Questions du sujet
1. I.A.1) Pour un polynôme non nul $P \in \mathbb{R}_n[X]$, exprimer $\deg(\tau(P))$ et $cd(\tau(P))$ à l’aide de $\deg(P)$ et $cd(P)$. 2. I.A.2) Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$. Pour $k \in \mathbb{N}$, donner l’expression de $\tau^k(P)$ en fonction de $P$. 3. I.A.3) Donner la matrice $M = (M_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n+1}$ de $\tau$ dans la base $(P_j)_{j \in \llbracket 1, n+1 \rrbracket}$. On exprimera les coefficients $M_{i,j}$ en fonction de $i$ et $j$. 4. I.A.4) Préciser l’ensemble des valeurs propres de $\tau$. L’application $\tau$ est-elle diagonalisable ? 5. I.A.5) L’application $\tau$ est-elle bijective ? Si oui, préciser $\tau^{-1}$. L’expression de $\tau^k$ trouvée à la question I.A.2 pour $k \in \mathbb{N}$ est-elle valable pour $k \in \mathbb{Z}$ ?} 6. I.A.6) Que vaut $M^{-1}$ ? Exprimer les coefficients $(M^{-1})_{i,j}$ en fonction de $i$ et $j$. 7. I.A.7) On se donne une suite réelle $(u_j)_{j \in \mathbb{N}}$ et on définit pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ \[ v_j = \sum_{i=0}^j \binom{j}{i} u_i \tag{I.1} \] Déterminer une matrice $Q \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ telle que \[ \begin{pmatrix} v_0\\ v_1\\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\\ \vdots\\ u_n \end{pmatrix} \] 8. I.A.8) En déduire la formule d’inversion : pour tout entier $k \in \mathbb{N}$, \[ u_j = \sum_{i=0}^j (-1)^{j-i} \binom{j}{i} v_i \tag{I.2} \] 9. I.A.9) On considère un réel $\lambda$ et la suite $(u_j = \lambda^j)_{j \in \mathbb{N}}$. Quelle est la suite $(v_j)_{j \in \mathbb{N}}$ définie par la formule (I.1) ? Vérifier alors la formule (I.2). 10. I.B.1) Pour un polynôme non constant $P \in \mathbb{R}_n[X]$, exprimer $\deg(\delta(P))$ et $cd(\delta(P))$ à l’aide de $\deg(P)$ et $cd(P)$.} 11. I.B.2) En déduire le noyau $\ker(\delta)$ et l’image $\operatorname{Im}(\delta)$ de l’endomorphisme $\delta$. 12. I.B.3) Plus généralement, pour $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, montrer les égalités suivantes : \[ \ker(\delta^k) = \mathbb{R}_{k-1}[X] \quad \text{et} \quad \operatorname{Im}(\delta^k) = \mathbb{R}_{n-k}[X] \tag{I.3} \] 13. I.B.4) Pour $k \in \mathbb{N}$ et $P \in \mathbb{R}_n[X]$, exprimer $\delta^k(P)$ en fonction des $\tau^j(P)$ pour $j \in \llbracket 0, k \rrbracket$. 14. I.B.5) Soit $P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$. Montrer que \[ \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \binom{n}{j} P(j) = 0 \tag{I.4} \] 15. I.B.6) Dans cette question, on se propose de montrer qu’il n’existe pas d’application linéaire $u : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ telle que $u \circ u = \delta$. On suppose, par l’absurde, qu’une telle application $u$ existe. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que $u$ et $\delta^2$ commutent. \item[b)] En déduire que $\mathbb{R}_1[X]$ est stable par l’application $u$. \item[c)] Montrer qu’il n’existe pas de matrice $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. \item[d)] Conclure. \end{itemize} } 16. I.B.7) Dans cette question, on cherche tous les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}_n[X]$ stables par l’application $\delta$. \begin{itemize} \item[a)] Pour un polynôme non nul $P$ de degré $d \leq n$, montrer que la famille $(P, \delta(P), \ldots, \delta^d(P))$ est libre. Quel est l’espace vectoriel engendré par cette famille ? \item[b)] En déduire que si $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_n[X]$ stable par $\delta$ et non réduit à $\{0\}$, il existe un entier $d \in \llbracket 0, n \rrbracket$ tel que $V = \mathbb{R}_d[X]$. \end{itemize} 17. II.A.1) Que vaut $S(p, n)$ pour $p < n$ ? 18. II.A.2) Déterminer $S(n, n)$. 19. II.A.3) Déterminer $S(n+1, n)$. 20. II.B.1) Combien y a-t-il d’applications de $\llbracket 1, p \rrbracket$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$ ?} 21. II.B.2) Pour $p \geq n$, établir la formule \[ n^p = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} S(p, k) \tag{II.1} \] où $S(p, 0) = 0$ par convention. 22. II.B.3) En déduire une expression de $S(p, n)$ pour $p \geq n$. 23. II.B.4) En relisant la question I.B.5, commenter la cohérence de cette expression pour $p < n$. 