Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que $p$ est une application linéaire. Déterminer la matrice de $p$ relativement aux bases canoniques de $\mathbb{R}^3$ et $\mathbb{R}^2$. Déterminer le noyau et l’image de $p$. 2. I.A.2) Représenter sur un même dessin les images par $p$ des vecteurs de la base canonique de $\mathbb{R}^3$. Ce dessin donne une représentation en perspective de la base formée par ces trois vecteurs. 3. I.B) Pour cette seule question, on introduit l’endomorphisme $p$ de $\mathbb{R}^3$ qui au vecteur-colonne $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ associe $\begin{pmatrix} x – \alpha z \\ y – \beta z \\ 0 \end{pmatrix}$. Interpréter géométriquement $p$ grâce à $p \circ p$. Est-il vrai que $p(X) = X$ pour tout vecteur $X \in \mathbb{R}^3$? 4. I.C.1) Soit $M_0$ un point et $\overrightarrow{u}$ un vecteur de $\mathbb{R}^3$. On considère la droite affine $D = M_0 + \mathbb{R} \overrightarrow{u} = \{M_0 + \lambda \overrightarrow{u}\}$. Montrer que $p(D) = p(M_0) + \mathbb{R} p(\overrightarrow{u})$. 5. I.C.2) Soit $D$ une droite affine de $\mathbb{R}^3$. Montrer que son image par $p$ est une droite affine ou est réduite à un point, en discutant selon un vecteur directeur de $D$.} 6. I.C.3) Soit $D$ et $D’$ deux droites affines de $\mathbb{R}^3$ dont les images par $p$ sont des droites affines de $\mathbb{R}^2$.\\ a) Si $D$ et $D’$ sont sécantes, montrer que leurs images par $p$ le sont aussi. La réciproque est-elle vraie?\\ b) Si $D$ et $D’$ sont parallèles, montrer que leurs images par $p$ le sont aussi. La réciproque est-elle vraie? 7. I.C.4) Soit $\Pi$ un plan affine de $\mathbb{R}^3$. Discuter la nature de $p(\Pi)$ suivant $\overrightarrow{\nu}$ et $\Pi$. 8. I.D.1) Montrer que l’ensemble des $X \in \mathbb{R}^3$ tels que $q(X) = 0$ est la réunion de deux plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$ que l’on caractérisera par leurs équations cartésiennes. En déduire que les plans affines parallèles à l’un ou l’autre de ces deux plans sont représentés en vraie grandeur par $p$. 9. I.D.2) \\ a) Montrer, en le déterminant, qu’il existe un unique endomorphisme autoadjoint $u$ de $\mathbb{R}^3$, tel que $q(X) = \langle u(X), X \rangle$ pour tout $X\in \mathbb{R}^3$.\\ b) Déterminer le polynôme caractéristique $\chi_u$ de $u$ puis le signe des valeurs propres non nulles de $u$. 10. I.E.1) Soit $P$ un plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$ ; montrer qu’il existe une base orthonormale $B$ de $\mathbb{R}^3$ dont les deux premiers vecteurs soient dans $P$.} 11. I.E.2) Soit $u_0$ un endomorphisme autoadjoint de $\mathbb{R}^3$ ; on pose $q_0(X) = \langle u_0(X), X \rangle$ pour tout $X \in \mathbb{R}^3$, on suppose qu’il existe $P$, plan vectoriel de $\mathbb{R}^3$, tel que $q_0(X) = 0$ pour tout $X \in P$ et, $P$ étant supposé choisi, on choisit $B$ comme dans la question I.E.1. Montrer que la matrice de $u_0$ relativement à $B$ est de la forme $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & b \\ a & b & c \end{pmatrix}$. 12. I.E.3) Si $(a, b) \neq (0,0)$, montrer que l’ensemble des $X \in \mathbb{R}^3$ tels que $q_0(X) = 0$ est la réunion de deux plans puis étudier le signe des valeurs propres non nulles de $u_0$. 13. I.E.4) Discuter le rang de $u_0$ en fonction de $(a, b, c)$. 14. II.A.1) Soit $\xi = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2$. Montrer que l’image réciproque $p^{-1}(\{\xi\})$ est la droite affine $D_{\xi}$ passant par le point $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{\nu}$. En conclure que $\xi \in p(S) \iff S \cap D_{\xi} \neq \varnothing$ et que cela équivaut à dire que l’équation en $t$: $(x + t \cos\theta)^2 + (y + t \sin\theta)^2 + t^2 = R^2$ admet au moins une racine réelle. 15. II.A.2) En déduire que $p(S)$ est définie par l’inéquation $\Phi(x, y) \leq 2R^2$, où l’on a posé $\Phi(x, y) = 2(x^2 + y^2) – (x\cos\theta + y\sin\theta)^2$.} 16. II.A.3) On considère le repère affine $R_0$ déduit du repère canonique $R$ de $\mathbb{R}^2$ par la rotation d’angle $\theta$ autour de l’origine.\\ a) Soit $M$ un point de $\mathbb{R}^2$ de coordonnées $(x, y)$ dans $R$ et de coordonnées $(x’, y’)$ dans $R_0$. Déterminer $x’$ et $y’$ en fonction de $x$ et $y$.