Questions du sujet
1. On suppose, dans cette question, que $X(\Omega)$ est un ensemble fini de cardinal $r \in \mathbb{N}^*$. On note $X(\Omega) = \{x_1, \ldots, x_r\}$ où les $x_i$ sont deux à deux distincts, et, pour tout entier $k \in \llbracket 1, r \rrbracket$, $a_k = \mathbb{P}(X = x_k)$. Montrer que, pour tout réel $t$, $\varphi_X(t) = \sum_{k=1}^r a_k e^{itx_k}$.
2. On suppose dans cette question que $X(\Omega)$ est un ensemble dénombrable. On note $X(\Omega) = \{x_n, n \in \mathbb{N}\}$ où les $x_n$ sont deux à deux distincts. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $a_n = \mathbb{P}(X = x_n)$. Montrer que $\varphi_X$ est définie sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout réel $t$, $\varphi_X(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n e^{itx_n}$.
3. Montrer que $\varphi_X$ est continue sur $\mathbb{R}$.
4. Soit $a$ et $b$ deux réels et $Y = aX + b$. Pour tout réel $t$, exprimer $\varphi_Y(t)$ en fonction de $\varphi_X$, $t$, $a$ et $b$.
5. Soit $t \in \mathbb{R}$. Donner une expression de $\varphi_X(-t)$ en fonction de $\varphi_X(t)$. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur l’image $\varphi_X(\mathbb{R})$ pour que la fonction $\varphi_X$ soit paire.}
6. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in ]0,1[$. On suppose que $X : \Omega \to \mathbb{R}$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ et on note $q = 1-p$. Montrer que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\varphi_X(t) = (q + p e^{it})^n$.
7. Soit $p \in ]0,1[$. Quelle est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p$ ?
8. Soit $\lambda > 0$. Quelle est la fonction caractéristique d’une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ ?
9. Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\left| \varphi_X(t) \right| \leq 1$.
10. Montrer que, s’il existe $a \in \mathbb{R}$ et $t_0 \in \mathbb{R}^*$ tels que $X(\Omega) \subset a + \frac{2\pi}{t_0} \mathbb{Z}$, alors $|\varphi_X(t_0)| = 1$.}
11. Montrer qu’il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \exp(i(t_0 x_n – t_0 a)) = 1$.
12. En déduire que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (1 – \cos(t_0 x_n – t_0 a)) = 0$.
13. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, si $a_n \neq 0$, alors $x_n \in a + \frac{2\pi}{t_0} \mathbb{Z}$.
14. En déduire que $\mathbb{P}\big( X \in a + \frac{2\pi}{t_0} \mathbb{Z} \big) = 1$.
15. Montrer que, pour tout $T \in \mathbb{R}_+^*$, on a $V_m(T) = \sum_{n=1}^r \mathrm{sinc}(T(x_n – m)) \mathbb{P}(X = x_n)$.}
16. En déduire que $V_m(T) \xrightarrow[T\to+\infty]{} \mathbb{P}(X = m)$.
17. Montrer que pour tout $T \in \mathbb{R}_+^*$, on a $V_m(T) = \sum_{n=0}^{+\infty} g_n(\frac{1}{T})$.
18. Montrer que la fonction $g_n$ se prolonge en une fonction $\tilde{g}$ définie et continue sur $\mathbb{R}_+$.
19. Montrer que la fonction $G = \sum_{n=0}^{+\infty} \tilde{g}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}_+$.
20. Établir que $V_m(T) \xrightarrow[T\to +\infty]{} \mathbb{P}(X = m)$.}
21. Soient $X : \Omega \to \mathbb{R}$ et $Y : \Omega \to \mathbb{R}$ deux variables aléatoires discrètes telles que $\varphi_X = \varphi_Y$. Montrer que, pour tout $m \in \mathbb{R}$, $\mathbb{P}(X = m) = \mathbb{P}(Y = m)$, autrement dit que $X$ et $Y$ ont la même loi.
22. À l’aide de séries entières, montrer que $K_{a,b}$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$.
23. Soit $N$ un entier naturel et soit $F_N$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F_N(x) = \int_{-N}^N K_{a,x}(t)\, \mathrm{d}t$. Montrer que $F_N$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ et que, pour tout réel $x$, $F_N'(x) = N\,\mathrm{sinc}(Nx)$.
