Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que l’ensemble $E_c$ est non vide. 2. I.A.2) L’ensemble $E_c$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ? 3. I.A.3) Montrer que $E_c$ est strictement inclus dans $E$. 4. I.A.4) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un élément de $E_c$. Montrer que $\ell_c$ appartient au segment $[0, 1]$. 5. I.B.1) Soit $k$ un entier strictement positif et $q$ un réel appartenant à l’intervalle $]0, 1[$. Montrer que les suites $\left(\frac{1}{(n+1)^k}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, $\left(n^k q^n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ et $\left(\frac{1}{n!}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ appartiennent à $E_c$ et donner leur vitesse de convergence.} 6. I.B.2) On considère la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N},\ v_n = \left(1 + \frac{1}{2^n}\right)^{2^n}$. \\ a) Montrer qu’au voisinage de $+\infty$, $v_n = e – \frac{e}{2^{n+1}} + o\left(\frac{1}{2^n}\right)$.\\ b) Montrer que la suite $(v_n)$ appartient à $E_c$ et donner sa vitesse de convergence. 7. I.B.3) On considère la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $I_0 = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ I_n = \int_0^{+\infty} \ln(1 + x^n) e^{-x}\, dx$.\\ a) Montrer que la suite $(I_n)$ est bien définie et appartient à $E$.\\ b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que la suite $(I_n)$ appartient à $E_c$ et donner sa vitesse de convergence. 8. I.B.4) Soit $\alpha$ un réel strictement supérieur à 1. La série de Riemann $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{\alpha}}$ converge vers un réel que l’on notera $\ell$. On note $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par $S_0 = 0$ et $\forall n \geq 1,\ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\alpha}}$.\\ a) Montrer que $\forall n \geq 1,\ \frac{1}{\alpha – 1}\cdot \frac{1}{(n+1)^{\alpha – 1}} \leq \ell – S_n \leq \frac{1}{\alpha – 1}\cdot \frac{1}{n^{\alpha-1}}$.\\ b) En déduire que $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ appartient à $E_c$ et donner sa vitesse de convergence. 9. I.C.1) Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un élément de $E$ dont la vitesse de convergence est d’ordre $r$, où $r$ est un réel strictement supérieur à 1. Montrer que la convergence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est rapide. 10. I.C.2)\\ a) Montrer que la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $\forall n \in \mathbb{N},\ S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ est un élément de $E$. On note $s$ la limite de cette suite.\\ b) Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\frac{1}{(n+1)!} \leq s – S_n \leq \frac{1}{(n+1)!} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k}$.\\ c) En déduire que la convergence de la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est rapide.\\ d) Soit $r$ un réel strictement supérieur à 1. Montrer que la convergence de la suite $(S_n)_{n \in \mathbb{N}}$ vers $s$ n’est pas d’ordre $r$.} 11. I.C.3) On considère $I$ un intervalle réel de longueur strictement positive, $f$ une application définie sur $I$ à valeurs dans $I$ et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite définie par $u_0 \in I$ et $\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers un élément $\ell$ de $I$ et que $f$ est dérivable en $\ell$.\\ a) Montrer que $f(\ell) = \ell$.\\ b) Montrer que si la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n’est pas stationnaire alors elle appartient à $E_c$. Donner sa vitesse de convergence en fonction de $f'(\ell)$.\\ c) Montrer que si $|f'(\ell)| > 1$, alors $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est stationnaire.