Questions du sujet
1. Justifier que $\varphi$ appartient à $E_{cpm}$ et calculer sa transformée de Fourier $\mathcal{F}(\varphi)$. 2. I.B.1) Justifier que $\psi$ est développable en série entière. Préciser ce développement ainsi que son rayon de convergence. En déduire que $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. 3. I.B.2) Prouver que \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \int_n^{n+1} |\psi(x)| dx \geq \frac{2}{(n+1)\pi^2} \] En déduire que $\psi$ n’appartient pas à $E_{cpm}$. 4. Soit $f \in E_{cpm}$. Montrer que la fonction $\mathcal{F}(f)$ est continue sur $\mathbb{R}$. 5. I.D.1) Soit $f \in \mathcal{S}$. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $x \mapsto x^n f(x)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$.} 6. I.D.2) Démontrer que la fonction $\mathcal{F}(f)$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et que \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \forall \xi \in \mathbb{R},\quad (\mathcal{F}(f))^{(n)}(\xi) = (-2 \pi \mathrm{i})^n \int_{-\infty}^{+\infty} t^n f(t) e^{-2\pi \mathrm{i} t \xi} dt \] 7. I.E.1) On considère la fonction $\theta : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ définie par $\theta(x) = \exp(-\pi x^2)$, pour $x \in \mathbb{R}$. Justifier que $\theta$ appartient à $\mathcal{S}$ et que $\mathcal{F}(\theta)$ est solution de l’équation différentielle \[ \forall \xi \in \mathbb{R},\ y'(\xi) = -2\pi \xi y(\xi) \] 8. I.E.2) Établir que $\mathcal{F}(\theta) = \theta$. \\ On admettra que $\int_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) dx = 1$. 9. II.A – Montrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}(f)(\xi) d\xi$. 10. II.B – Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} J_n$.} 11. II.C – Prouver que $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ I_n = J_n$. \\ On admettra la formule de Fubini : \[ \int_{-\infty}^{+\infty}\left( \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \theta \left( \frac{\xi}{n} \right) e^{-2\pi \mathrm{i} t \xi} d\xi \right) dt = \int_{-\infty}^{+\infty}\left( \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \theta \left( \frac{\xi}{n} \right) e^{-2\pi \mathrm{i} t \xi} dt \right) d\xi \] 12. II.D – Démontrer que $f(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}(f)(\xi) d\xi$. \\ En déduire, en utilisant la fonction $h : t \mapsto f(x+t)$, que \[ \forall x \in \mathbb{R},\quad f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}(f)(\xi) e^{2\pi \mathrm{i} x \xi} d\xi \] 13. II.E – Une application \\ Démontrer que $\forall x \in \mathbb{R}$, \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2\pi \mathrm{i} x \xi}}{1 + (2\pi \xi)^2} d\xi = \frac{1}{2} e^{-|x|} \] 14. III.A – Démontrer que $\mathcal{F}(f)$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et que $\mathcal{F}(f) \in \mathcal{S}$. En déduire que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. 15. III.B – Prouver que \[ \forall (x, x_0) \in \mathbb{R}^2,\ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x-x_0)^n}{n!} \int_{-1/2}^{1/2} (2\pi \mathrm{i} \xi)^n \mathcal{F}(f)(\xi) e^{2\pi \mathrm{i} x_0 \xi} d\xi = f(x) \] } 16. III.C – On suppose que $f$ est nulle en dehors d’un segment $[a, b]$. Montrer que $f = 0$. 17. IV.A.1) Montrer que la fonction $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1,1[ \setminus \{0\}$ et continue sur $]-1,1[$. 18. IV.A.2) Calculer la limite de $g’$ en $0$. En déduire que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1,1[$. 19. IV.B – Soit $n \in \mathbb{N}$. Calculer l’intégrale $\int_{-1/2}^{1/2} S_n(x) dx$. 