24. II.C) Simplifier autant que possible les expressions suivantes : \[ \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} k^n \quad \text{et} \quad \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} k^{n+1} \] 25. III.A.1) Montrer que la famille $(H_k)_{k \in \llbracket 0, n \rrbracket}$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.} 26. III.A.2) Calculer $\delta(H_0)$ et, pour $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, exprimer $\delta(H_k)$ à l’aide de $H_{k-1}$. 27. III.A.3) La matrice $M$ définie à la question I.A.3 et la matrice $M'$ de taille $n+1$ donnée par \[ M' = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] sont-elles semblables ? 28. III.A.4) Montrer que, pour $k, \ell \in \llbracket 0, n \rrbracket$, \[ \delta^k(H_\ell)(0) = \begin{cases} 1 & \text{si } k = \ell \\ 0 & \text{si } k \neq \ell\end{cases} \] 29. III.A.5) Montrer que, pour tout $P \in \mathbb{R}_n[X]$, \[ P = \sum_{k=0}^n (\delta^k(P))(0) H_k \] 30. III.B.1) Donner les coordonnées du polynôme $X^3 + 2X^2 + 5X + 7$ dans la base $(H_0, H_1, H_2, H_3)$ de $\mathbb{R}_3[X]$.} 31. III.B.2) En déduire un polynôme $P \in \mathbb{R}_5[X]$ tel que \[ \delta^2(P) = X^3 + 2X^2 + 5X + 7 \] 32. III.B.3) Déterminer les suites réelles $(u_k)_{k \in \mathbb{N}}$ telles que \[ u_{k+2} - 2u_{k+1} + u_k = k^3 + 2k^2 + 5k + 7 \quad (k \in \mathbb{N}) \] 33. III.C.1) Soit $k \in \mathbb{Z}$. Calculer $H_n(k)$. On distinguera trois cas : $k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$, $k \geq n$ et $k < 0$. Pour ce dernier cas, on posera $k = -p$. 34. III.C.2) En déduire que $H_n(\mathbb{Z}) \subset \mathbb{Z}$, c’est-à-dire que $H_n$ est à valeurs entières sur les entiers. 35. III.C.3) Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$ à valeurs entières sur les entiers. Montrer que $\delta(P)$ est aussi à valeurs entières sur les entiers.} 36. III.C.4) Montrer que $P \in \mathbb{R}_n[X]$ est à valeurs entières sur les entiers si et seulement si ses coordonnées dans la base $(H_k)_{k \in \llbracket 0, n \rrbracket}$ sont entières. 37. III.C.5) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $d \in \mathbb{N}$. Montrer que si $P$ est à valeurs entières sur les entiers alors $d!P$ est un polynôme à coefficients entiers. Étudier la réciproque. 38. IV.A.1) Montrer que $\delta(f)$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$. Comparer $(\delta(f))'$ et $\delta(f')$. 39. IV.A.2) Pour $n \in \mathbb{N}$ et $x > 0$, exprimer $(\delta^n(f))(x)$ à l’aide des coefficients binomiaux $\binom{n}{j}$ et des $f(x+j)$ (où l’indice $j$ appartient à $\llbracket 0, n \rrbracket$). 40. IV.A.3) Expliquer pourquoi, pour tout $x > 0$, il existe un $y_1 \in\, ]0,1[$ tel que \[ (\delta(f))(x) = f'(x+y_1) \]} 41. IV.A.4) En déduire que pour tout $x > 0$, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, il existe un $y_n \in\, ]0, n[$ tel que \[ \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \binom{n}{j} f(x+j) = f^{(n)}(x + y_n). \tag{IV.1} \] On pourra procéder par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ et utiliser les trois questions précédentes. 42. IV.B.1) Montrer que pour tout entier $k$ strictement positif, $\binom{\alpha}{k}$ appartient à $\mathbb{N}^*$. 43. IV.B.2) Montrer que $\alpha$ est positif ou nul. 44. IV.B.3) On considère l’application $f_\alpha$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par $f_\alpha(x) = x^\alpha$. Montrer que $\alpha$ est un entier naturel si et seulement si l’une des dérivées successives de $f_\alpha$ s’annule en au moins un réel strictement positif. 45. IV.C.1) Montrer que l’expression \[ \sum_{j=0}^n (-1)^{n-j} \binom{n}{j} f_\alpha(x+j) \] est un entier relatif. 46. IV.C.2) Les notations sont celles de la question IV.A.4. Quelle est la limite de l’expression $f_\alpha^{(n)}(x+y_n)$ quand $x \in \mathbb{N}^*$ tend vers $+\infty$ ?} 47. IV.C.3) Conclure.}FAQ
L’opérateur τ, défini par τ(P)(X) = P(X+1), est crucial car il permet d’étudier les translations de polynômes. En CPGE, il est souvent utilisé pour analyser les suites polynomiales et les relations de récurrence. Dans ce sujet, il est au cœur des questions I.A, où tu dois comprendre son action sur le degré, les coefficients dominants, et sa représentation matricielle. Pour maîtriser ces concepts, n’hésite pas à t’entraîner avec des exercices corrigés sur Prépa Booster !
