Questions du sujet
1. Montrer qu’une suite géométrique est hypergéométrique.
2. Soit $p \in \mathbb{N}$. Montrer que la suite de terme général $u_n = \binom{n}{p}$ est hypergéométrique.
3. Démontrer que l’ensemble des suites vérifiant la relation (I.1), avec
$P(X) = X(X-1)(X-2)$ et $Q(X) = X(X-2)$,
est un espace vectoriel dont on précisera une base et la dimension.
4. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite hypergéométrique de polynômes associés $P$ et $Q$. On suppose qu’il existe un entier naturel $n_0$ tel que $P(n_0) = 0$ et, $\forall n\geq n_0$, $Q(n)\neq 0$. Justifier que la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est nulle à partir d’un certain rang.
5. Justifier qu’on définit ainsi une fonction sur $\mathbb{R}^{+*}$.}
6. Montrer que la fonction $\Gamma$ est continue et strictement positive sur $\mathbb{R}^{+*}$.
7. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^{+*}$,
\[
\Gamma(x+1) = x \Gamma(x).\tag{II.1}
\]
8. Déterminer la valeur de $\Gamma(n)$, pour $n\in\mathbb{N}^*$.
9. Si $a$ est un entier négatif ou nul, justifier que la suite $([a]_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est nulle à partir d’un certain rang.
10. Soit $a \in \mathbb{R}$. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $[a]_{n+1} = a [a+1]_n$.}
11. Soit $n\in\mathbb{N}$. Donner une expression de $[a]_n$ :
\begin{itemize}
\item à l’aide de factorielles lorsque $a\in\mathbb{N}^*$;
\item à l’aide de deux valeurs de la fonction $\Gamma$, lorsque $a\in D$.
\end{itemize}
12. Justifier que, si $c\in D$, alors $\dfrac{[a]_n [b]_n}{[c]_n}$ est bien défini pour tout entier naturel $n$.
13. Montrer que la série entière $\sum \dfrac{[a]_n [b]_n}{[c]_n} \dfrac{x^n}{n!}$ est hypergéométrique et préciser des polynômes associés.
14. Réciproquement, démontrer que l’ensemble des séries hypergéométriques associées aux polynômes obtenus à la question précédente est un espace vectoriel dont on donnera une base et dont on précisera la dimension.
15. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum \dfrac{[a]_n [b]_n}{[c]_n}\dfrac{x^n}{n!}$.}
16. Justifier que $F_{a,b,c}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1,1[$. Calculer sa dérivée et l’exprimer à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss.
17. Justifier que $F_{a,b,c}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-1,1[$ et exprimer sa dérivée $n$-ième à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss.
18. Exprimer la fonction $x \mapsto F_{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}}(-x^2)$ à l’aide de fonctions usuelles.
19. Exprimer la fonction
\[
x \mapsto \begin{cases}
\dfrac{\ln(1+x)}{x} & \text{si } x \in ]-1,1[ \setminus \{0\} \\
1 & \text{si } x=0
\end{cases}
\]
à l’aide d’une fonction hypergéométrique de Gauss.
20. Soient $N\in\mathbb{N}$, $c\in D$, $a\in\mathbb{R}$ tels que $c-a\in D$. Justifier l’existence de $F_{a,-N,c}(1)$ et démontrer que
\[
\sum_{k=0}^N (-1)^k \binom{N}{k} \frac{[a]_k}{[c]_k} = \frac{[c-a]_N}{[c]_N}.
\]}
21. Soit $(u,v) \in \mathbb{N}^2$ tels que $N \leq \min(u,v)$. En prenant $a=-u$ et $c=v-N+1$, montrer l’identité de Vandermonde :
\[
\binom{u+v}{N} = \sum_{k=0}^N \binom{u}{k} \binom{v}{N-k}.
\]
22. Donner une interprétation combinatoire de l’identité de Vandermonde.
23. Déterminer les solutions développables en série entière de l’équation différentielle
\[
x y”(x) + (c-x) y'(x) – a y(x) = 0. \tag{III.1}
\]
On exprimera ces solutions à l’aide du symbole de Pochhammer et on précisera la structure algébrique de leur ensemble.
24. Déterminer $L_0, L_1, L_2$ et $L_3$.
25. En utilisant la formule de Leibniz, démontrer que la fonction $L_n$ est polynomiale de degré $n$. Déterminer les coefficients $c_{n,k}$ tels que $L_n(x) = \sum_{k=0}^n c_{n,k} x^k$.}
26. Pour tout nombre réel $x$, exprimer $\Phi^{(n)}_n(x)$ et $\Phi^{(n+1)}_n(x)$ en fonction de $L_n(x)$ et $L_n'(x)$.
27. Utiliser l’égalité $\Phi^{(n+1)}_{n+1}(x) = \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} x \Phi_n(x)$, que l’on justifiera, pour démontrer l’égalité
\[
L_{n+1}(x) = \left(1-\frac{x}{n+1}\right)L_n(x) + \frac{x}{n+1}L_n'(x)
\]
valable pour tout nombre réel $x$.
28. Utiliser l’égalité $\Phi^{(n+2)}_{n+1}(x) = \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \Phi_{n+1}^{(1)}(x)$ pour démontrer l’égalité
\[
L’_{n+1}(x) = L’_n(x) – L_n(x)
\]
valable pour tout nombre réel $x$.
29. En déduire que $L_n$ est solution de l’équation différentielle
\[
xL_n”(x) + (1-x)L_n'(x) + n L_n(x) = 0. \tag{IV.1}
\]
30. Montrer que $L_n$ est une fonction hypergéométrique confluente.}
31. Vérifier qu’on a bien défini une loi de probabilité.
32. Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X \sim \mathcal{H}(n,p,A)$. Calculer l’espérance de $X$.\\
On rappelle que, pour tous entiers naturels non nuls $k$ et $N$, $k\binom{N}{k} = N\binom{N-1}{k-1}$.
33. Montrer que la suite $(\mathbb{P}(X=k))_{k\in\mathbb{N}}$ est hypergéométrique. En déduire une expression de la fonction génératrice de $X$ à l’aide d’une fonction hypergéométrique.
34. Quelle est la loi de la variable $Z$~? Donner l’espérance et la variance de $Z$.
35. Démontrer que $Y \sim \mathcal{H}(n,p,A)$.}
36. Exprimer $Y$ à l’aide des $Y_i$ et retrouver la valeur de l’espérance de $Y$. La comparer à celle de $Z$.
37. Pour $1\leq i <j \leq pA$, démontrer que la variable aléatoire $Y_iY_j$ suit une loi de Bernoulli dont on précisera le paramètre.}