20. IV.C – Démontrer que \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \setminus \{0\},\ S_n(x) = \frac{\sin((2n+1)\pi x)}{\sin(\pi x)} \] } 21. IV.D – Justifier que \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \sum_{k=-n}^{n} c_k(f) = f(0) + \int_{-1/2}^{1/2} g(x) \sin((2n+1)\pi x) dx \] 22. IV.E – À l’aide d’une intégration par parties, montrer l’existence d’un réel $C$ tel que \[ \forall n \in \mathbb{N},\ \left| \int_{-1/2}^{1/2} g(x) \sin((2n+1)\pi x) dx \right| \leq \frac{C}{2n+1} \] 23. IV.F – Soit $t \in [-1/2,1/2]$. On considère la fonction $G_t$ définie sur $[-1/2,1/2]$ par \[ \forall x \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right],\ G_t(x) = f'(x+t) \sin(\pi x) – (f(x+t) – f(t))\pi\cos(\pi x) \] Établir l’existence d’un réel $D$, indépendant de $x$ et de $t$, tel que \[ \forall t \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right],\ \forall x \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right],\ |G_t(x)| \leq D x^2 \] 24. IV.G – Prouver l’existence d’un réel $E$ tel que \[ \forall t \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right],\ \left| f(t) – \sum_{k=-n}^{n} c_k(f) e^{2\pi \mathrm{i} k t} \right| \leq \frac{E}{2n+1} \] On pourra introduire la fonction $h_t : x \mapsto f(x+t)$. 25. V.A – Justifier que $\forall n \in \mathbb{N},\ (\mathcal{F}(f))^{(n)}\left(\frac{1}{2}\right) = (\mathcal{F}(f))^{(n)}\left(-\frac{1}{2}\right) = 0$.} 26. V.B – Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, qui est $1$-périodique et qui vaut $\mathcal{F}(f)$ sur l’intervalle $[-1/2,1/2]$. Montrer que $h$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. 27. V.C – À l’aide de l’inégalité IV.1, prouver l’existence d’une suite de nombres complexes $(d_k)_{k\in\mathbb{Z}}$ telle que la suite de fonctions $x \mapsto \sum_{k=-n}^{n} d_k e^{2\pi i k x}$ converge uniformément vers $\mathcal{F}(f)$ sur $[-1/2,1/2]$. 28. V.D – Démontrer que la suite de fonctions $\left(\sum_{k=-n}^{n} d_k \psi_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$. \\ On notera symboliquement $f = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} d_k \psi_k$. 29. V.E – Établir que $\forall j \in \mathbb{Z},\ f(-j) = d_j$. \\ L’égalité $f = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(-k)\psi_k$ traduit la reconstruction du signal $f$ à partir de l’échantillon $(f(k))_{k\in\mathbb{Z}}$. 30. VI.A.1) Par récurrence, démontrer que, pour tout entier $n \in \mathbb{N},\ S_n$ suit la loi de Poisson de paramètre $n\lambda$. \\ On admettra que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, les variables $S_n$ et $X_{n+1}$ sont mutuellement indépendantes.} 31. VI.A.2) Soit $\varepsilon \in \mathbb{R}^*_+$. Prouver que \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(|S_n – n\lambda| \geq n\varepsilon) \leq \frac{\lambda}{n\varepsilon^2} \] 32. VI.A.3) Soit $\varepsilon > 0$. Justifier les deux inclusions suivantes : \[ (S_n > n(\lambda + \varepsilon)) \subset (|S_n – n\lambda| \geq n\varepsilon) \] \[ (S_n \leq n(\lambda – \varepsilon)) \subset (|S_n – n\lambda| \geq n\varepsilon) \] 33. VI.A.4) Dans toutes les questions qui suivent, on suppose $x \geq 0$. Déduire du VI.A.3 que \[ \left\{ \begin{aligned} & \lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}(S_n \leq n x) = 0 \text{ si } 0 \leq x < \lambda \\ & \lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}(S_n \leq n x) = 1 \text{ si } x > \lambda \\ \end{aligned} \right. \] 34. VI.B – À l’aide de la question VI.A, montrer que \[ \lim_{n\to+\infty} \sum_{0 \leq k \leq \lfloor nx \rfloor} \frac{(n\lambda)^k}{k!} e^{-n\lambda} = \left\{ \begin{aligned} 0 &\qquad \text{si } 0 \leq x < \lambda \\ 1 &\qquad \text{si } x > \lambda \\ \end{aligned} \right. \] 35. VI.C.1) Soit $x \in \mathbb{R}_+$. Démontrer que \[ \lim_{n\to+\infty} \sum_{0 \leq k \leq \lfloor n x \rfloor} \frac{(-1)^k n^k}{k!} (\mathcal{L}(f))^{(k)}(n) = \int_0^x f(y) dy \] } 36. VI.C.2) En déduire que l’application $\mathcal{L}: f \mapsto \mathcal{L}(f)$ est injective sur l’ensemble des fonctions à valeurs complexes, continues sur $\mathbb{R}_+$ et nulles en dehors d’un segment.}FAQ
Pour justifier qu’une fonction \(\varphi\) appartient à \(E_{cpm}\), il faut vérifier qu’elle est continue, à décroissance rapide et que son intégrale est absolument convergente. Ensuite, sa transformée de Fourier \(\mathcal{F}(\varphi)\) se calcule via l’intégrale \(\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) e^{-2\pi i x \xi} dx\). Si tu veux voir un exemple concret avec \(\varphi\), débloque les corrigés pour accéder à la démonstration détaillée !
