Questions du sujet
1. I.A.1) Représenter la matrice $M$ de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^6$.
2. I.A.2) Donner la valeur du déterminant de $M$.
3. I.A.3) Montrer que le rang de $M$ est inférieur ou égal à 5.
4. I.A.4) Montrer que l’image de $f$ contient tous les vecteurs de $E_5$.
5. I.A.5) Pour $k$ quelconque entre 1 et 6, quelle est la dimension de $E_k$?}
6. I.A.6) Montrer que l’image de $f$ est $E_5$ et que le noyau de $f$ est de dimension 1.
7. I.B – Trouver un vecteur $\vec{u}$ dirigeant le noyau de $f$, ayant des coordonnées simples.
8. I.C.1) Former le polynôme caractéristique de $M$.
9. I.C.2) Quelles sont les valeurs propres de $M$ ? Quels sont leurs ordres de multiplicité ?
10. I.C.3) Justifier que les sous-espaces propres de $f$ sont $\ker(f)$ et $E_5$.}
11. I.C.4) Montrer que $f$ est diagonalisable et donner une base de $\mathbb{R}^6$ sur laquelle la matrice de $f$ est diagonale.
12. I.D.1) Montrer que l’application linéaire $f$ est le projecteur sur le sous-espace vectoriel $E_5$ parallèlement à la droite dirigée par $\vec{u}$.
13. I.D.2) Ce projecteur est-il un projecteur orthogonal ?
14. I.D.3) Exprimer $M^2$ en fonction de $M$.
15. I.E.1) Montrer que $\vec{b}$ lui-même est une solution particulière de l’équation $f(\vec{x}) = \vec{b}$.}
16. I.E.2) Montrer que la solution générale est le vecteur $\vec{x} = \vec{b} + \lambda \vec{u}$, où le réel $\lambda$ est arbitraire.
17. I.E.3) Montrer que le vecteur $\vec{c}$ est la seule solution de l’équation différente de $\vec{b}$ et dont une coordonnée est nulle, les autres coordonnées étant positives ou nulles.
18. II.A.1) Montrer que $^tA \cdot A \cdot X = ^tA \cdot Y_0$ si et seulement si le vecteur $A \cdot X – Y_0$ est orthogonal à tout vecteur de la forme $A \cdot Z$, où $Z$ est un vecteur colonne de $\mathbb{R}^6$.
19. II.A.2) En déduire que $^tA \cdot A \cdot X = ^tA \cdot Y_0$ si et seulement si $A \cdot X$ est la projection orthogonale de $Y_0$ sur l’image de $A$.
20. II.A.3) Montrer qu’un tel vecteur $X$ existe.}
21. II.B.1) Montrer que $B$ est une matrice symétrique.
22. II.B.2) Soit $\lambda$ une valeur propre de $B$ et $X$ un vecteur propre associé. En calculant de deux façons le produit matriciel $^tX \cdot B \cdot X$, montrer que $\lambda$ est un réel positif.
23. II.B.3) Montrer qu’il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $B = ^tP \cdot D \cdot P$, les cinq premiers termes diagonaux de $D$ étant strictement positifs et le dernier étant nul.
24. II.B.4) Connaissant $P$ et $D$, montrer que la résolution de $^tA \cdot A \cdot X = ^tA \cdot Y_0$ se ramène à un système de cinq équations à cinq inconnues dont la résolution est immédiate.
25. II.C) Soit $X_0$ une solution de l’équation $^tA \cdot A \cdot X = ^tA \cdot Y_0$. Rappelons que $Y_0 = A \cdot X$ n’a pas de solution, donc que $Y_0$ n’est pas dans l’image de $A$. Soit $\mathcal{P}$ l’ensemble des vecteurs $X$ de $\mathbb{R}^6$ tels que la distance de $A \cdot X$ à $Y_0$ soit minimale au sens des moindres carrés. Montrer que $X_0$ appartient à $\mathcal{P}$.}
26. III.A.1) Calculer, en utilisant la matrice $M$ de $f$, les coordonnées $(y_1, y_2, \dots, y_6)$ de $\vec{y}$.
27. III.A.2) Face à la répartition associée à $\vec{x}$, le voyageur applique la manipulation $v(3, 1)$ (si elle est possible). Vérifier que le vecteur $\vec{y}$ est le vecteur associé aux volumes d’eau et d’air après cette manipulation.
28. III.B.1) Montrer que, si cette manipulation est $v(i, j)$, alors on a :
\[
\left\{
\begin{array}{l}
y_{2i-1} = 0 \\
y_{2i} = x_{2i} + x_{2i-1} \\
y_{2j-1} = x_{2j-1} + x_{2i-1} \\
y_{2j} = x_{2j} – x_{2i-1} \\
y_k = x_k \text{ pour } k \text{ différent de } 2i, 2j, 2i-1 \text{ et } 2j-1
\end{array}
\right.
\]
29. III.B.2) Donner de même, sans justification, les composantes de $\vec{y}$ en fonction de celles de $\vec{x}$ lorsque la manipulation utilisée est $p(i, j)$. (On remarquera que déplacer de l’eau de $C_i$ vers $C_j$ équivaut à déplacer de l’air de $C_j$ vers $C_i$). On constatera que $y_{2j} = 0$. On note alors $P_{i, j}$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^6$ qui transforme $\vec{x}$ en $\vec{y}$.
