Questions du sujet
1. I.A.1) Cas $n = 2$.\\ Résoudre par cette méthode le système $(S_2)$.\\ On remarquera en particulier que les pivots successifs valent :\\ $p_0 = 2$ ; $p_1 = \frac{7}{2}$ ; $p_2 = \frac{12}{7}$.} 2. I.A.2) On revient au cas général.\\ a) Écrire une procédure de résolution du système $A_{n+1}X = B$, suivant l’algorithme du pivot de Gauss sans échange de lignes.\\ b) On note $(p_0, p_1, \dots, p_n)$ la suite des pivots. Vérifier que :\\ $p_0 = 2$\\ $\forall k \in \{0, \dots, n-2\},\quad p_{k+1} = 4 – \frac{1}{p_k}$\\ $p_n = 2 – \frac{1}{p_{n-1}}$\\ c) Étudier la suite définie par :\\ $u_0 = 2$\\ $\forall n,\quad u_{n+1} = 4 – \frac{1}{u_n}$\\ d) En déduire que $\forall k \in \{0, \dots, n\},\ 2 \leq p_k \leq 3$ et que $A_{n+1}$ est inversible.} 3. I.B.1) On pose $a_0 = 1$, $a_1 = 2$, et pour tout $n \geq 2$, \\ $a_n = 4a_{n-1} – a_{n-2}$. Montrer que la suite $(a_n)_{n \geq 0}$ vérifie une relation de récurrence simple ; en déduire $a_2$ puis $a_3$ et $a_4$.} 4. I.B.2) En déduire que $A_n$ est inversible.} 5. I.B.3) Calculer explicitement les valeurs propres de $A_3$ et $C_3$.} 6. I.B.4) Localisation des valeurs propres. \\ a) Soit un réel $\lambda$ tel que : $\lambda > \alpha_1 – 1$ et, $\forall k \in \{2, 3, \dots, n-1\},\ \lambda > \alpha_k – 2$.\\ Montrer qu’alors $M_n[\alpha_1, \dots, \alpha_n] – \lambda I$ est inversible.\\ b) En déduire que les valeurs propres de $M_n[\alpha_1, \dots, \alpha_n]$ appartiennent à la réunion des intervalles $[\alpha_1-1, \alpha_1+1] \cup \bigcup_{k=2}^{n-1} [\alpha_k-2, \alpha_k+2] \cup [\alpha_n-1, \alpha_n+1]$. En particulier, $A_n,\ B_n,\ C_n$ sont inversibles.} 7. II.A – Montrer que l’application : \\ \[ \begin{array}{rcl} S & \longrightarrow & \mathbb{R}^{n+3} \\ s & \longmapsto & (s(0),\ s'(0),\ s”(0),\ldots,s”(1)) \end{array} \] est un isomorphisme d’espace vectoriel.\\ On rappelle que, si $sd^{(3)}(x_0^+)$ désigne la dérivée à droite d’ordre 3 en $x_0$.\\ Quelle est la dimension de l’espace vectoriel $S$\,?} 8. II.B.1) Soit $(f, m_0, \ldots, m_n) \in C^1([0,1]) \times \mathbb{R}^{n+1}$.\\ a) Montrer qu’il existe une unique fonction $g$ définie sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ vérifiant :\\ (i) la restriction de $g$ à $[x_{i-1},x_i]$ est polynomiale de degré $3$,\\ (ii) $g^{\prime\prime}(x_0) = m_0$, $g^{\prime\prime}(x_n) = m_n$,\\ (iii) $\forall i \in \{1,\dots,n-1\}$, $\lim_{x \to x_i^-} g^{\prime\prime}(x) = m_i = \lim_{x\to x_i^+} g^{\prime\prime}(x)$.} 9. II.B.1) b) Établir que pour $i \in \{1, \dots, n\}$ et $x \in [x_{i-1}, x_i]$ on a :\\ \[ g(x) = u_i (x-x_{i-1})^3 + v_i (x_i-x)^3 + m_{i-1} \frac{(x-x_{i-1})^3}{6h} + m_i \frac{(x_i-x)^3}{6h} + f(x_{i-1}) \frac{x_i-x}{h} + f(x_i) \frac{x-x_{i-1}}{h} \] où $u_i$ et $v_i$ sont des réels que l’on exprimera en fonction de $h$, $f(x_{i-1})$, $f(x_i)$, $m_{i-1}$ et $m_i$.} 10. II.B.2) Montrer que : \\ \[ A_{n+1} M = B \] où $A_{n+1} = M_{n+1}[2, 4, \dots, 4, 2]$, et $B$ est une matrice colonne dépendant des $f(x_i)$, $f'(0)$ et $f'(1)$.