Questions du sujet
1. I.A – Soit $\pi$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ dont la représentation dans la base canonique est la matrice $P$. Montrer que $\pi$ est un projecteur orthogonal et en préciser les éléments caractéristiques.
2. I.B.1) Montrer que $\Phi$ est un projecteur orthogonal dans l’espace euclidien $(M_n(\mathbb{R}),(·|·))$.
3. I.B.2) Montrer que $\operatorname{Im} \Phi = \{M \in M_n(\mathbb{R}) \mid MZ = 0 \text{ et } M^t Z = 0\}$.
4. I.C – Soit $M = (m_{ij}) \in S_n(\mathbb{R})$. On pose $S(M) = MZ = \left(\sum_{i=1}^n m_{1i}, \dots, \sum_{i=1}^n m_{ni}\right)^T$ et $\sigma(M) = \langle Z, S(M) \rangle$. Montrer que
\[
\Phi(M) = M – \frac{1}{n}( S(M){}^t Z + Z {}^t S(M) ) + \frac{\sigma(M)}{n^2} J.
\]
5. II.A – Montrer que ${}^tUU = -\frac{1}{2}\Phi(M)$.}
6. II.B – En déduire, pour tout couple $(i, j) \in [[1, n]]^2$, une expression du produit scalaire $\langle U_i, U_j \rangle = {}^tU_i U_j$ en fonction de
\[
\alpha_{ij} = -\frac{1}{n}(S(M)_i + S(M)_j ) + \frac{1}{n^2}\sigma(M)
\]
et de $m_{ij}$ (relation de Torgerson). Ainsi la matrice des distances mutuelles au carré permet de retrouver la matrice des produits scalaires ${}^t UU \in M_n(\mathbb{R})$.
7. III.A.1) Montrer que les valeurs propres de $\Phi(M)$ sont toutes réelles et négatives ou nulles.
8. III.A.2) On suppose de plus (quitte à effectuer une translation) que les $(U_i)_{i \in [[1,n]]}$ sont centrés, c’est-à-dire que $\sum_{i=1}^n U_i = 0$. Montrer que $\operatorname{rg}(U) = \operatorname{rg}(U_1|U_2|\dots|U_n) = \operatorname{rg}(\Phi(M))$ et que $p > \operatorname{rg}(\Phi(M))$.
9. III.B.1) Montrer qu’il existe une matrice $U \in M_{r,n}(\mathbb{R})$ telle que ${}^tUU = \Psi(M)$.
10. III.B.2) On note $U_1, U_2, \dots, U_n$ les colonnes de la matrice $U$. On cherche à montrer que pour tout $(i, j) \in [[1, n]]^2, m_{ij} = \|U_i – U_j\|^2$.\\
a) Montrer que les $(U_i)$ sont centrés, c’est-à-dire que $\sum_{i=1}^n U_i = 0$.\\
b) Montrer que la matrice $N = (n_{ij})$ définie par $n_{ij} = \|U_i – U_j\|^2$ vérifie $\Psi(N) = \Psi(M)$.\\
c) Montrer que $M = N$ et conclure.}
11. IV.A.1) On suppose que les quatre points $A, B, C$ et $D$ sont coplanaires. Quelle relation vérifient alors $a$ et $b$\,?
12. IV.A.2) On suppose que les quatre points distincts $A, B, C$ et $D$ ne sont pas coplanaires. On note $I$ le milieu de $[AC]$ et $J$ le milieu de $[BD]$.\\
a) Montrer que $(IJ)$ est la perpendiculaire commune aux droites $(AC)$ et $(BD)$.\\
b) En projetant les points $B$ et $D$ sur le plan contenant $(AC)$ et perpendiculaire à $(IJ)$, montrer que $a^2 + b^2 < 4$.
13. IV.A.3) Montrer que si des réels strictement positifs $a$ et $b$ vérifient la relation $a^2 + b^2 \leq 4$, alors il existe bien quatre points distincts $A, B, C$ et $D$ dans l’espace euclidien canonique $\mathbb{R}^3$ vérifiant $AB = BC = CD = DA = 1$, $AC = a$ et $BD = b$.
