Questions du sujet
1. I.A – Soit un sous-espace $F$ de $E$, stable par $f$. Montrer que si $x_0 \in F$, la trajectoire de $x_0$ est contenue dans $F$.} 2. I.B – Soit $f$ un élément de $L(E)$, $x_0$ un vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre $\lambda$ et la trajectoire de $x_0$. Exprimer $x(t)$ en fonction de $x_0$, $\lambda$, $t$.} 3. I.C – Soit $f$ un élément de $L(E)$, $x_0$ un élément de $E$ n’appartenant pas à $\Ker f$ et la trajectoire de $x_0$. Exprimer $x(t)$ en fonction de $x_0$, $f(x_0)$ et préciser la nature géométrique de cette trajectoire.} 4. I.D – Soit $f$ un élément de $L(E)$, $x_0$ un élément de $E$. On suppose qu’il existe un réel $\varphi$ n’appartenant pas à $\pi\mathbb{Z}$ et un réel strictement positif $k$ tels que $f^2 = -k^2 \mathrm{Id}_E$.\\ On note $x(t)$ la trajectoire de $x_0$.} 5. I.D.1) Montrer que la famille $(x_0, f(x_0))$ est libre et justifier l’existence de deux applications $u$ et $v$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, telles que $x(t) = u(t)x_0 + v(t)f(x_0)$.} 6. I.D.2) Montrer que $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^2$. Former une équation différentielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par $x(t)$. En déduire l’expression de $x(t)$.} 7. I.D.3) Montrer que $x(t)$ est bornée si et seulement si $v(t)=0$. Dans ce cas, décrire géométriquement la trajectoire. À quelles conditions cette trajectoire est-elle un cercle ?} 8. I.E – Soit un réel strictement positif $k$, un élément $f$ de $L(E)$, et $g$ un élément de $L(E)$. On désigne par la famille $\mathcal{G} = \{x_0, f(x_0), g(x_0), gf(x_0)\}$.} 9. I.E.1) Montrer que $\mathcal{G}$ est stable par $f$.} 10. I.E.2) Montrer que $\mathcal{G}$ est libre si et seulement si $g(x_0)\neq 0$.} 11. I.E.3) On suppose que $g(x_0) \neq 0$. Montrer que la trajectoire de $x_0$ peut s’écrire sous la forme \[ x(t) = u(t)x_0 + v(t)f(x_0) + w(t)g(x_0) + h(t)gf(x_0) \] Déterminer $u(t)$, $v(t)$, puis $w(t)$, puis $h(t)$. Montrer que cette trajectoire n’est pas bornée.} 12. II.A – Soit une valeur propre réelle $\lambda$ de $f$. Montrer que $\lambda=0$.} 13. II.B – Montrer que $\Ker f = \Ker(f^2)$ et $E = \Im f \oplus \Ker f$.} 14. II.C – Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule $f$. Démontrer qu’il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de $\mathbb{R}[X]$ annulant $f$.\\ Dans toute la suite de la section II.C, ce polynôme est noté $P$.} 15. II.C.1) Soit $Q$ un diviseur non constant de $P$. Montrer que $Q(f)$ ne peut être inversible.} 16. II.C.2) On suppose que $P$ admet une racine réelle $\lambda$. Montrer que $\lambda=0$ et, en s’aidant de la question II.B, que l’ordre de multiplicité de cette racine dans $P$ est égal à $1$.} 17. II.C.3) Que dire de $P$ si $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ ?} 18. II.C.4) On suppose que $P$ possède une racine complexe non réelle. On écrit $\lambda = k e^{i\varphi}$ sous forme trigonométrique : $k>0, \varphi$ réel, et $k$ n’appartenant pas à $\pi\mathbb{Z}$. Démontrer qu’il existe un vecteur $x_0 \neq 0$ tel que : \[ f^2(x_0) – 2k \cos\varphi f(x_0) + k^2 x_0 = 0 \] En déduire la valeur de $\cos\varphi$. Qu’en conclure sur les racines non réelles de $P$ ?} 19. II.C.5) Soit $f$, montrer que $\Ker f^2 = \Ker f$.} 20. II.C.6) On suppose $f \neq 0$ ; démontrer qu’il existe un entier $s$ et des réels $a_1, \ldots, a_s$ strictement positifs et distincts tels que $P$ soit de l’une ou l’autre des deux formes suivantes : \[ P = \prod_{i=1}^s (X^2 + a_i^2) \quad\text{ou}\quad P = X\prod_{i=1}^s (X^2 + a_i^2) \] } 21. II.D – Prouver que $f$ vérifie les deux propriétés suivantes :\\ i) L’endomorphisme $f$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels négatifs ou nuls.\\ ii) $\text{rg}(f^2) = \text{rg}(f)$.