} 11. II.B.3) En déduire qu’il existe une et une seule fonction spline cubique $g$ vérifiant les conditions : \[ \forall i \in \{0,\dots,n\},\quad g(x_i) = f(x_i)\ {\rm ;}\quad g'(0) = f'(0)\ {\rm ;}\quad g'(1) = f'(1) \] } 12. II.B.4) Retrouver la valeur de la dimension de $S$.} 13. II.C.1) Soit $f$ une fonction de classe $C^1([0,1])$. Montrer qu’il existe une unique fonction polynomiale $h$, de degré $n+2$, telle que : \[ \left\{ \begin{array}{l} \forall i \in \{0,\dots,n\},\ h(x_i) = f(x_i) \\ h'(0) = f'(0) \\ h'(1) = f'(1) \end{array} \right. \] } 14. II.C.2) On peut montrer, et on admettra ici que, si $f$ est de classe $C^{n+3}([0,1])$ : \[ \|f-h\|_\infty \leq \frac{|f^{(n+3)}|_\infty}{(n+3)!} M_n \] où $M_n = \displaystyle\sup_{x\in[0,1]} |(x-x_0)\cdots(x-x_n)(x-1)|$.\\ Comparer les deux méthodes d’approximation précédentes (splines cubiques et Lagrange-Sylvester) du double point de vue de la simplicité et de la précision, d’abord pour $n = 1$, puis pour $n \geq 2$.} 15. III.A.1) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire euclidien sur $E$. On notera $\|P\|_2$ la norme du polynôme $P$ associée au produit scalaire précédent.} 16. III.A.2) Montrer qu’il existe une unique famille $(L_0, L_1, \dots, L_n)$ telle que : \[ (L_i, L_j) = \delta_{i,j} \] où la fonction $\delta_{i,j}$ désigne le symbole de Kronecker : \[ \delta_{i,j} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{array} \right. \] Vérifier que la famille $(L_0, \dots, L_n)$ est une base orthonormée de $E$. Elle sera notée $\mathcal{B}$. Que peut-on dire du degré du polynôme~$L_i$~?} 17. III.A.3) Déterminer les coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ d’un vecteur de $E$ orthogonal (au sens du produit scalaire précédemment défini) à l’hyperplan $H$ de $E$ formé des polynômes de degré $\leq n-1$.\\ Si $P \in E$, on note $d(P,H)$ la distance du polynôme $P$ à l’hyperplan $H$. Montrer que $d(X^n,H) = n! L_n(0,H)$.} 18. III.A.4) En remarquant que $$(1+X)^{2n} = \sum_{p=0}^{n} \binom{2n}{p} X^p$$, exprimer $d(X^n,H)$ à l’aide d’un seul coefficient binômial.} 19. III.A.5) En déduire la valeur de $d(X^n,H)$.} 20. III.B.1) Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.} 21. III.B.2) Exprimer $\varphi(L_i)$ en fonction de $L_i$. En déduire que $\varphi$ est un endomorphisme autoadjoint de $E$.} 22. III.B.3) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $M_0$ pour que $\varphi$ soit un automorphisme orthogonal de $E$. Quelle est alors sa nature géométrique ?} 23. III.B.4) On note $B_E(0,1) = \{P \in E ; \|P\|_2 \leq 1\}$.\\ Exprimer $\displaystyle\min_{P \in B_E(0,1)} \|\varphi(P)\|_2$ et $\displaystyle\max_{P \in B_E(0,1)} \|\varphi(P)\|_2$ à l’aide des $M_0(i)$. }FAQ
Pour réussir ton épreuve de maths en PSI, il est essentiel de bien connaître la méthode du pivot de Gauss, y compris sans échange de lignes. Cette technique intervient très régulièrement, que ce soit pour prouver l’inversibilité des matrices ou pour résoudre des systèmes triangulaires. Maîtriser la notion de pivots successifs, l’écriture des processus récursifs, et l’impact de la structure particulière des matrices (comme les matrices tridiagonales ou symétriques) est indispensable.