\\ d) Soit $r$ un entier supérieur ou égal à $2$. On suppose que la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^r$ sur $I$ et que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ n’est pas stationnaire. Montrer que la vitesse de convergence de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est d’ordre $r$ si et seulement si $\forall k \in \{1, 2, \ldots, r-1\},\ f^{(k)}(\ell) = 0$. 12. II.A.1)\\ a) Donner le développement en série entière de la fonction cosinus hyperbolique et celui de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $t \mapsto e^{t^2/2}$. On donnera le rayon de convergence de ces deux séries entières.\\ b) En déduire que $\forall t \in \mathbb{R},\ \cosh(t) \leq e^{t^2/2}$. 13. II.A.2) Soit $a$ et $b$ deux réels vérifiant $a < b$. Montrer que $\forall \lambda \in [0,1],\ e^{\lambda a + (1-\lambda) b} \leq \lambda e^{a} + (1-\lambda) e^{b}$. 14. II.A.3) Soit $f$ une fonction à valeurs réelles, définie et continue sur $\mathbb{R}_+$, et admettant une limite finie en $+\infty$.\\ a) Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.\\ b) En déduire que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par $\forall t \in \mathbb{R}_+,\ g(t) = t e^{\gamma t}$ où $\gamma$ est un réel strictement négatif, est bornée sur $\mathbb{R}_+$. 15. II.B.1) Soit $\alpha$ un réel strictement positif et $X$ une variable aléatoire discrète admettant un moment exponentiel d’ordre $\alpha$. Montrer que la variable aléatoire $e^{\alpha X}$ admet une espérance finie.} 16. II.B.2) Pour chacune des variables aléatoires réelles suivantes, déterminer les réels $\alpha$ strictement positifs tels que la variable aléatoire admette un moment exponentiel d’ordre $\alpha$ et calculer $\mathbb{E}(e^{\alpha X})$ dans ce cas.\\ a) $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.\\ b) $Y$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p$, où $p$ est un réel strictement compris entre 0 et 1.\\ c) $Z$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$, où $n$ est un entier strictement positif et $p$ est un réel strictement compris entre 0 et 1. 17. II.C.1)\\ a) Montrer que la variable $X$ admet une espérance finie. On notera $m$ l’espérance de $X$.\\ b) Appliquer, avec les justifications utiles, la loi faible des grands nombres pour la suite de variables aléatoires $(X_k)$. 18. II.C.2)\\ a) Montrer que la fonction $\Psi : t \mapsto \mathbb{E}(e^{tX})$ est définie et continue sur le segment $[-\alpha, \alpha]$.\\ b) Montrer que la fonction $\Psi$ est dérivable sur l’intervalle $]-\alpha, \alpha[$ et déterminer sa fonction dérivée. 19. II.C.3) On considère l’application $f_{\varepsilon}$ définie par \[ f_{\varepsilon}: \begin{cases} [-\alpha,\alpha] \rightarrow \mathbb{R}_+ \\ t \mapsto e^{-(m + \varepsilon)t} \Psi(t) \end{cases} \] a) Donner les valeurs de $f_{\varepsilon}(0)$ et $f_{\varepsilon}'(0)$.\\ b) En déduire qu’il existe un réel $t_0$ appartenant à l’intervalle $]0, \alpha[$ vérifiant $0 < f_{\varepsilon}(t_0) < 1$. 20. II.C.4) Montrer que pour tout réel $t$ appartenant au segment $[-\alpha, \alpha]$ et tout $n$ appartenant à $\mathbb{N}^*$, la variable aléatoire réelle $e^{tS_n}$ admet une espérance égale à $(\Psi(t))^n$.} 21. II.C.5)\\ a) Soit $t$ un réel appartenant à l’intervalle $]0, \alpha]$ et soit $n$ appartenant à $\mathbb{N}^*$. Montrer que $\mathbb{P}\left(\frac{S_n}{n} \geq m + \varepsilon \right) = \mathbb{P}\left(e^{tS_n} \geq (e^{t(m + \varepsilon)})^n \right)$, puis que $\mathbb{P}\left(\frac{S_n}{n} \geq m + \varepsilon \right) \leq (f_{\varepsilon}(t))^n$.\\ b) En déduire qu’il existe un réel $r$ appartenant à l’intervalle $]0, 1[$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}\left(\frac{S_n}{n} \geq m + \varepsilon \right) \leq r^n$. 