Questions du sujet
1. 1) On se propose de démontrer le résultat suivant :\\ \og deux matrices de \(M_n(\mathbb{R})\) semblables dans \(M_n(\mathbb{C})\) sont semblables dans \(M_n(\mathbb{R})\) \fg.\\ Soit donc \(A\) et \(B\) deux matrices de \(M_n(\mathbb{R})\) semblables dans \(M_n(\mathbb{C})\) et un élément \(P\) de \(GL_n(\mathbb{C})\) tel que \(A = PBP^{-1}\).\\ a) Montrer qu’il existe \(R\) et \(J\) tels que \(P = R + iJ\) avec \(R, J \in M_n(\mathbb{R})\).\\ b) Montrer que, pour tout \(t \in \mathbb{C}\), \((R + tJ)B = A(R + tJ)\).\\ c) Montrer qu’il existe \(t_0 \in \mathbb{R}\) tel que \(\det(R + t_0J) \neq 0\).\\ d) En déduire que \(A\) et \(B\) sont semblables dans \(M_n(\mathbb{R})\). 2. 2)\\ a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle.\\ b) En déduire que s’il existe une matrice \(A\) de \(M_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(P_A(A) = 0\), alors \(n\) est pair. 3. I.A.1) On considère la matrice \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et on désigne par \(u\) l’endomorphisme associé.\\ a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de \(s_1\), symétrie par rapport à la droite \(\mathbb{R}e_1\) parallèlement à la droite \(\mathbb{R}e_2\).\\ b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l’application \(s_2\).\\ En déduire qu’il existe une symétrie \(s\), qu’on précisera, telle que \(u = s_2 \circ s_1\). 4. I.A.2) On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}\).\\ a) Montrer que \(A\) est semblable à \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et donner une matrice \(P \in M_2(\mathbb{Z})\) à coefficients entiers et de déterminant 1 telle que \(A = PMP^{-1}\).\\ b) Montrer que \(A\) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on précisera.\\ Soit \(\alpha\) et \(\beta\) des nombres réels tels que \(\alpha^2 + \beta^2 = 1\).\\ c) Montrer que \(B = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & -\alpha \end{pmatrix}\) est semblable à \(M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) et donner une matrice \(Q \in M_2(\mathbb{R})\) telle que \(BQ = MQ\).\\ Indication : on pourra calculer \(Be_1 = \beta e_1 + \alpha e_2\).\\ d) Montrer que \(B\) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on ne demande pas de préciser. 5. I.A.3) On considère la matrice \(M(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & -\alpha \end{pmatrix}\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des nombres réels tel que \(\alpha^2 + \beta^2 = 1\).\\ Montrer que \(M(\alpha, \beta)\) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on ne demande pas de préciser.} 6. I.A.4) On considère à présent la matrice \(M(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & -\alpha \end{pmatrix}\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des nombres réels tels que \(\alpha^2 + \beta^2 \neq 0\). Montrer que \(M(\alpha, \beta)\) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d’une homothétie. 7. I.A.5) Soit \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) appartenant à \(M_2(\mathbb{R})\).\\ a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de \(A\) pour que \(P_A(A) = 0\) soit réalisée.\\ b) En supposant que \(A\) vérifie \(P_A(A) = 0\), et en étudiant la diagonalisation dans \(M_2(\mathbb{C})\) de \(A\), montrer qu’il existe une unique matrice, semblable à \(A\), du type \(M(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & -\alpha \end{pmatrix}\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(\beta \in \mathbb{R}_+^*\). Expliciter \(\alpha\) et \(\beta\) en fonction de \(a, b, c, d\).