Les suites définies par récurrence, en particulier celles issues de méthodes matricielles ou d’algorithmes de résolution, sont omniprésentes dans ce type de sujet. Il faut savoir détecter si la suite converge, rester attentif à l’encadrement des termes, et exploiter les propriétés de monotonie ou de bornes. En général, tu dois savoir prouver la positivité, l’encadrement et la convergence de suites, ce qui te servira aussi bien sur les matrices que sur les splines ou polynômes.
Les matrices tridiagonales interviennent dès que l’on traite des suites de récurrence d’ordre 2 ou des modèles liés à la discrétisation, typiquement en spline ou en physique mathématique. Elles sont bien adaptées à la factorisation LU, l’étude de l’inversibilité et aux calculs de valeurs propres. Pour s’y préparer, travaille la structure des matrices de type $A_n$, $B_n$, ou $C_n$ rencontrées dans ce sujet, et entraîne-toi à écrire et analyser leur déterminant, leurs valeurs propres et à appliquer la méthode du pivot de Gauss. Pour approfondir ces techniques avec des exercices corrigés étape par étape, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
La méthode des splines cubiques permet d’interpoler une fonction en la remplaçant localement sur chaque intervalle par un polynôme de degré 3, tout en imposant la continuité de la fonction et de ses dérivées jusqu’au second ordre. C’est une technique centrale en analyse numérique pour obtenir des approximations lisses de fonctions et résoudre des problèmes d’interpolation, contrairement à l’interpolation polynomiale globale qui devient instable pour des degrés élevés. Prends bien soin de comprendre la construction des splines, l’écriture des conditions aux bornes, et l’importance des conditions de régularité imposées.
L’interpolation par splines cubiques consiste à coller des polynômes de degré 3 en chaque sous-intervalle, assurant la régularité jusqu’à la dérivée seconde. La méthode de Lagrange (ou de Lagrange-Sylvester) utilise un unique polynôme global d’interpolation. Celle-ci est plus simple à écrire pour un petit nombre de points mais devient instable numériquement pour de grands $n$ (phénomène de Runge). Les splines offrent en général une meilleure précision et une stabilité numérique bien supérieure, tout en évitant les oscillations indésirables.
Savoir déterminer la dimension des espaces d’interpolation ou des espaces de splines est fondamental car cela permet de vérifier l’existence et l’unicité des solutions des problèmes posés, que ce soit pour obtenir des polynômes interpolateurs ou des splines. La dimension te renseigne, par exemple, sur le nombre de conditions nécessaires (valeurs et dérivées imposées) pour caractériser complètement la solution.
La base de Lagrange forme une famille orthonormée pour un produit scalaire défini sur l’espace des polynômes. Savoir exprimer un polynôme dans cette base facilite énormément les calculs de projection, d’orthogonalité ou de distances à un hyperplan. C’est une compétence précieuse, que ce soit en interpolation polynomiale ou pour étudier la stabilité et l’efficacité numérique. Pour voir les calculs détaillés sur ces questions, notamment la construction des bases et l’application à l’orthogonalité d’un polynôme à un hyperplan, n’hésite pas à débloquer les corrigés Prépa Booster.
Il y a plusieurs approches classiques : montrer que le déterminant est non nul, exploiter la forme tridiagonale pour construire une récurrence, utiliser des arguments sur les valeurs propres (par localisation ou encadrement), ou encore tirer profit de la structure spéciale (symétrie, diagonale dominante, etc.). Maîtriser ces techniques générales et savoir comment les adapter à la matrice donnée dans le problème est crucial. Profite des corrigés pas à pas pour t’entraîner sur ce type de démonstrations !
Commence par repérer les questions classiques autour des matrices, des espaces vectoriels et des suites, puis cible les points sur l’analyse numérique (splines, interpolation). Chronomètre bien ton temps, privilégie la rigueur sur les propriétés structurelles (dimension, bases, orthogonalité), et n’hésite pas à écrire proprement tes raisonnements intermédiaires. Pour te préparer efficacement, tu trouveras sur Prépa Booster tous les corrigés des épreuves écrites ainsi qu’un dashboard pour suivre et cibler tes révisions.