14. IV.B.1) On reprend les notations des parties précédentes avec ici $n = 4$. On pose $M = \left( \|U_i - U_j\|^2 \right)_{i,j \in [[1,4]]} \in S_4(\mathbb{R})$. Écrire la matrice $M$ puis calculer $S(M)$ et $\sigma(M)$.
15. IV.B.2) Montrer que les vecteurs $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ forment une base de vecteurs propres de la matrice $\Psi(M)$ et déterminer les valeurs propres de la matrice $\Psi(M)$.}
16. IV.B.3) Déterminer le rang de $\Psi(M)$ selon les valeurs prises par $a$ et $b$.
17. IV.B.4) Quelle égalité vérifie les réels $a$ et $b$ lorsque les points $U_1, U_2, U_3$ et $U_4$ sont coplanaires\,?
18. IV.B.5) Retrouver que les réels strictement positifs $a$ et $b$ vérifient $a^2 + b^2 \leq 4$.
19. IV.B.6) Réciproquement, si $a^2+b^2 \leq 4$, donner une famille de points $U_1, U_2, U_3$ et $U_4$ vérifiant les contraintes de distances mutuelles.
20. V.A.1) On cherche à prouver qu’il existe une unique matrice symétrique $T_0$ à valeurs propres positives ou nulles qui minimise $\|\Psi(M) - T\|_{M_n(\mathbb{R})}$ lorsque $T$ décrit $S_n^+(\mathbb{R})$.\\
a) Montrer que $\forall Q \in O_n(\mathbb{R}),\ \forall A \in M_n(\mathbb{R}),\ \|Q^t AQ\|_{M_n(\mathbb{R})} = \|A\|_{M_n(\mathbb{R})}$.\\
b) Justifier l’existence d’une matrice $Q_0 \in O_n(\mathbb{R})$ telle que la matrice $Q_0^t\Psi(M)Q_0$ soit diagonale.\\
c) Montrer qu’une condition nécessaire pour que $\|\Psi(M) - T_0\|_{M_n(\mathbb{R})}$ minimise $\|\Psi(M) - T\|_{M_n(\mathbb{R})}$ lorsque $T$ décrit $S_n^+(\mathbb{R})$ est que la matrice $Q_0^t T_0 Q_0$ soit diagonale.\\
d) Prouver l’existence et l’unicité de la matrice $T_0$ cherchée.}
21. V.A.2) On suppose dans cette question que $T_0$ est non nulle. On veut montrer qu’il existe un entier $p \in [[1, n - 1]]$ minimal que l’on précisera tel que l’on puisse déterminer des vecteurs $U_1, U_2, \dots, U_n$ éléments de $\mathbb{R}^p$ satisfaisant la condition $\sum_{i=1}^n U_i = 0$ et pour lesquels la matrice $M_f = (\|U_i - U_j\|^2 )_{i,j \in [[1,n]]}$ vérifie la relation $\Psi(M_f) = T_0$. On reprend les notations de la partie II et on note $U = (U_1|U_2|\dots|U_n)$.\\
a) Montrer que l’entier $p$ vérifie $p > \mathrm{rg}(T_0)$ et que $\mathrm{rg}(T_0) \in [[1, n-1]]$.\\
b) Construire une matrice $U \in M_{r,n}(\mathbb{R})$ telle que ${}^tUU = T_0$ pour $r = \mathrm{rg}(T_0)$. (Indication : En supposant que $Q_0^t T_0 Q_0$ soit de la forme $\begin{pmatrix} \Delta & 0_{n-r} \end{pmatrix}$ avec $\Delta \in M_r(\mathbb{R})$, diagonale à valeurs non nulles, on cherchera $U$ sous la forme $U = ((\Delta_1)\ (0))*Q_0$ avec $\Delta_1 \in M_r(\mathbb{R})$, diagonale.)\\
c) Montrer que $\sum_{i=1}^n U_i = 0$ (on pourra étudier le vecteur $UZ$).\\
d) En déduire que $\Psi(M_f) = T_0$ avec $M_f = (\|U_i – U_j\|^2 )_{i,j \in [[1,n]]}$ et conclure.
22. V.B.1) Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$. Montrer que l’hyperplan $H$ de vecteur normal $Z$ (et d’équation $x_1 + \dots + x_n = 0$) est stable par l’endomorphisme canonique associé à la matrice $\Psi(A)$.