30. III.C.1) Justifier que $E_k$ est un hyperplan de $\mathbb{R}^6$.
31. III.C.2) Donner une équation simple de cet hyperplan.}
32. III.D.1) Montrer que tous les vecteurs de $E_{2i-1}$ sont invariants par $V_{i, j}$.
33. III.D.2) Montrer que tous les vecteurs de $E_{2j}$ sont invariants par $P_{i, j}$.
34. III.D.3) On note $M_{i, j}$ la matrice de l’application $V_{i, j}$ sur la base canonique de $\mathbb{R}^6$. Montrer que la matrice $M_{i, j}$ comporte une ligne de zéros, dont on donnera la position.
35. III.D.4) En s’inspirant de la partie I, montrer que toutes les applications $V_{i, j}$ et $P_{i, j}$ sont de rang 5 et sont diagonalisables.
36. IV.A.1) Montrer que les deux vecteurs de $\mathbb{R}^6$ associés respectivement à l’état initial des cruches et à l’état final souhaité sont les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ définis dans le préambule.}
37. IV.A.2) Montrer, en utilisant par exemple la dernière question de la partie I, qu’on peut passer par une seule manipulation de l’état associé au vecteur $\vec{c}$ du préambule à l’état final souhaité.
38. IV.A.3) Montrer, en utilisant par exemple III.B., que, si le problème a une solution, les vecteurs de $\mathbb{R}^6$ associés aux états intermédiaires (entre l’état initial et l’état final) ont tous une coordonnée nulle (au moins). On appelle dans la suite « vecteur privilégié » tout vecteur de $\mathbb{R}^6$ ayant une coordonnée nulle, les autres étant strictement positives.
39. IV.B.1) On pose $\vec{d} = (1, 7, 5, 0, 2, 1)$. Montrer que $\vec{d}$ est, en dehors de $\vec{b}$, le seul vecteur privilégié qu’on puisse obtenir à partir de $\vec{c}$ par une seule manipulation.
40. IV.B.2) Montrer qu’on peut repasser de l’état associé à $\vec{d}$ à l’état associé à $\vec{c}$ par une seule manipulation.
41. IV.C) On constate qu’on peut passer de l’état associé à $\vec{d}$ à l’état associé à $\vec{e} = (6, 2, 0, 5, 2, 1)$ (ou inversement), puis de même, de $\vec{e}$ à $\vec{f} = (6, 2, 2, 3, 0, 3)$, de $\vec{f}$ à $\vec{g} = (3, 5, 2, 3, 3, 0)$ et de $\vec{g}$ à $\vec{h} = (3, 5, 5, 0, 0, 3)$, qui n’est pas privilégié. Montrer qu’il est possible de passer de l’état initial (associé à $\vec{a}$) à l’état associé à $\vec{h}$ en utilisant une seule manipulation.}
42. IV.D – Décrire, pour résumer, les manipulations successives qui permettent au voyageur d’atteindre son but.
43. IV.E.1) Est-il possible d’arriver à une répartition de l’eau en parts égales entre les trois cruches ?
44. IV.E.2) Est-il possible d’arriver à la répartition (4 litres, 2 litres, 2 litres) ?
45. IV.F.1) Donner les composantes $y_1, \dots, y_6$ du vecteur colonne $Y_0$ associé à la répartition des 8 litres d’eau en trois quantités égales dans les trois cruches (répartition qu’on ne peut obtenir si l’on s’en tient aux manipulations permises).
46. IV.F.2) Parmi les sous-espaces $E_k$, quel est celui pour lequel la distance euclidienne de $Y_0$ à $E_k$ est la plus petite et quelle est cette distance ?}
47. V.A – Écrire une procédure nommée figure. Cette procédure, destinée à éviter les répétitions, attend trois nombres à l’entrée et l’appel de figure(a,b,c) renvoie la valeur true si l’état $(a,b,c)$ figure déjà dans une colonne du tableau $T$. Elle renvoie false dans le cas contraire.
48. V.B – Pour $i, j$ et $m$ fixés, écrire la suite d’instructions permettant, en examinant l’état des cruches défini par la colonne $m$ du tableau $T$, de trouver, si $C_i$ n’est pas vide, celle des deux manipulations $v(i, j)$ ou $p(i, j)$ qui est alors possible et, si cette manipulation donne un état non encore répertorié, le ranger dans le tableau $T$ en accolant une nouvelle colonne à celui-ci. Programmer aussi l’affichage de la valeur de $m$ et du tableau (complété). Cela permettra de suivre l’avancement du travail pendant que le programme s’exécutera.
49. V.C – Incorporer les instructions précédentes dans des boucles imbriquées permettant de traiter tous les couples $(i, j)$ possibles et faire varier $m$ jusqu’à l’apparition, dans le tableau, de l’état espéré $(4, 4, 0)$.
50. V.D – Par suite d’une panne, l’écran reste figé sur l’affichage intermédiaire suivant de $m$ et du tableau $T$ :
$$
m = 7 \qquad T = \begin{bmatrix}
8 & 3 & 3 & 6 & 6 & 1 & 1 \\
0 & 5 & 2 & 2 & 0 & 5 & 4 \\
0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 2 & 3
\end{bmatrix}
$$
Finir manuellement le travail du programme, sans donner trop de détails.
51. V.E – On pourrait alors reconstituer la suite des manipulations que le voyageur doit faire. On s’en tiendra à décrire la dernière manipulation et à la comparer avec celle trouvée dans la partie IV.}