Questions du sujet
1. I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, \det(AB) = 0. 2. I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur propre de BA. 3. I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls. 4. I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA. 5. I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.} 6. I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA – xA, démontrer que pour tout x réel ou complexe, on a : \det(AB – x I) = \det(BA – x I ). 7. I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes, avec le même ordre de multiplicité. 8. II.A.1) \begin{itemize} \item[a)] Démontrer que pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, $AX = 0 \implies tAAX = 0$. \item[b)] On suppose que $X \in \mathbb{R}^n$ est tel que $tAAX = 0$. Calculer $tXtAAX$ et en déduire que $AX = 0$. \item[c)] En déduire que $\Ker g = \Ker f$ puis que $\rg(A) = \rg(tAA)$. \end{itemize} 9. II.A.2) Démontrer que $tAA$ et $A tA$ sont deux matrices symétriques. 10. II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu’il existe $P, Q \in O(n)$ et $D \in M_n(\mathbb{R})$ diagonale telles que $tAA = PD tP$ et $A tA = QD tQ$. On pose $D = \operatorname{Diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$.} 11. II.A.4) Démontrer que $D$ possède exactement $r$ termes diagonaux non nuls. On suppose par la suite que $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ sont non nuls et donc $\lambda_{r+1} = \cdots = \lambda_n = 0$. 12. II.A.5) \begin{itemize} \item[a)] En utilisant $tAA = PD tP$, démontrer qu’on peut écrire $D$ sous la forme $tMM$, avec $M \in M_n(\mathbb{R})$. \item[b)] Démontrer que $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [0, +\infty[$. \end{itemize} Pour $i \in \{1, \dots, n\}$, on appelle « valeurs singulières de $A$ » les $n$ nombres $\sigma_i$ définis par $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$. 13. II.A.6) Soient $U, V \in O(n)$. Démontrer que les valeurs singulières de $UAV$ sont exactement celles de $A$. 14. II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que $A \in M_n(\mathbb{R})$ est une matrice symétrique réelle. Déterminer les valeurs singulières de $A$ en fonction des valeurs propres de $A$. 15. II.B.1) Justifier l’existence d’une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ notée $B_1 = (X_1, \ldots, X_n)$ telle que : \begin{itemize} \item Pour tout entier $i \in [1, \rho]$, $tAAX_i = \lambda_i X_i$ ; \item $(X_{\rho+1}, \ldots, X_n)$ soit une base de $\Ker f$. \end{itemize} } 16. II.B.2) Démontrer que la famille $(AX_1, \ldots, AX_\rho)$ est une famille orthogonale de vecteurs non nuls et une base de $\Im(f)$. 17. II.B.3) Pour tout entier $i \in [1, \rho]$, calculer $||AX_i||$. 18. II.B.4) Démontrer qu’il existe une base orthonormée $B_2$ de $\mathbb{R}^n$ telle que $\Mat_{B_1,B_2}(f) = \Diag(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$. 19. II.B.5) Démontrer qu’il existe deux matrices orthogonales $P_1, P_2 \in O(n)$ telles que $A = P_1 \cdot \Diag(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) \cdot P_2$. 20. II.C.1) Soient $\sigma_1, \ldots, \sigma_n \in \mathbb{R}_+$ des réels positifs. Démontrer qu’il existe deux matrices $Q_1$ et $Q_2$ dans $O(n)$ telles que : $$A = Q_1 \cdot \Diag(\sigma_1, \ldots, \sigma_n) \cdot Q_2 \iff \sigma_1, \ldots, \sigma_n \text{ sont les valeurs singulières de } A.$$} 21. II.C.2) Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ deux matrices réelles. Démontrer que : $$A \text{ et } B \text{ ont les mêmes valeurs singulières } \iff \exists\, (R_1, R_2) \in O(n)^2,\, A = R_1BR_2.$$ 22. III.A.1) Déterminer le rang de $A$ et calculer $tAA$. 23. III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de $A$ que l’on notera $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ avec $\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$. 24. III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de $tAA$ que l’on notera $B_1 = (X_1, X_2, X_3)$. On rangera les vecteurs dans l’ordre décroissant des valeurs propres correspondantes. 25. III.A.4) Déterminer une base orthonormée $B_2 = (Y_1, Y_2, Y_3)$ telle que $\Mat_{B_1,B_2}(f) = \Diag(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$.} 26. III.A.5) Démontrer que $A = P_{B \to B_2} \cdot \Diag(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) \cdot tP_{B \to B_1}$. On pose pour la suite $P = P_{B \to B_1}$, $Q = P_{B \to B_2}$ et $D = \Diag(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$. 27. III.B.1) Démontrer que $S$ est une partie d’un plan dont on déterminera une base et une équation cartésienne. 28. III.B.2) Démontrer que $S = \{ QDX_0,\, X_0 \in \mathbb{R}^3,\, ||X_0|| = 1 \}$. 29. III.B.3) Démontrer que dans une base adaptée $B_0$ à déterminer, $y = (y_1, y_2, y_3)_{B_0} \in S \iff \begin{cases} y_1^2/\sigma_1^2 + y_2^2/\sigma_2^2 \leq 1 \\ y_3 = 0 \end{cases}$ 30. III.B.4) Préciser la nature géométrique de l’ensemble $S$.} 31. IV.A.1) Dans cette section on suppose que $\rg(A) = 3$. Démontrer que $A$ admet trois valeurs singulières $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ strictement positives, distinctes ou non. 32. IV.A.2) Démontrer qu’il existe une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ notée $B_0$ telle que : $$y = (y_1, y_2, y_3)_{B_0} \in S \iff y_1^2/\sigma_1^2 + y_2^2/\sigma_2^2 + y_3^2/\sigma_3^2 = 1.$$ 33. IV.A.3) Préciser la nature géométrique de $S$. 