\\ c) Que peut-on dire de \(A\) si \(P_A(A) = 0\) et \(A\) est dans \(GL_2(\mathbb{R})\)?\\ d) Montrer que \(A\) est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d’une homothétie. 8. I.A.6) On suppose que \(\mathbb{R}^2\) est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i.e. \((e_1, e_2)\) est orthonormée directe). Que sont alors les endomorphismes de matrice \(M(\alpha, \beta)\) (avec \(\alpha\) et \(\beta\) réels tels que \(\alpha^2 + \beta^2 = 1\)) dans la base canonique ? 9. I.B.1) Soit \(A\) une matrice de \(M_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(P_A(A) = 0\). Soit la matrice de \(M_{2p}(\mathbb{R})\) définie par blocs sous la forme \[ B = \begin{pmatrix} 0 & I_p \\ – I_p & 0 \end{pmatrix} \] Montrer que \(B\) est diagonalisable dans \(M_{2p}(\mathbb{C})\) et qu’il existe une matrice \(P\) de \(GL_{2p}(\mathbb{R})\) inversible, des entiers naturels \(q\) et \(r\) tels que \(B\) soit sous la forme d’une matrice par blocs \[ \begin{pmatrix} I_q & 0 \\ 0 & – I_r \end{pmatrix} \] On convient que cette matrice vaut 0 lorsque \(q = 0\) et \(I_r\) lorsque \(p – q = 0, r = 0\). 10. I.B.2) Déterminer une matrice par blocs de \(M_{2p}(\mathbb{R})\) inversible et constituée de multiples de \(I_p\) telle que : \[ P^{-1} \begin{pmatrix} 0 & I_p \\ – I_p & 0 \end{pmatrix} P = \begin{pmatrix} 0 & -I_p \\ I_p & 0 \end{pmatrix} \]} 11. I.B.3) En déduire que \(A\) est semblable dans \(M_n(\mathbb{R})\) à la matrice \[ \operatorname{diag}\left( M(0,1), \ldots, M(0,1) \right) \] 12. I.B.4) Montrer alors que \(A\) est semblable dans \(M_n(\mathbb{R})\) à une matrice du type \[ \operatorname{diag}\left( M(\alpha_1, \beta_1), \ldots, M(\alpha_p, \beta_p) \right) \] 13. I.B.5) Exemple : on considère dans \(M_4(\mathbb{R})\) la matrice \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 & -15 \\ -4 & 2 & -5 & 10 \\ 23 & 4 & -6 & -2 \\ 1 & -24 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] a) Déterminer une matrice inversible \(M\) de \(M_4(\mathbb{R})\) telle que \(M^{-1}AM = \operatorname{diag}\left(M(0,1), M(0,1)\right)\).\\ b) En utilisant la technique vue à la question I.A.1, montrer que \(A\) est la matrice, dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\), de la composée de deux symétries qu’on précisera. 14. II.A.1) Dans cette question, désigne une matrice \(A\) de \(M_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = -I_n\). Montrer que \(P_A(A) = 0\) est réalisée. 15. II.A.2) Si \(A’\) est obtenue à partir de \(A\) par utilisation d’une opération élémentaire, comment déduit-on \(P_A(A’)\) de \(P_A(A)\) ? \\ On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme :\\ a) \(L_i \leftrightarrow L_j\),\\ b) \(L_i \leftarrow \alpha L_i\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}^*\),\\ c) \(L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\). } 16. II.A.3) a) En utilisant II.A.1, montrer qu’il existe \(A’\) tel que \(P_A(A’) = 0\).\\ b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu’il existe \(P\) inversible telle que \(A’ = PAP^{-1}\) si \(A’_{i,1} = 0\) pour \(i \neq 2\) et \(A’_{2,1} = 1\).\\ c) Montrer alors que si \(A’_{i,2} = 0\) pour \(i \neq 1\) et \(A’_{1,2} = -1\). 17. II.A.4) Montrer qu’il existe \(Q\) inversible telle que \(QA’Q^{-1}\) soit de la forme par blocs avec \(M(0,1)\) et \(B\). 