Une fonction \(\psi\) développable en série entière est \(\mathcal{C}^\infty\) car sa série entière converge sur un intervalle ouvert, et les séries entières sont infiniment dérivables sur leur disque de convergence. Le rayon de convergence \(R\) est donné par la formule de Hadamard ou le critère de d’Alembert. Pour voir comment appliquer cela à \(\psi\), consulte le corrigé !
Pour montrer que \(\psi \notin E_{cpm}\), on peut minorer son intégrale sur des intervalles \([n, n+1]\) et prouver que la série des intégrales diverge. Par exemple, si \(\int_n^{n+1} |\psi(x)| dx \geq \frac{2}{(n+1)\pi^2}\), alors \(\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)| dx\) diverge, ce qui exclut \(\psi\) de \(E_{cpm}\). Débloque les corrigés pour voir la preuve complète !
La transformée de Fourier \(\mathcal{F}(f)\) d’une fonction \(f \in E_{cpm}\) est continue car \(f\) est intégrable et dominée par une fonction intégrable. Le théorème de continuité sous le signe intégral permet alors de conclure. C’est un résultat classique en analyse de Fourier, et tu peux le retrouver dans le corrigé détaillé !
Si \(f \in \mathcal{S}\), alors pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la fonction \(x \mapsto x^n f(x)\) est intégrable car \(f\) décroît plus vite que toute puissance de \(|x|\) à l’infini. C’est une propriété fondamentale des fonctions de Schwartz, essentielle pour l’étude des transformées de Fourier. Pour une démonstration rigoureuse, consulte le corrigé !
La transformée de Fourier \(\mathcal{F}(f)\) d’une fonction \(f \in \mathcal{S}\) est \(\mathcal{C}^\infty\) car on peut dériver sous l’intégrale grâce à la décroissance rapide de \(f\) et à la domination par une fonction intégrable. De plus, ses dérivées successives sont données par \(\mathcal{F}(f)^{(n)}(\xi) = (-2\pi i)^n \int t^n f(t) e^{-2\pi i t \xi} dt\). C’est un résultat clé en analyse harmonique !
Pour prouver que \(\mathcal{F}(\theta)\) est solution de \(y'(\xi) = -2\pi \xi y(\xi)\), on utilise le fait que \(\theta(x) = e^{-\pi x^2}\) est dans \(\mathcal{S}\) et on calcule sa transformée de Fourier. En dérivant sous l’intégrale, on obtient une équation différentielle vérifiée par \(\mathcal{F}(\theta)\). C’est une technique puissante en analyse de Fourier !
La transformée de Fourier de \(\theta(x) = e^{-\pi x^2}\) est égale à \(\theta\) car c’est une fonction propre de la transformation de Fourier. Cela découle de l’équation différentielle \(y’ = -2\pi \xi y\) et du fait que \(\int_{-\infty}^{+\infty} \theta(x) dx = 1\). C’est un résultat fondamental en analyse harmonique, souvent admis mais qu’on peut démontrer rigoureusement !
Pour calculer \(\lim_{n \to +\infty} I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}(f)(\xi) d\xi\), on utilise souvent le théorème de convergence dominée ou un changement de variable adapté. Si \(\mathcal{F}(f)\) est intégrable, la limite peut être justifiée par des arguments de continuité ou de décroissance. C’est une question classique en analyse, et tu peux trouver la méthode détaillée dans le corrigé !
La formule de Fubini permet d’échanger l’ordre d’intégration dans une intégrale double si la fonction est intégrable sur le produit des espaces. Par exemple, \(\int (\int f(t) \theta(\xi/n) e^{-2\pi i t \xi} d\xi) dt = \int (\int f(t) \theta(\xi/n) e^{-2\pi i t \xi} dt) d\xi\) si \(f\) et \(\theta\) sont bien choisies. C’est un outil puissant en analyse, mais il faut vérifier les hypothèses !
La formule d’inversion de Fourier permet de retrouver \(f\) à partir de \(\mathcal{F}(f)\) : \(f(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}(f)(\xi) e^{2\pi i x \xi} d\xi\). Cela découle de la théorie des séries de Fourier et de l’analyse harmonique. C’est un résultat central, et tu peux voir sa démonstration dans le corrigé !