23. V.B.2) Exprimer la matrice $N_k$ en fonction des matrices $M, J, I_n$ et du réel $k$.
24. V.B.3) Montrer qu’il existe un réel $k_0$ minimal que l’on précisera en fonction des valeurs propres de $\Psi(M)$, tel que la matrice $\Psi(N_{k_0})$ soit à valeurs propres positives ou nulles.
25. V.C.1) Montrer que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, ${}^tX\Psi(M_c)X = {}^tX\Psi(M)X + 2c\,{}^tX\Psi(D)X + \frac{c^2}{2}\,{}^tX P X$.}
26. V.C.2) Montrer que si $\lambda_{min}$ et $\mu_{min}$ désignent les valeurs propres minimales respectives de $\Psi(M)$ et $\Psi(D)$, alors
\[
\forall X \in H,\ {}^tX\Psi(M)X \geq \lambda_{min}\,{}^tXX\ \text{et}\ {}^tX\Psi(D)X \geq \mu_{min}\,{}^tXX.
\]
27. V.C.3) En déduire que pour $c = \bar{c} = -2\mu_{min} + \sqrt{4\mu_{min}^2 – 2\lambda_{min}} > 0$, $\Psi(M_{\bar{c}})$ est à valeurs propres positives ou nulles et que pour tout $c > \bar{c}$ et pour tout vecteur non nul $X \in H$, ${}^tX\Psi(M_c) X > 0$.
28. V.C.4) Nous allons chercher la constante $c^* > 0$ minimale (si elle existe) vérifiant
\begin{itemize}
\item $\Psi(M_{c^*})$ est à valeurs propres positives ou nulles,
\item pour tout $c > c^*$ et pour tout vecteur non nul $X \in H$, ${}^tX\Psi(M_c) X > 0$.
\end{itemize}
On sait que $c^*$ est majoré par $\bar{c}$.
On considère $A = \left\{ X \in H \mid \|X\| = 1,\ 4\left({}^t X \Psi(D) X\right)^2 – 2{}^t X \Psi(M) X > 0 \right\}$ et on définit l’application
\[
\alpha :
\begin{array}{ll}
A &\rightarrow \mathbb{R} \\
X &\mapsto -2{}^t X \Psi(D) X + \sqrt{4 \left({}^t X \Psi(D) X\right)^2 – 2{}^t X \Psi(M) X}
\end{array}
\]
Montrer qu’il existe $X^* \in A$ tel que $\alpha(X^*) = \sup_{X \in A} \alpha(X)$ et $\alpha(X^*) > 0$.
On notera $\alpha^* = \alpha(X^*)$.
29. V.C.5) Montrer que
\begin{itemize}
\item ${}^t X^* \Psi(M_{\alpha^*}) X^* = 0$,
\item $\Psi(M_{\alpha^*})$ est à valeurs propres positives ou nulles,
\item pour tout $c > \alpha^*$ et pour tout vecteur non nul $X \in H$, ${}^t X \Psi(M_c) X > 0$.
\end{itemize}
En conclure que $c^* = \alpha^*$.
30. V.C.6) Calcul de $c^*$.\\
a) Montrer que $\Psi(M_{c^*}) X^* = 0$.\\
On pose $Y^* = \frac{2}{c^*}\Psi(M) X^*$.\\
b) Montrer que le vecteur colonne $ \begin{pmatrix} Y^* \\ X^* \end{pmatrix} $ est vecteur propre de la matrice de taille $2n$ $\begin{pmatrix} 0 & 2\Psi(M) \\ -I_n & -4\Psi(D) \end{pmatrix} $ et que $c^*$ est valeur propre de cette matrice.
31. V.C.7) On considère $\gamma$ une valeur propre réelle de la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 2\Psi(M) \\ -I_n & -4\Psi(D) \end{pmatrix}$ et $ \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix} $ un vecteur propre associé.\\
a) Montrer que ${}^tX_2 \Psi(M_\gamma) X_2 = 0$ et que $X_2 \neq 0$. En conclure que $\gamma \leq c^*$.\\
b) Quelle conclusion en déduit-on sur le calcul de la plus petite constante additive $c^*$ ?}