18. II.A.5) Montrer que \(A\) est semblable à une matrice du type \[ \operatorname{diag}\left(M(0,1), \ldots, M(0,1)\right) \] 19. II.A.6) Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver une matrice inversible \(M\) de \(M_4(\mathbb{R})\) telle que \(MAM^{-1} = \operatorname{diag}(M(0,1), M(0,1))\) où \(A\) est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées. 20. II.B.1) Dans cette question \(A\) est une matrice de \(M_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(A = \alpha I_n\), avec \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\). Montrer que \(P_A(A) = 0\) vérifie \(A^2 = -I_n\).} 21. II.B.2) Montrer que \(A\) est semblable à la matrice d’ordre \(n\) \[ \operatorname{diag}\left(M(\alpha, \beta), \ldots, M(\alpha, \beta)\right) \] Que peut-on dire de \(\det(A)\)? 22. II.C.1) Soit l’endomorphisme \(u\) de \(\mathbb{R}_n[X]\) défini par : pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}_n[X]\), \(u(P)(x) = xP(x)\), pour tout \(x \in \mathbb{R}^*\). Déterminer pour quelles valeurs de \(i\) et \(j\) dans \(\{0, \ldots, n – 1\}\), le plan \(\text{vect}(X^i, X^j)\) est stable par \(u\). 23. II.C.2) En déduire que la matrice \(A\) telle que \(A_{n+1-i,i} = -1\), les autres coefficients de \(A\) étant nuls, est semblable à \[ \operatorname{diag}\left(M(0,1), \ldots, M(0,1)\right) \] 24. III.A.1) Montrer que si \(A = \operatorname{diag}\left(M(\alpha_1, \beta_1), \ldots, M(\alpha_p, \beta_p)\right)\), le polynôme \(\prod_{k=1}^p (X^2-\alpha_k^2-\beta_k^2)\) ne possède que des racines simples complexes non réelles. 25. III.A.2) En déduire que (i) \(\Rightarrow\) (ii).} 26. III.B.1) On suppose donc que \(A\) vérifie (ii). Soit un sous-espace vectoriel \(E\) de \(\mathbb{R}^n\) de dimension 2 et stable par \(A\). Soit une base \((f_1, f_2)\) que l’on complète en une base \((f_1, \ldots, f_n)\) de \(\mathbb{R}^n\). Montrer que dans la base \((f_1, \ldots, f_n)\) de \(\mathbb{R}^n\), l’endomorphisme canoniquement associé à \(A\) a une matrice s’écrivant par blocs : \[ \begin{pmatrix} A’ & B \\ 0 & C \end{pmatrix} \] avec \(A’ \in M_2(\mathbb{R})\). 27. III.B.2) Vérifier que \(A’\) ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire que \(A’\) est semblable à une matrice du type \(M(\alpha, \beta)\) avec \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+^*\). 28. III.B.3) Montrer que \(E\) est inclus dans \(\ker(A – \alpha I_n – \beta^2 I_n)\). 29. III.B.4) Montrer que \(\mathbb{R}^n\) possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par \(A\) dans \(\mathbb{R}^n\). 30. III.B.5) En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties II.A.3 et II.A.4, montrer que \(\mathbb{R}^n\) possède un supplémentaire stable par \(A\) dans \(\mathbb{R}^n\), puis conclure que iii) est réalisé.} 31. III.C) En raisonnant par récurrence, montrer que (iii) \(\Rightarrow\) (i). 32. III.D) Exemple :\\ Soit \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -4 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & 4 \\ 0 & 5 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] En admettant que \(P_A\) annule \(A\), déterminer une matrice inversible \(M\) de \(M_4(\mathbb{R})\) et des réels \(\alpha, \beta, \alpha’, \beta’\) tels que \[ M^{-1}AM = \operatorname{diag}\left(M(\alpha, \beta), M(\alpha’, \beta’)\right) \]}FAQ
Au concours Centrale en PSI, tu trouveras très souvent des questions portant sur la similarité de matrices réelles et complexes, la réduction par blocs, la diagonalisation dans différents corps, ou encore le lien entre endomorphismes et matrices. Savoir jongler entre les bases réelles et complexes, maîtriser les critères de diagonalisation et bien utiliser le polynôme caractéristique sont des armes indispensables pour aborder sereinement ces sujets.
