.3) Comme précédemment, pour $u \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$, on considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la condition initiale $u_0 = u$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = A u_n$. Démontrer qu’il existe $u \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ tel que la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ne soit pas bornée dans $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.} 36. III.D.1) a) Expliquer pourquoi il existe une matrice triangulaire supérieure $T = \begin{pmatrix} t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ 0 & t_{22} & t_{23} \\ 0 & 0 & t_{33} \end{pmatrix}$ et une matrice $Q \in GL_3(\mathbb{R})$ telles que $Q^{-1}A Q = T$.\\b) Exprimer le rayon spectral $\rho(A)$ en fonction des coefficients de la matrice $T$. 37. III.D.2) a) En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer l’inégalité $(ay + bz)^2 \leq (a^2 + b^2)(y^2 + z^2)$, valable pour tout vecteur $(a, b, y, z) \in \mathbb{R}^4$.\\b) En déduire, pour tous vecteurs $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ et $(y, z) \in \mathbb{R}^2$, l’inégalité $(ay+ bz)^2 + c^2 z^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(y^2 + z^2)$. 38. III.D.3) a) En notant $D = \begin{pmatrix} t_{11} & 0 & 0 \\ 0 & t_{22} & 0 \\ 0 & 0 & t_{33} \end{pmatrix}$, justifier l’inégalité $\|T w\| \leq \|D w\| + \|(T - D)w\|$, valable pour tout $w \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.\\b) Démontrer l’inégalité $\|T w\| \leq (\rho(A) + \sqrt{ t_{12}^2 + t_{13}^2 + t_{23}^2 }) \|w\|$. 39. III.D.4) a) Soit $\delta$ un réel strictement positif. Justifier que la matrice $\Delta_\delta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \delta & 0 \\ 0 & 0 & \delta^2 \end{pmatrix}$ est inversible et calculer la matrice $\Delta_\delta^{-1} T \Delta_\delta$.\\b) Démontrer l’inégalité $ \| \Delta_\delta^{-1} T \Delta_\delta w \| \leq (\rho(A) + \sqrt{\delta^2 t_{12}^2 + \delta^4 t_{13}^2 + \delta^2 t_{23}^2}) \|w\|$. 40. III.D.5) Comme précédemment, pour tout vecteur $u \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$, on définit la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ par la condition initiale $u_0 = u$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = Au_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. En exploitant l’hypothèse $\rho(A) < 1$ et la question III.A.5b, démontrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.\newline On pourra poser $P = Q \Delta_\delta$ pour un $\delta$ bien choisi.} 41. IV.A – Prouver qu’il existe une matrice $D$ diagonale et inversible telle que $X_{n+1} = (I - D^{-1}M) X_n + D^{-1} B$. 42. IV.B – Justifier l’existence et l’unicité de $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$, solution exacte de l’équation $MX = B$. 43. IV.C – Démontrer que $X_{n+1} - X = (I - D^{-1} M)(X_n - X)$. 44. IV.D – En déduire que si $\rho(I - D^{-1}M) < 1$ la suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $X$. 45. IV.E – Pour chacun des deux exemples ci-dessous, calculer $X$ et $\rho(I - D^{-1} M )$ :\newline $M = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 1 \\ 0 & 2 & 10\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 \\ 11 \\ 12\end{pmatrix}$ et $X_0 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.\newline $M = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 10 \\ 0 & 10 & 2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 \\ 11 \\ 12\end{pmatrix}$ et $X_0 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$.} 46. IV.F – Pour chacun des deux exemples, calculer $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ et commenter les résultats obtenus.}