La matrice M de τ dans la base canonique est une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. Son inverse M⁻¹ correspond à l’opérateur τ⁻¹, qui décale les polynômes dans l’autre sens : τ⁻¹(P)(X) = P(X-1). Les coefficients de M⁻¹ s’expriment avec des termes binomiaux, comme tu peux le voir dans la question I.A.6. Pour approfondir, débloque les corrigés et explore les propriétés des matrices triangulaires !
Le sujet établit un lien fort entre polynômes et suites via les formules de transformation comme (I.1) et (I.2). Par exemple, la question I.A.7 montre comment une suite (uⱼ) peut être transformée en une suite (vⱼ) via une matrice Q, et inversement. C’est un outil puissant pour résoudre des relations de récurrence, comme celles abordées en partie III.B.3. Pour voir des applications concrètes, consulte les corrigés détaillés sur Prépa Booster !
L’opérateur δ, défini par δ(P) = P(X+1) – P(X), est essentiel car il permet d’étudier les différences finies, un outil clé en analyse numérique et en combinatoire. Dans ce sujet, il est utilisé pour caractériser les polynômes à valeurs entières sur les entiers (partie III.C). Par exemple, la question III.C.5 montre que si P est à valeurs entières, alors δ(P) l’est aussi. Pour approfondir, explore les corrigés et les exercices sur Prépa Booster !
Les nombres de Stirling de deuxième espèce S(p, n) interviennent dans la partie II, où ils sont liés au dénombrement des surjections et des partitions d’ensembles. Par exemple, la question II.B.2 établit une relation entre les nombres de Stirling et les coefficients binomiaux via la formule (II.1). C’est un concept clé en combinatoire, souvent utile pour les problèmes de dénombrement en CPGE. Pour voir des exemples concrets, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Les polynômes Hₖ, introduits dans la partie III, forment une base de ℝₙ[X] particulièrement adaptée à l’étude des différences finies. Par exemple, la question III.A.2 montre que δ(Hₖ) = kHₖ₋₁, ce qui simplifie l’analyse des opérateurs δ et τ. Ils sont aussi utilisés pour résoudre des équations de récurrence, comme en III.B.3. Pour maîtriser ces outils, entraîne-toi avec les exercices corrigés sur Prépa Booster !
La partie I.B.7 explore les sous-espaces vectoriels de ℝₙ[X] stables par δ. La question I.B.7.a montre que pour un polynôme P non nul, la famille (P, δ(P), …, δᵈ(P)) est libre, ce qui permet de caractériser les sous-espaces stables comme étant les ℝᵈ[X]. C’est un résultat fondamental pour comprendre la structure des espaces de polynômes en CPGE. Pour approfondir, consulte les corrigés détaillés sur Prépa Booster !
La partie IV généralise les opérateurs δ et τ aux fonctions de classe C∞ sur ℝ₊*. Par exemple, la question IV.A.4 montre une formule de type Taylor pour les différences finies, reliant δⁿ(f) aux dérivées f⁽ⁿ⁾. C’est un outil puissant pour l’analyse des fonctions et des suites, souvent utilisé en CPGE pour étudier les approximations et les développements limités. Pour voir des applications, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Ce sujet est typique des épreuves du concours Centrale, car il combine algèbre linéaire, analyse et combinatoire. Il teste ta capacité à manipuler des opérateurs comme τ et δ, à travailler avec des matrices et des bases de polynômes, et à résoudre des problèmes de récurrence. Les questions sont progressives et demandent une bonne maîtrise des outils de CPGE. Pour te préparer efficacement, entraîne-toi avec les sujets corrigés et le dashboard personnalisé de Prépa Booster !
Les pièges classiques incluent la confusion entre τ et δ, la mauvaise manipulation des indices dans les sommes, et l’oubli des conditions initiales dans les récurrences. Par exemple, dans la question I.A.2, il faut bien distinguer l’action de τᵏ sur les polynômes. De plus, la partie IV demande une bonne compréhension des fonctions C∞ et des différences finies. Pour éviter ces erreurs, travaille avec les corrigés détaillés et les exercices de Prépa Booster !