24. Montrer que $\int_{-N}^N K_{a,b}(t)\,\mathrm{d}t = \int_{Na}^{Nb} \mathrm{sinc}(s)\, \mathrm{d}s$.
25. Montrer que l’intégrale $\int_0^{+\infty} \mathrm{sinc}(s)\, \mathrm{d}s$ est convergente.}
26. En déduire l’existence et la valeur de $\lim_{N \to +\infty} \int_{-N}^N K_{a,b}(t)\,\mathrm{d}t$ dans le cas où $a < b$. 27. Soit $X : \Omega \to \mathbb{R}$ une variable aléatoire telle que $X(\Omega)$ est fini. On suppose que les réels $a$ et $b$ n’appartiennent pas à $X(\Omega)$. Montrer que $\frac{1}{\pi} \int_{-N}^N \varphi_X(-t) K_{a,b}(t)\, \mathrm{d}t \xrightarrow[N\to+\infty]{} \mathbb{P}(a < X < b)$. 28. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. On suppose dans cette sous-partie III.A que $X$ admet un moment d’ordre $k$. Soit $j$ un entier tel que $1 \leq j \leq k$. Montrer que pour tout réel $x$, $|x|^j \leq 1 + |x|^k$ et en déduire que $X$ admet un moment d’ordre $j$. 29. En déduire que $\varphi_X$ est de classe $C^k$ sur $\mathbb{R}$ et donner une expression de la dérivée $k$-ième de $\varphi_X$. 30. En déduire une expression de $\mathbb{E}(X^k)$ en fonction de $\varphi_X^{(k)}(0)$.} 31. On suppose dans cette sous-partie III.B que $\varphi_X$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$. On note $f$ la fonction qui à tout réel $h>0$ associe $f(h) = \frac{2\varphi_X(0) – \varphi_X(2h) – \varphi_X(-2h)}{4h^2}$. Quelle est la limite de $f$ en $0$ ?
32. Montrer que pour tout $h \in \mathbb{R}^*$, $f(h) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \frac{\sin^2(hx_n)}{h^2}$.
33. En déduire que $X$ admet un moment d’ordre $2$.
34. On fixe dans cette sous-partie III.C un entier naturel $k \in \mathbb{N}$ et on suppose à la fois que $\varphi_X$ est de classe $C^{2k+2}$ sur $\mathbb{R}$ et que $X$ admet un moment d’ordre $2k$. On note $\alpha = \mathbb{E}(X^{2k})$. Que peut-on dire de $X$ si $\alpha$ est nul ?
35. On suppose dorénavant que le réel $\alpha$ est strictement positif. Soit $Y : \Omega \to \mathbb{R}$ une variable aléatoire vérifiant $Y(\Omega) = X(\Omega)$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{P}(Y = x_n) = a_n \frac{x_n^{2k}}{\alpha}$. Montrer que $\varphi_Y$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$.}
36. En déduire que $X$ admet un moment d’ordre $2k+2$.
37. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Déduire des questions précédentes que si $\varphi_X$ est de classe $C^{2k}$ sur $\mathbb{R}$, alors $X$ admet un moment d’ordre $2k$.
38. On suppose que $X(\Omega)$ est fini et on reprend les notations de la question 1. Montrer que $\varphi_X$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $t$, $\varphi_X(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(it)^n}{n!} \mathbb{E}(X^n)$.
39. On suppose que $X(\Omega)$ est dénombrable et on reprend les notations de la question 2. On suppose également que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, $X$ admet un moment d’ordre $n$ et qu’il existe un réel $R > 0$ tel que $\mathbb{E}(|X|^n) = O\left( \frac{n^n}{R^n} \right)$ quand $n \to +\infty$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $y \in \mathbb{R}$, $\left| e^{iy} – \sum_{k=0}^n \frac{(iy)^k}{k!} \right| \leq |y|^{n+1}(n+1)! $.
40. En déduire que pour tout réel $t \in \left[ -\frac{R}{e}, \frac{R}{e} \right]$, $\varphi_X(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(it)^k}{k!} \mathbb{E}(X^k)$.}