Le polynôme caractéristique est l’outil essentiel pour étudier la structure d’une matrice : il renseigne sur les valeurs propres, la diagonalisation, la nature des racines (réelles ou complexes), et sert de passerelle entre calculs purs et interprétations géométriques. Pour bien l’utiliser, pense à bien vérifier sa factorisation, à exploiter les propriétés de ses racines (notamment la multiplicité), et à faire le lien avec la dimension de l’espace et la structure des sous-espaces invariants. Sa maîtrise te permettra systématiquement de débloquer des situations récurrentes dans les sujets type Centrale.
Les matrices de la forme M(α,β) = \(\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & -\alpha \end{pmatrix}\) apparaissent souvent dès qu’on étudie des compositions de symétries, des rotations ou des transformations particulières du plan. Pour les manipuler, identifie d’abord si tu rentres dans le cas particulier où α²+β²=1 (groupe orthogonal) ou plus général. Apprends à calculer leurs valeurs propres, leur déterminant, et à détecter si elles sont la composée de deux symétries, d’une homothétie, ou même d’une rotation. Explicite toujours (α,β) en fonction des coefficients de la matrice initiale pour bien faire le lien avec l’énoncé.
Pour montrer la similarité de deux matrices, commence toujours par énoncer le cadre : dans quel anneau ou corps travailles-tu (ℝ ou ℂ) ? Ensuite, trouve une matrice de passage P telle que A = PBP⁻¹. N’hésite pas à décomposer P en partie réelle et imaginaire (lorsqu’elle a des coefficients complexes), à utiliser la forme de Jordan ou à construire explicitement la base adaptée au problème. Pour passer d’une similarité sur ℂ à une similarité sur ℝ, il faut souvent jouer habilement sur la structure algébrique et garantir l’inversibilité de la matrice de passage sur ℝ. Ce point fait l’objet de nombreuses questions sur le sujet Centrale 2005.
Oui, clairement ! De très nombreux exercices jouent sur l’interprétation géométrique des matrices (surtout dans le cas des matrices 2×2), en faisant intervenir symétries, homothéties, rotations et leurs compositions. Accroche-toi sur la façon de détecter le type de transformation associé à une matrice (notamment grâce à sa trace, son déterminant, le fait qu’elle soit orthogonale, etc.) ; c’est très valorisé lors du traitement de questions transversales ou de généralisation. Maîtriser ce sujet thématique, c’est gagner des points faciles lors des épreuves écrites.
C’est fondamental : bon nombre de questions du concours Centrale vont te demander d’identifier ou de construire des sous-espaces stables par un endomorphisme ou une matrice, de raisonner par récurrence pour décrire toute la structure de l’espace vectoriel, ou encore de découper ce dernier via la réduction en blocs. Une bonne compréhension de la structure d’un espace vectoriel (sous-espaces invariants, somme directe, compléments stables) te permet d’anticiper beaucoup, d’établir des raisonnements rigoureux et de progresser dans la résolution de toute la partie linéaire du sujet.
Travailler sur les annales corrigées, c’est la meilleure façon de s’immerger dans les attendus des épreuves, de repérer les thèmes incontournables et de progresser sur les points de méthode qui te feront gagner des points. C’est aussi l’occasion de revoir les techniques clés (polynômes, espaces invariants, matrices particulières), de découvrir tous les pièges classiques, et d’anticiper les types de rédaction ou de démonstration demandés. Sur Prépa Booster, tu peux débloquer tous les corrigés pour bénéficier d’exercices corrigés, de conseils méthodologiques et d’un dashboard personnalisé qui boostera ta préparation.