Questions du sujet
1. Justifier que l’application $f$ réalise une bijection de l’intervalle $[-1,+\infty[$ sur l’intervalle $[-e^{-1},+\infty[$.
2. Justifier que $W$ est continue sur $[-e^{-1},+\infty[$ et est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-e^{-1},+\infty[$.
3. Expliciter $W(0)$ et $W'(0)$.
4. Déterminer un équivalent de $W(x)$ lorsque $x \to 0$ ainsi qu’un équivalent de $W(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
5. Tracer, sur le même dessin, les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_W$ représentatives des fonctions $f$ et $W$. Préciser les tangentes aux deux courbes au point d’abscisse 0 ainsi que la tangente à $\mathcal{C}_W$ au point d’abscisse $-e^{-1}$.}
6. Pour quelles valeurs du paramètre réel $\alpha$ la fonction $x \mapsto x^{\alpha} W(x)$ est-elle intégrable sur $]0,1]$ ?
7. Pour quelles valeurs du paramètre réel $\alpha$ la fonction $x \mapsto x^{\alpha} W(x)$ est-elle intégrable sur $[1,+\infty[$ ?
8. Démontrer que l’application $f$ réalise une bijection de l’intervalle $]-\infty,-1]$ sur l’intervalle $[-e^{-1},0[$.
9. Pour un paramètre réel $m$, on considère l’équation d’inconnue $x \in \mathbb{R}$ \[ xe^x = m \tag{I.1} \] Déterminer, en fonction de $m$, le nombre de solutions de (I.1). Expliciter les solutions éventuelles à l’aide des fonctions $V$ et $W$.
10. Pour un paramètre réel $m$, on considère l’inéquation d’inconnue $x \in \mathbb{R}$ \[ xe^x \leq m \tag{I.2} \] En utilisant les fonctions $V$ et $W$, déterminer, suivant les valeurs de $m$, les solutions de (I.2). Illustrer graphiquement les différents cas.}
11. Pour des paramètres réels non nuls $a$ et $b$, on considère l’équation d’inconnue $x \in \mathbb{R}$ \[ e^{ax} + bx = 0 \tag{I.3} \] Déterminer, suivant les valeurs de $a$ et $b$, le nombre de solutions de (I.3). Expliciter les solutions éventuelles à l’aide des fonctions $V$ et $W$.
12. Démontrer que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda p$. Donner l’espérance et la variance de $X$.
13. En utilisant l’inégalité de Markov, démontrer que si $p \leq \dfrac{2}{1-\alpha}\dfrac{1}{\lambda}$, alors la condition (II.1) est satisfaite.
14. On pose $x = -(\lambda p + 1)$. Démontrer que la condition (II.1) est équivalente à la condition \[ xe^x \leq -\alpha e^{-1}. \]
15. En utilisant l’une des fonctions $V$ et $W$ (définies dans la partie I) et la question 10, discuter selon la position de $\lambda$ par rapport à $-1 – V(-\alpha e^{-1})$ l’existence d’un plus grand réel $p \in ]0,1[$ satisfaisant la condition (II.1).}
16. Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance.
17. En utilisant l’inégalité de Markov, démontrer que si $r \leq \dfrac{2}{1-\alpha}\dfrac{1}{1-p}$, alors la condition (II.2) est satisfaite.
18. On pose $a = \dfrac{p \ln(p)}{p-1}$ et $x = r \ln(p) – a$. Démontrer que la condition (II.2) est équivalente à la condition \[ x e^x \leq -\alpha a e^{-a}. \]
19. En utilisant l’une des fonctions $V$ et $W$ (définies dans la partie I) et la question 10, étudier l’existence d’un plus grand entier naturel $r$ satisfaisant la condition (II.2).
20. Lorsqu’il existe, exprimer cet entier en fonction de $p$, $\alpha$ et $a$ à l’aide d’une des fonctions $V$ ou $W$.}
21. Démontrer que la famille $(A_0, \ldots, A_n)$ est une base de $\mathbb{C}_n[X]$.
22. Démontrer que pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $A_k'(X) = A_{k-1}(X-a)$.
23. En déduire, pour $j$ et $k$ éléments de $\llbracket 0, n \rrbracket$, la valeur de $A_k^{(j)}(ja)$. On distinguera suivant que $j < k$, $j = k$ ou $j > k$.
24. Démontrer que, pour tout $j \in \llbracket 0, n \rrbracket$, $\alpha_j = P^{(j)}(ja)$.
25. En déduire l’identité binomiale d’Abel : \[ \forall (a,x,y) \in \mathbb{C}^3,\ (x+y)^n = y^n + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}x(x-ka)^{k-1}(y+ka)^{n-k}. \]}
26. Établir la relation,\[ \forall (a,y) \in \mathbb{C}^2,\, n y^{n-1} = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}(-ka)^{k-1}(y+ka)^{n-k}. \]
27. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum\limits_{n \geq 1} a_n x^n$.
28. Justifier que la fonction $S$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]-R, R[$ et, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, exprimer $S^{(n)}(0)$ en fonction de $n$.
29. Démontrer que la fonction $S$ est définie et continue sur $[-R, R]$.
30. Démontrer que, \[ \forall x \in ]-R, R[,\, x(1+S(x))S'(x) = S(x). \] On pourra utiliser le résultat de la question 26.}
31. On considère la fonction $h: ]-R, R[ \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $x \mapsto S(x) e^{S(x)}$. Démontrer que $h$ est solution sur $]-R, R[$ de l’équation différentielle $x y’ – y = 0$.
32. Résoudre l’équation différentielle $x y’ – y = 0$ sur chacun des intervalles $]0, R[$, $]-R, 0[$ puis sur l’intervalle $]-R, R[$.
33. En déduire que, \[ \forall x \in ]-R, R[,~S(x) = W(x). \]
34. Ce résultat reste-t-il vrai sur $[-R, R]$ ?
35. Démontrer que, pour tout réel positif $x$, $W(x)$ est un point fixe de $\varphi_x$, c’est-à-dire une solution de l’équation $\varphi_x(t) = t$.}
36. Démontrer que, pour tout réel positif $x$, la fonction $\varphi_x$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ et que \[ \forall t \in \mathbb{R},\ 0 \leq \varphi’_x(t) \leq \frac{x}{e}. \]
37. En déduire que \[ \forall x \in [0, e],\ \forall n \in \mathbb{N},\, |w_n(x) – W(x)| \leq \left(\frac{x}{e}\right)^n |1 – W(x)|. \]
38. Pour tout réel $a \in ]0, e[$, justifier que la suite de fonctions $(w_n)$ converge uniformément sur $[0, a]$ vers la fonction $W$.
39. La suite de fonctions $(w_n)$ converge-t-elle uniformément vers $W$ sur $[0, e]$ ?}