\\ b) Montrer que $E$ est une ellipse et donner son équation cartésienne dans $R_0$.\\ c) Indiquer les éléments remarquables de $E$: axe focal, demi-longueur des axes et excentricité. Montrer que les foyers de $E$ sont les points $F$ et $F’$ dont les coordonnées relatives à $R_0$ sont respectivement $(R,0)$ et $(-R,0)$.\\ d) Déterminer une inéquation de $p(S)$ dans le repère $R_0$ et en déduire que $p(S)$ est le domaine borné limité par $E$. Représenter enfin $p(S)$ soigneusement dans le repère $R_0$. 17. II.B.1) Montrer, en le déterminant, que tout élément $\xi \in E$ ne possède qu’un seul antécédent par $p$ dans $S$. 18. II.B.2) Pour chaque $\xi = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \in E$, calculer $<\pi(\xi), \overrightarrow{\nu}>$ et en déduire que $\Sigma$ est inclus dans $P_0$, le plan vectoriel orthogonal à $\overrightarrow{\nu}$. 19. II.B.3) Réciproquement, soit $X \in S$ tel que $<\overrightarrow{\nu}, X> = 0$. Montrer que $p(X) \in E$. 20. II.C.1) Montrer que la restriction $p_0$ de $p$ à $P_0$ est une bijection de $P_0$ sur $\mathbb{R}^2$. On en notera $p_1$ la bijection réciproque.} 21. II.C.2) Soit $\sigma$ une application linéaire de $P_0$ sur lui-même, supposée involutive, c’est-à-dire vérifiant $\sigma \circ \sigma = \mathrm{Id}_{P_0}$.\\ a) Montrer que $s = p_0 \circ \sigma \circ p_1$ est une involution linéaire de $\mathbb{R}^2$ sur lui-même.\\ b) Comment obtient-on les sous-espaces propres de $s$ en fonction de ceux de $\sigma$ ?\\ c) Montrer que $s$ laisse stable $E$ si, et seulement si, $\sigma$ laisse stable $\Sigma$. 22. III.A) On suppose donné un intervalle ouvert $I$ non vide et un arc $\Gamma$ de classe $\mathcal{C}^1$ de $I$ dans $\mathbb{R}^3$. On suppose que, pour un $t_0 \in I$, le vecteur-dérivée $\Gamma'(t_0)$ n’appartient pas à $\mathrm{Vect}(\overrightarrow{\nu})$. Dans ces conditions, montrer que le point $p(\Gamma(t_0))$ est régulier pour l’arc $p\circ\Gamma$, de $I$ dans $\mathbb{R}^2$, et donner un vecteur directeur de la tangente à l’arc en ce point. 23. III.B.1) Soit un réel $\delta\in\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right]$ ; montrer que l’intersection de $S$ et du plan de $\mathbb{R}^3$ d’équation $z=R\sin\delta$ est le cercle $C_\delta$ paramétré par $\varphi\in\mathbb{R}\mapsto M_\delta(\varphi)=\begin{pmatrix}R\cos\delta\cos\varphi \\ R\cos\delta\sin\varphi \\ R\sin\delta\end{pmatrix}$ En donner le centre et le rayon. 24. III.B.2) Montrer que l’intersection de $P_0$ et de $C_\delta$ est non vide si, et seulement si, $|\delta| \leq \frac{\pi}{4}$. Montrer plus précisément que cette intersection se compose alors de deux points lorsque $|\delta| < \frac{\pi}{4}$. 25. III.B.3) Soit $\delta\in\left[-\frac\pi4;\frac\pi4\right]$ et un point $M\in P_0\cap C_\delta$. On choisit un réel $\varphi_0$ tel que $M = M_\delta(\varphi_0)$. Montrer que $M\in\Sigma$ puis que sont orthogonaux à $\overrightarrow{OM}$ : le vecteur $\overrightarrow{\nu}$, le vecteur $\left.\frac{dM_\delta}{d\varphi}\right|_{\varphi=\varphi_0}$ ainsi que tout vecteur tangent en $M$ à $\Sigma$.} 26. III.B.4) Montrer que les $p(C_\delta)$, où $\delta$ décrit $\left[ -\frac\pi2;\frac\pi2 \right]$, sont des cercles et que $p(S)$ en est la réunion. Déterminer le centre $\Omega_\delta$ et le rayon $R_\delta$ du cercle $p(C_\delta)$. En utilisant en particulier III.A et III.B.3, montrer que, lorsque $|\delta| < \frac{\pi}{4}$, le cercle $p(C_\delta)$ est tangent à $E$ en deux points distincts. Étudier aussi le cas de $p(C_{\pi/4})$. 27. III.B.5) Lorsque $0 \leq \delta < \delta' \leq \frac{\pi}{4}$, montrer que $p(C_{\delta'})$ et $p(C_\delta)$ sont sécants. Lorsque $\frac{\pi}{4} \leq \delta < \delta' \leq \frac{\pi}{2}$, montrer que $p(C_{\delta'})$ est intérieur à $p(C_\delta)$. 28. III.C) Représenter sur un même dessin : $E$ , un cercle $p(C_\delta)$ avec $0 \leq \delta < \frac{\pi}{4}$, le cercle $p(C_{\pi/4})$ et un cercle $p(C_\delta)$ avec $\frac{\pi}{2} > \delta >\frac{\pi}{4}$. 29. III.D) Montrer qu’il existe une seconde famille de cercles inclus dans $S$ dont les images par $p$ soient des cercles et dont la réunion des images par $p$ soit encore $p(S)$.}FAQ
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