\\ Prouver que les dimensions des sous-espaces propres de $f$ associés à ses valeurs propres strictement négatives sont paires.} 22. II.E – Réciproquement soit $f$ un élément de $L(E)$, non nul et vérifiant les deux propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l’existence d’un entier strictement positif $s$, de sous-espaces $E_1, \ldots, E_s$ tous non réduits à $\{0\}$, de dimensions paires et stables par $f$ et de réels $a_1, …, a_s$, strictement positifs et distincts, tels que :\\ (1) $E = \bigoplus_{i=1}^{s} E_i$ ;\\ (2) $\forall i \in \{1, …, s\}, \forall x \in E_i, f^2(x) = -a_i^2 x$.\\ Étudier la trajectoire d’un vecteur appartenant à l’un des $E_i$ et en conclure que $f \in \mathcal{B}(E)$.} 23. III.A.1) Soit un élément $f$ de $L(E)$. Prouver l’équivalence des deux propriétés suivantes :\\ a) $f^* + f = 0$\\ b) $\forall u \in E,\ (u|fu) = 0$.\\ Un endomorphisme vérifiant l’une de ces deux propriétés est appelé endomorphisme antisymétrique de $E$. L’ensemble de ces endomorphismes est noté $A(E)$.} 24. III.A.2) Soit $f \in A(E)$ et une trajectoire associée ; calculer la dérivée de la fonction $t \mapsto \|x(t)\|^2$. Montrer que $\|x(t)\|$ est constante.} 25. III.B – Soit $f \in A(E)$ et un sous-espace $F$ de $E$ stable par $f$. Montrer que $f_{|F} \in A(F)$.} 26. III.C – Montrer que $A(E) \subset \mathcal{B}(E)$.} 27. III.D.1) Dans cette section III.D, $E$ est de dimension $2$ et $f$ est un élément non nul de $A(E)$. Démontrer que $f^2$ est une homothétie de rapport strictement négatif.} 28. III.D.2) Soit $x_0 \in E\setminus\{0\}$ et $a$ le centre d’un cercle contenant la trajectoire de $x_0$. Justifier que $x_0$ peut s’écrire sous la forme $x_0 = a + \alpha x_0 + \beta f(x_0)$ et prouver que $f^2(x_0) = 0$.} 29. III.D.3) Prouver que $A(E) = \mathcal{S}\mathcal{P}(E)$.} 30. III.E.1) Dans cette section III.E, $E$ est un espace vectoriel orienté de dimension $3$. Soit $\omega$ un élément de $E\setminus\{0\}$, $v \in E$ orthogonal à $\omega$. On définit l’endomorphisme $\psi$ de $E$ par $\psi(u) = a \omega \wedge u + v\omega$. Montrer que $\psi$ est antisymétrique si et seulement si $v=0$.} 31. III.E.2) Montrer que si $\omega$ est non nul, $\psi$ appartient à $\mathcal{S}\mathcal{P}(E)$.} 32. III.E.3) Soit $f \in \mathcal{S}\mathcal{P}(E)\setminus\{0\}$. Établir que $f$ n’admet qu’une seule valeur propre strictement négative, notée $-\mu^2$ et que \[ f^2 = -\mu^2 \mathrm{Id}_E. \]} 33. III.E.4) En déduire l’existence d’une base orthonormée de $E$ où la matrice de $f$ est de la forme \[ \begin{pmatrix} 0 & -\mu & 0 \\ \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] et conclure.} 34. III.F – On suppose, dans cette question, que $f$, élément de $L(E)$, vérifie $E = \Ker f \oplus \Im f$ où $f_{|\Im f} \in \mathcal{S}\mathcal{P}(\Im f)$. À l’aide des résultats des questions III.B et III.D, montrer que $f$ est antisymétrique.} 35. III.G – Démontrer que, dans le cas général, $\mathcal{S}\mathcal{P}(E)$ est constitué des endomorphismes qui vérifient les deux propriétés suivantes : \\ i) $f^* + f = 0$.\\ ii) L’endomorphisme induit par $f$ sur $\Im f$ est antisymétrique.\\ Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de $x_0$ élément de $E$, le centre d’une sphère qui contient la trajectoire de $x_0$.}FAQ
Pour cet écrit, il est essentiel de bien connaître les notions d’endomorphisme, de stabilité des sous-espaces, de trajectoires dans un espace vectoriel, de valeurs propres et vecteurs propres, de diagonalisation et de polynômes annulateurs. Tu dois aussi être à l’aise avec la notion de somme directe, de noyau et d’image, ainsi que les applications des endomorphismes quadratiques et les propriétes des matrices antisymétriques. Ces concepts sont au cœur du sujet, donc révise-les bien pour réussir ce type d’épreuve.