22. II.C.6) Montrer que la suite définie par : $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(|\frac{S_n}{n} - m| \geq \varepsilon)$ est majorée par une suite de limite nulle et dont la vitesse de convergence est géométrique. Comparer ce résultat à la majoration obtenue avec la loi faible des grands nombres. 23. II.D.1) Montrer que la variable aléatoire $X$ admet un moment exponentiel d’ordre $\alpha$ pour tout réel $\alpha$ strictement positif. 24. II.D.2) On considère $Y$ la variable aléatoire réelle définie par $Y = \frac{1}{2} - \frac{X}{2c}$.\\ a) Vérifier que $X = -cY + (1-Y)c$.\\ b) Montrer que $e^X \leq Y e^{-c} + (1-Y)e^{c}$. 25. II.D.3)\\ a) Montrer que $\mathbb{E}(e^X) \leq \cosh(c)$.\\ b) En déduire que $\forall t \in \mathbb{R}_+^*,\ \Psi(t) \leq \cosh(ct)$.} 26. II.D.4) Montrer que $\forall t \in \mathbb{R}_+^*,\ f_{\varepsilon}(t) \leq \exp(-t\varepsilon + \frac{1}{2}c^2 t^2)$. 27. II.D.5) Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{P}(|\frac{S_n}{n}| \geq \varepsilon) \leq 2 \exp\left(-\frac{n \varepsilon^2}{2c^2}\right)$. 28. II.D.6) Soit $n$ un entier naturel non nul, $p$ un élément de l’intervalle $]0, 1[$ et $Z$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $(n, p)$.\\ À l’aide de la question précédente, majorer $\mathbb{P}\left(|\frac{Z}{n} - p| \geq \varepsilon\right)$ en fonction de $n, p$ et $\varepsilon$.}FAQ
Pour montrer que \( E_c \) est non vide, il suffit d’exhiber une suite convergente vers une limite \( \ell_c \) dans \([0,1]\). Par exemple, la suite constante \( u_n = \frac{1}{2} \) pour tout \( n \) appartient clairement à \( E_c \) avec \( \ell_c = \frac{1}{2} \).
\( E_c \) n’est pas un sous-espace vectoriel car il n’est pas stable par combinaison linéaire. Par exemple, si tu prends deux suites \( u_n \) et \( v_n \) de \( E_c \) avec des limites différentes, leur somme pourrait ne pas converger vers une limite dans \([0,1]\), ce qui violerait la définition de \( E_c \).
Pour montrer cette inclusion stricte, tu peux exhiber une suite dans \( E \) qui ne converge pas vers une limite dans \([0,1]\). Par exemple, la suite \( u_n = 1 + \frac{1}{n} \) converge vers \( 1 \), mais sa limite n’est pas dans \([0,1[\). Elle appartient donc à \( E \) mais pas à \( E_c \).
Si \( (u_n) \) est dans \( E_c \), elle converge vers \( \ell_c \) et vérifie \( 0 \leq u_n \leq 1 \) pour tout \( n \). Par passage à la limite, on obtient \( 0 \leq \ell_c \leq 1 \), ce qui prouve que \( \ell_c \) est bien dans \([0,1]\).
La suite \( \frac{1}{(n+1)^k} \) a une vitesse de convergence polynomiale d’ordre \( k \), tandis que \( n^k q^n \) a une vitesse de convergence exponentielle. La suite \( \frac{1}{n!} \) converge plus rapidement que toute suite exponentielle, ce qui en fait un exemple de convergence super-exponentielle.
En utilisant un développement limité, on montre que \( v_n = e – \frac{e}{2^{n+1}} + o\left(\frac{1}{2^n}\right) \). Cela prouve que \( v_n \) converge vers \( e \) avec une vitesse de convergence exponentielle.
On commence par prouver que \( I_n \) est bien définie en montrant la convergence de l’intégrale. Ensuite, une intégration par parties permet d’établir une relation de récurrence et de montrer que \( I_n \) converge vers une limite dans \([0,1]\) avec une vitesse de convergence polynomiale.
Pour une série de Riemann \( \sum \frac{1}{n^{\alpha}} \) avec \( \alpha > 1 \), on utilise une comparaison intégrale pour obtenir l’encadrement \( \frac{1}{\alpha – 1} \cdot \frac{1}{(n+1)^{\alpha – 1}} \leq \ell – S_n \leq \frac{1}{\alpha – 1} \cdot \frac{1}{n^{\alpha – 1}} \). Cela montre que \( S_n \) converge vers \( \ell \) avec une vitesse polynomiale.