34. IV.B.1) Dans cette section, on suppose que $\rg(A) = 1$. Démontrer qu’une seule des valeurs singulières de $A$ est non nulle. On la note $\sigma_1$. 35. IV.B.2) Démontrer que $S$ est un segment dont on donnera la longueur.} 36. V.A) Démontrer que $\rg(A) = p$. 37. V.B) Simplifier le produit matriciel $AA^+$ et en déduire que, si $A$ est une matrice inversible, $A^+ = A^{-1}$. 38. V.C) On note $f$ et $h$ les endomorphismes $\mathbb{R}^n$ dont les matrices dans la base canonique sont respectivement $A$ et $P$. Démontrer que $h$ est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang. 39. V.D) Démontrer que $\Im(f) = \Im(h)$. 40. V.E) Soit $Y \in \mathbb{R}^n$ fixé. On considère le système linéaire $AX = Y$, où $X \in \mathbb{R}^n$ est l’inconnu. On suppose que ce système n’a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs $X$ tels que la norme de $Y – AX$ soit minimale. Démontrer que $X = A^+ Y$ est l’un de ces vecteurs.}FAQ
Pour ce sujet, il faut absolument maîtriser l’algèbre linéaire, en particulier le calcul matriciel (produits, déterminant, matrices symétriques, matrices orthogonales). Il est aussi essentiel de savoir manipuler la notion de valeurs propres, valeurs singulières, ainsi que la diagonalisation et la réduction orthogonale. Le sujet aborde aussi des applications concrètes aux systèmes linéaires et à l’analyse géométrique des ensembles définis par des matrices. N’oublie pas de bien travailler sur la résolution des problèmes sous contrainte de rang et la norme dans les espaces vectoriels de dimension finie.
Les valeurs propres d’une matrice sont les scalaires λ tels que A·X = λ·X pour un vecteur non nul X. Elles caractérisent souvent la dynamique interne d’un endomorphisme. Les valeurs singulières, elles, sont toujours réelles et positives : elles correspondent aux racines carrées des valeurs propres de la matrice symétrique AᵗA ou AAᵗ. Les valeurs singulières servent notamment à l’analyse de la norme et donnent des informations sur la compression ou l’étirement d’une matrice. Retrouve tous les détails sur ces notions dans le corrigé complet en débloquant les corrigés.
La SVD (Singular Value Decomposition) permet d’exprimer toute matrice réelle comme le produit de deux matrices orthogonales et d’une matrice diagonale à coefficients réels positifs. C’est un outil clé pour comprendre les propriétés géométriques d’une matrice : image, noyau, norme, projection, et pour résoudre des systèmes linéaires. En concours, elle intervient pour résoudre des questions de diagonalisation, d’analyse géométrique d’ellipsoïdes, ou pour obtenir des solutions optimales (notamment les « moindres carrés »).
Dans le cas général, AB et BA n’ont pas nécessairement la même taille, mais si elles sont carrées de même dimension, alors elles ont le même ensemble de valeurs propres (simultanément) sauf éventuellement pour la valeur zéro, qui peut différer en multiplicité si les matrices ne sont pas inversibles. Cette propriété est souvent testée dans les sujets de Centrale, il faut donc bien maîtriser les implications sur le rang et la structure des endomorphismes associés.
La symétrie d’une matrice (Aᵗ = A) simplifie l’étude des valeurs propres, car une matrice symétrique réelle admet toujours une base orthonormée de vecteurs propres réels et est diagonalisable. Cette propriété est fondamentale dans de nombreux exercices, notamment pour la réduction orthogonale et l’étude géométrique des quadriques ou des applications linéaires. Attention, pour les matrices non symétriques, la décomposition SVD prend alors tout son intérêt !
Le rang donne l’information clé sur l’inversibilité, le nombre de solutions d’un système linéaire, et la structure de l’image d’une application linéaire. Beaucoup de questions du sujet 2009 t’invitent justement à relier des propriétés de rang à l’existence ou non de solutions, ou à la nature d’ensembles géométriques associés à des matrices (plans, segments, ellipsoïdes, etc.). N’hésite pas à bien revoir toutes les techniques de calcul du rang pour aborder sereinement ces problèmes.
Les matrices sont la représentation concrète des applications linéaires dans une base donnée. Un des intérêts majeurs du sujet Centrale PSI 2009 est de montrer comment une matrice donne lieu à une transformation géométrique (rotation, projection, dilatation, etc.), mais aussi comment elle définit des ensembles géométriques, comme des ellipses ou des plans. La résolution des systèmes linéaires et l’étude des images/noyaux sont ainsi illustrées par la géométrie. Ce lien constant entre algèbre linéaire et géométrie est une exigence forte des sujets de concours.
Les matrices orthogonales représentent des changements de base qui préservent les longueurs et les angles (isométries de l’espace euclidien). Dans de nombreux sujets, on cherche à diagonaliser ou à rendre plus simple une application linéaire par un « bon » choix de base orthonormée, ce qui fait apparaître naturellement les matrices orthogonales. Elles sont essentielles dans la décomposition SVD, la réduction orthogonale et l’étude des symétries.
Priorise d’abord la clarté : pose toujours tes notations, fais des rappels de propriétés fondamentales et développe consciencieusement chaque étape du raisonnement. Mets-toi à la place du correcteur, pense à donner toutes les justifications algébriques ou géométriques attendues. Travaille à partir de vrais corrigés, comme ceux proposés sur Prépa Booster, pour te familiariser avec le niveau de rigueur demandé et pour accéder à des exercices types et des révisions personnalisées.