La stabilité d’un sous-espace F par un endomorphisme f, c’est lorsque f(F)⊆F. Donc, appliquer f à un élément de F te ramène toujours dans F. C’est crucial car cela permet, par exemple, de restreindre l’action de f à F et de réduire ainsi la complexité lors de l’étude des trajectoires ou des polynômes annulateurs. Pour le concours Centrale, cette réflexion t’aide à découper les problèmes en sous-parties plus gérables. Débloque les corrigés pour voir comment ces notions sont exploitées dans les solutions détaillées !
La trajectoire d’un vecteur, quand on applique à répétition un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes, permet d’étudier de façon dynamique certaines structures ou conditions, notamment liées à la diagonalisabilité, à la présence de cycles ou encore à la nature géométrique des solutions (cercles, spirales, etc.). C’est une façon très efficace de relier l’algèbre et la géométrie dans l’espace, deux domaines essentiels en CPGE scientifique.
Attention à ne pas confondre ! Diagonaliser un endomorphisme, c’est trouver une base où la matrice n’a que des éléments diagonaux non nuls. Cela nécessite que le polynôme minimal soit scindé et que les valeurs propres aient des espaces propres supplémentaires qui couvrent tout l’espace. La trigonalisation, elle, est plus faible : il suffit que l’endomorphisme ait un polynôme minimal scindé, mais pas forcément assez d’espaces propres. Savoir faire la différence, c’est déjà avoir un coup d’avance sur le traitement des grandes matrices et la compréhension fine des outils algébriques.
Un polynôme annulateur d’un endomorphisme f, c’est simplement un polynôme non nul dont l’application à f donne l’endomorphisme nul. Ils permettent de caractériser la structure de f, en particulier pour la diagonalisation, la trigonalisation ou l’étude des noyaux et images itérées. Dans le cadre du concours Centrale, manipuler les polynômes annulateurs ou minimaux est indispensable pour gagner en efficacité et éviter les pièges d’exercices qui jouent sur la décomposition spectrale.
Un endomorphisme antisymétrique f d’un espace euclidien E vérifie f* + f = 0, où f* désigne l’adjoint. Géométriquement, cela conduit souvent à des rotations ou à des symétries dans l’espace. Pour des dimensions faibles (par exemple 2 ou 3), ces endomorphismes sont très liés à la géométrie — par exemple, les trajectoires sous f sont souvent des cercles ou des sphères, avec une norme qui reste constante. C’est une des plus belles jonctions entre l’algèbre et la géométrie, à bien maîtriser pour les oraux comme pour l’écrit !
Parce que les espaces euclidiens, avec leur scalaire et leur structure géométrique, permettent des raisonnements puissants sur la stabilité, l’orthogonalité, les projections et la décomposition canonique. La somme directe est un outil incontournable pour découper l’étude d’un endomorphisme et isoler les parties intéressantes (noyau, image, sous-espaces invariants). Ces outils rendent l’étude des endomorphismes beaucoup plus accessible lors des concours exigeants comme Centrale PSI.
Prépa Booster te propose d’accéder à l’intégralité des corrigés d’annales, rédigés par des profs de prépa experts, ainsi qu’à des exercices corrigés et un dashboard pour suivre tes performances. Cela te permet d’identifier rapidement les notions à approfondir, de retravailler les points faibles et de faire la différence face à la concurrence le jour J. Pour voir le détail des corrigés, débloque-les dès maintenant !