Une suite \( (u_n) \) a une convergence rapide si pour tout \( r > 1 \), il existe une suite \( (v_n) \) telle que \( |u_n – \ell| \leq v_n \) et \( \sum v_n \) converge. C’est une notion plus forte que la convergence simple, souvent liée à des vitesses de convergence exponentielles ou super-exponentielles.
On montre d’abord que \( S_n \) converge vers \( e \) en utilisant le reste de la série exponentielle. Ensuite, on encadre \( e – S_n \) par \( \frac{1}{(n+1)!} \) et \( \frac{1}{(n+1)!} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \), ce qui prouve que la convergence est plus rapide que toute suite géométrique, donc rapide.
Si \( f \) est dérivable en \( \ell \) et \( |f'(\ell)| < 1 \), la suite converge linéairement vers \( \ell \) avec une vitesse de convergence donnée par \( |f'(\ell)| \). Si \( f^{(k)}(\ell) = 0 \) pour \( k = 1, \ldots, r-1 \), la convergence est d’ordre \( r \), ce qui signifie que \( |u_n - \ell| \) est dominé par \( C |u_{n-1} - \ell|^r \).
En utilisant les développements en série entière de \( \cosh(t) \) et \( e^{t^2/2} \), on montre que \( \cosh(t) \leq e^{t^2/2} \) pour tout \( t \in \mathbb{R} \). Cela découle du fait que les coefficients de la série de \( \cosh(t) \) sont dominés par ceux de \( e^{t^2/2} \).
Cette inégalité est une conséquence de la convexité de la fonction exponentielle. Comme \( t \mapsto e^t \) est convexe, elle vérifie l’inégalité de Jensen, ce qui donne directement le résultat pour tout \( \lambda \in [0,1] \).
Si \( f \) est continue sur \( \mathbb{R}_+ \) et admet une limite finie \( L \) en \( +\infty \), alors \( f \) est bornée sur tout intervalle \([0, A]\) par continuité sur un compact, et au-delà de \( A \), \( f \) est proche de \( L \), donc bornée. Ainsi, \( f \) est bornée sur \( \mathbb{R}_+ \).
Une variable aléatoire \( X \) admet un moment exponentiel d’ordre \( \alpha \) si \( \mathbb{E}(e^{\alpha X}) \) est finie. Cela signifie que la queue de distribution de \( X \) décroît suffisamment vite pour que cette espérance existe.
Si \( X \) suit une loi de Poisson de paramètre \( \lambda \), alors \( \mathbb{E}(e^{\alpha X}) = e^{\lambda (e^{\alpha} – 1)} \). Ce résultat découle de la formule de l’espérance d’une fonction d’une variable aléatoire discrète.
La loi faible des grands nombres stipule que si \( (X_k) \) est une suite de variables aléatoires i.i.d. avec espérance \( m \), alors \( \frac{S_n}{n} \) converge en probabilité vers \( m \). Pour l’appliquer, il suffit de vérifier les hypothèses d’indépendance, d’identique distribution et d’existence de l’espérance.
En utilisant l’inégalité de Markov exponentielle, on montre que \( \mathbb{P}\left(\frac{S_n}{n} \geq m + \varepsilon\right) \leq (f_{\varepsilon}(t))^n \) pour un certain \( t > 0 \), où \( f_{\varepsilon}(t) = e^{-t(m + \varepsilon)} \mathbb{E}(e^{tX}) \). Cela permet d’obtenir une majoration géométrique.
Cette majoration est obtenue en utilisant l’inégalité de Hoeffding ou des techniques similaires, en supposant que \( X \) est bornée. On utilise la convexité de l’exponentielle et des développements limités pour aboutir à une décroissance exponentielle de la probabilité.
Pour une variable binomiale \( Z \) de paramètres \( n \) et \( p \), on peut utiliser l’inégalité de Hoeffding ou des résultats similaires pour obtenir une majoration exponentielle en \( \exp(-C n \varepsilon^2) \), où \( C \) est une constante dépendant de \( p \).