Pour calculer \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2\pi i x \xi}}{1 + (2\pi \xi)^2} d\xi\), on peut utiliser la transformée de Fourier inverse ou des techniques de calcul de résidus. Le résultat est \(\frac{1}{2} e^{-|x|}\), et c’est un exemple classique d’application de l’analyse de Fourier. Pour la méthode complète, débloque les corrigés !
Une fonction \(f \in \mathcal{S}\) est \(\mathcal{C}^\infty\) par définition, et sa transformée de Fourier \(\mathcal{F}(f)\) l’est aussi car on peut dériver sous l’intégrale indéfiniment. De plus, \(\mathcal{F}(f)\) est à décroissance rapide, donc \(\mathcal{F}(f) \in \mathcal{S}\). C’est une propriété fondamentale des fonctions de Schwartz, essentielle en analyse harmonique !
Le développement en série de Fourier d’une fonction \(f\) peut s’obtenir à partir de sa transformée \(\mathcal{F}(f)\) en utilisant la formule \(f(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} d_k \psi_k(x)\), où les \(d_k\) sont les coefficients de Fourier. C’est une application directe de la théorie des séries de Fourier, et tu peux voir un exemple concret dans le corrigé !
Pour prouver qu’une fonction \(g\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(]-1,1[\), on montre d’abord qu’elle est continue, puis qu’elle est dérivable avec une dérivée \(g’\) continue. Si \(g’\) a une limite finie en \(0\), on peut étendre la dérivabilité en ce point. C’est une méthode classique en analyse, et tu peux voir son application dans le corrigé !
Pour calculer \(\int_{-1/2}^{1/2} S_n(x) dx\), où \(S_n\) est une somme trigonométrique, on peut utiliser des formules d’Euler ou des identités trigonométriques. Par exemple, si \(S_n(x) = \frac{\sin((2n+1)\pi x)}{\sin(\pi x)}\), son intégrale vaut \(1\) par orthogonalité. C’est un résultat utile en analyse harmonique !
L’intégration par parties permet de majorer une intégrale en transférant la dérivée sur une autre fonction. Par exemple, si \(g\) est \(\mathcal{C}^1\), alors \(\int g(x) \sin((2n+1)\pi x) dx\) peut être majoré par \(\frac{C}{2n+1}\) en intégrant par parties. C’est une technique classique pour étudier la convergence d’intégrales oscillantes !
Pour prouver la convergence uniforme d’une série de fonctions \(\sum d_k \psi_k\), on peut utiliser le critère de Weierstrass ou des majorations fines des coefficients. Si \(|d_k \psi_k(x)| \leq M_k\) avec \(\sum M_k\) convergente, alors la série converge uniformément. C’est une méthode standard en analyse, et tu peux voir son application dans le corrigé !
La reconstruction d’un signal \(f\) à partir de ses échantillons \(f(k)\) s’obtient via la formule \(f = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(-k) \psi_k\), où \(\psi_k\) sont des fonctions de base. C’est le principe de l’échantillonnage en traitement du signal, et c’est lié à la transformée de Fourier. Pour une explication détaillée, consulte le corrigé !
Pour prouver que \(S_n\) suit une loi de Poisson de paramètre \(n\lambda\), on peut utiliser une récurrence et l’indépendance des variables aléatoires. Si \(S_n = X_1 + \dots + X_n\) avec \(X_i\) de loi de Bernoulli, alors \(S_n\) suit une loi binomiale qui converge vers une loi de Poisson. C’est un résultat classique en probabilités !
Pour majorer \(\mathbb{P}(|S_n – n\lambda| \geq n\varepsilon)\), on peut utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ou des inégalités de concentration. Par exemple, si \(S_n\) est une somme de variables indépendantes, on a \(\mathbb{P}(|S_n – n\lambda| \geq n\varepsilon) \leq \frac{\lambda}{n\varepsilon^2}\). C’est une méthode standard en probabilités !
Pour calculer \(\lim_{n \to +\infty} \sum_{0 \leq k \leq \lfloor nx \rfloor} \frac{(n\lambda)^k}{k!} e^{-n\lambda}\), on peut utiliser la convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson. Selon la valeur de \(x\), la limite vaut \(0\) si \(x < \lambda\) et \(1\) si \(x > \lambda\). C’est un résultat lié à la loi des grands nombres !
Pour prouver que \(\mathcal{L}\) est injective, on montre que si \(\mathcal{L}(f) = 0\), alors \(f = 0\). Cela peut se faire en utilisant la formule d’inversion ou en exploitant des propriétés de décroissance. Par exemple, si \(f\) est continue et nulle en dehors d’un segment, alors \(\mathcal{L}(f) = 0\) implique \(f = 0\). C’est une question classique en analyse fonctionnelle !