Questions du sujet
1. Justifier que $\forall k\in \llbracket 1, n \rrbracket,\, 0 \leq X^k \leq 1 + X^n$.
2. En déduire que, si $X$ admet un moment d’ordre $n$ ($n \in \mathbb{N}^*$), alors $X$ admet des moments d’ordre $k$ pour tous $k\in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$.
3. Justifier que la connaissance de la fonction $M_X$ permet de déterminer de manière unique la suite $(m_n(X))_{n\in\mathbb{N}}$.
4. En utilisant les résultats du préambule, montrer que, pour tout $t\in\, ]-R_X, R_X[$, la variable aléatoire $e^{tX}$ admet une espérance et que $M_X(t)=\mathbb{E}(e^{tX})$.
5. Montrer réciproquement que, s’il existe un réel $R>0$ tel que, pour tout $t\in\, ]-R, R[$, la variable aléatoire $e^{tX}$ admet une espérance, alors l’ensemble de définition de la fonction génératrice des moments de $X$ contient $\, ]-R, R[$ et pour tout $t\in\, ]-R, R[$, $M_X(t)=\mathbb{E}(e^{tX})$.}
6. Montrer que la variable aléatoire $X+Y$ admet des moments de tous ordres et que
\[
\forall |t| < \min(R_X,R_Y),\quad M_{X+Y}(t) = M_X(t) M_Y(t)
\]
7. Montrer que $Z$ admet des moments de tous ordres.
8. Calculer la fonction génératrice des moments de $Z$. En déduire les valeurs de $m_1(Z)$ et $m_2(Z)$.
9. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire $S_n$.
10. Pour $t\in\mathbb{R}$, calculer $\lim_{n\to+\infty} M_{S_n}(t)$.}
11. Comparer avec les résultats de la question 8.
12. Calculer la fonction génératrice des moments de la variable aléatoire $Y_n$.
13. Pour $t\in\mathbb{R}$, calculer $\lim_{n\to+\infty} M_{Y_n}(t)$.
14. Montrer que $\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}$ et de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
15. Calculer $\lim_{x\to1,\, x<1} \varphi'(x)$ et démontrer que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.}
16. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $p$, il existe deux polynômes $P_p$ et $Q_p$ à coefficients réels tels que, pour tout $x\in\, ]-\infty,1[$,
\[
\varphi^{(p)}(x) = \frac{P_p(\sqrt{1-x})}{Q_p(\sqrt{1-x})} \exp\left( -\frac{x}{\sqrt{1-x}} \right)
\]
17. En déduire $\lim_{x\to1,\, x<1} \varphi^{(p)}(x)$ pour $p\in\mathbb{N}^*$.
18. En déduire que $\varphi$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et pour $p\in\mathbb{N}^*$, donner la valeur de $\varphi^{(p)}(1)$.
19. Démontrer, pour tout $x\in\, ]-1,1[$,
\[
\varphi(x) = \sum_{q=0}^{+\infty} \frac{(-1)^q}{q!} x^q (1-x)^{-q/2}
\]
20. Démontrer que, pour tout $x\in\, ]-1,1[$ et tout $q\in\mathbb{N}^*$, on a
\[
(1-x)^{-q/2} = \sum_{p=0}^{+\infty} H_p\left(\frac{q}{2} + p - 1\right)x^p
\]
où $H_p(X) = \frac{1}{p!} X(X-1)\dotsb (X-p+1)$ pour $p\geq 1$ et $H_0(X) = 1$.
}
21. En déduire
\[
\forall x\in\, ]-1,1[, \quad \varphi(x) = 1 + \sum_{i=0}^{+\infty} \left( \sum_{j=0}^{+\infty} a_{i,j}(x) \right)
\]
où, pour tout $(i,j)\in\mathbb{N}^2$, $a_{i,j}(x) = \frac{(-1)^{i+1}}{(i+1)!} H_j\left(\frac{i-1}{2} + j\right)x^{i+j+1}$.
22. Démontrer que, pour tout $x\in\, ]-1,1[$,
\[
\sum_{i=0}^{+\infty} \left( \sum_{j=0}^{+\infty} |a_{i,j}(x)| \right) = \exp\left( \frac{|x|}{\sqrt{1-|x|}} \right) - 1.
\]
23. Utiliser les résultats admis dans le préambule pour établir l’égalité
\[
\forall x\in\, ]-1,1[, \quad \varphi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n
\]
où $a_0=1$ et, pour $n\in\mathbb{N}^*$,
\[
a_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!} H_k\left(\frac{n+k}{2} - 1\right)
\]
24. Montrer que, pour tout $z\in\mathcal{D}$, la série entière $\sum_{n\geq 0} a_n z^n$ converge.
25. Justifier que, pour tout $p\in\mathbb{N}^*$ et tout $x\in\,]-1,1[$, $\Phi_p(x) = \varphi^{(p)}(x)$ et que pour tout $p\in\mathbb{N}^*$ et tout $z\in \mathcal{D}$, la série entière
\[
\sum_{n=0}^{+\infty} (n+p)(n+p-1)\dotsb (n+1)a_{n+p}z^n
\]
converge.
}
26. Justifier que, pour tout $p\in\mathbb{N}$, la fonction $\varphi^{(p)}$ est bornée sur $]-1,1[$.
27. Soit $r$ un réel de l’intervalle $]0,1[$. Démontrer, pour tous entiers $n\geq 1$ et $p\geq 1$, que
\[
(n+p)(n+p-1)\dotsb(n+1)a_{n+p}r^n = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \Phi_p(re^{i\theta})e^{-ni\theta}\,d\theta
\]
28. Démontrer que, pour tout $p\in\mathbb{N}$, il existe un réel $K_p$ et un entier naturel $N_p$ tels que
\[
\forall n\geq N_p, \quad |a_n| \leq \frac{K_p}{n^p}
\]
29. Démontrer que la série entière $\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ converge normalement sur $[0,1]$ et donner la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n$.
30. Soit $p\in\mathbb{N}^*$. Montrer que la série entière
\[
\sum_{n\geq 0} (n+p)(n+p-1)\dotsb (n+1) a_{n+p} x^n
\]
converge normalement sur $[0,1]$ et donner la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty} (n+p)\dotsb (n+1)a_{n+p}$.}
31. Démontrer que tous les moments d’ordre $p$ de la suite $(a_n)$ sont nuls.
32. Montrer que $\theta$ vérifie $\lim_{x \to 0,\, x>0} |\theta(x)| = 0$.
33. Justifier que $\theta$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, il existe $P_n\in\mathbb{C}[X]$ tel que
\[
\forall x \in\, ]0, +\infty[, \quad \theta^{(n)}(x) = \frac{P_n(\ln x)}{x^n}\theta(x)
\]
34. En déduire que $\lim_{x\to 0,\, x>0} |\theta^{(n)}(x)| = 0$.
35. Démontrer que $\theta$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$.}
36. Montrer que pour tout entier naturel $p$, l’intégrale
\[
I_p = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(t-p\pi)^2}\sin t\,dt
\]
est absolument convergente et qu’elle vaut zéro.
37. À l’aide du changement de variable $t = \frac{\ln x}{2\pi}$, démontrer que
\[
\forall p\in \mathbb{N},\quad I_p = \frac{e^{-p^2\pi^2}}{2\pi} \int_0^{+\infty} x^{p-1}\exp\left(-\frac{\ln^2 x}{4\pi^2}\right)\sin(\ln x\,2\pi)\,dx
\]
38. Conclure.}