Questions du sujet
1. I.A.1) Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$ et $s$ la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$.\\ a) Montrer que $F = F_s$ et $G = G_s$.\\ b) Montrer que $s \circ s = \mathrm{Id}_E$. En déduire que $s$ est un automorphisme de $E$.\\ c) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $s$. On discutera selon les sous-espaces $F$ et $G$.} 2. I.A.2) Soit $s$ un endomorphisme de $E$ tel que $s \circ s = \mathrm{Id}_E$. On pose $F = \ker(s – \mathrm{Id}_E)$ et $G = \ker(s + \mathrm{Id}_E)$.\\ a) Montrer que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces supplémentaires de $E$.\\ b) En déduire que $s$ est une symétrie dont on précisera les éléments.} 3. I.B.1) Soient $s$ et $t$ deux symétries de $E$ qui anticommutent, c’est-à-dire telles que $s \circ t + t \circ s = 0$.\\ a) Prouver les égalités $t(F_s) = G_s$ et $t(G_s) = F_s$.\\ b) En déduire que $F_s$ et $G_s$ ont la même dimension et que $n$ est pair.} 4. I.C.1) Montrer que la longueur $p$ d’un H-système d’endomorphismes de $E$ est majorée par $\dfrac{n}{2}$.} 5. I.C.2) Montrer que l’existence d’un H-système $(S_1, \ldots, S_p)$ de $E$ équivaut à l’existence d’un H-système de matrices de taille $n$. En déduire que la longueur d’un H-système de $E$ ne dépend que de la dimension $n$ de $E$ et pas de l’espace $E$.} 6. I.C.3) Soit $n$ un entier impair. Prouver que $p(n) = 1$.} 7. I.D.1) On suppose ici que $n$ est pair et on pose $n = 2m$. On considère : \begin{itemize} \item un H-système $(S_1, \ldots, S_p, T, U)$ de $E$, \item le sous-espace $E_0 = F_T = \ker(T-\mathrm{Id})$, \item pour $j \in [[1, p]]$, l’endomorphisme $R_j = i\, U \circ S_j$ de $E$. \end{itemize} a) Montrer que, pour tout $j \in [[1, p]]$, le sous-espace $E_0$ est stable par $R_j$.\\ b) Pour $j \in [[1, p]]$, soit $s_j$ l’endomorphisme de $E_0$ induit par $R_j$. Montrer que $(s_1, \ldots, s_p)$ est un H-système de $E_0$.\\ c) En déduire $p(2m) \leq p(m) + 2$.} 8. I.D.2) Montrer que si $n = 2^d m$ avec $m$ impair, alors $p(n) \leq 2d + 1$.} 9. I.E.1) Soient $N = p(n)$ et $(a_1, \ldots, a_N)$ un H-système de matrices de taille $n$ c’est-à-dire tel que\\ $\forall i,\, a_i^2 = I_n$ et $\forall i \neq j,\, a_ia_j + a_ja_i = 0$.\\ En considérant les matrices suivantes de $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ écrites par blocs \[ A_j = \begin{pmatrix} a_j & 0 \\ 0 & -a_j \end{pmatrix} \quad (j \in [[1, N]]), \quad A_{N+1} = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{pmatrix}, \quad A_{N+2} = \begin{pmatrix} 0 & iI_n \\ -iI_n & 0 \end{pmatrix}, \] montrer que $p(2n) \geq N + 2$.} 10. I.E.2) Déterminer $p(n)$ en fonction de l’unique entier $d \in \mathbb{N}$ tel que $n$ s’écrive $n = 2^d m$ avec $m$ impair.} 11. I.E.3) Écrire, pour chacun des entiers $n = 1, 2, 4$, un H-système de matrices de taille $n$ de longueur $p(n)$.} 12. II.A.1) a) Donner, sans justification, une base et la dimension de $\mathcal{C}$ sur le corps $\mathbb{R}$.\\ b) Montrer que $\mathbb{H}$ est un sous-espace vectoriel réel de $\mathcal{C}$ et que $\{e, I, J, K\}$ en est une base sur le corps $\mathbb{R}$.\\ c) Montrer que $\mathbb{H}$ est stable par multiplication.} 13. II.A.2) Montrer que $(\mathbb{H} \setminus \{0\}, \times)$ est un sous-groupe non commutatif du groupe linéaire $(GL_2(\mathbb{C}), \times)$.} 14. II.A.3) a) Calculer les produits deux à deux des matrices $e, I, J, K$. On présentera les résultats dans une table à double entrée.\\ b) En déduire que $(iI, iJ, iK)$ est un H-système.} 15. II.B.1) a) Vérifier que, pour tout $q \in \mathbb{H}$, $q^*$ est la transposée de la matrice dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de $q$.\\ b) En déduire que, pour tout $(q, r)\in \mathbb{H}^2,\, (qr)^* = r^* q^*$.\\ c) Montrer que $q^{**} = q$ pour tout $q\in\mathbb{H}$ et que $q \mapsto q^*$ est un automorphisme du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{H}$.\\ d) Pour $q\in\mathbb{H}$, exprimer $qq^*$ à l’aide de $N(q)$. En déduire la relation valable pour tout $(q, r) \in \mathbb{H}^2$, $N(qr) = N(q) N(r)$.} 16. II.B.2) a) Soient $(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4$ et $q = x e + y I + z J + t K$. Exprimer la trace de la matrice $q \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ en fonction du réel $x$.\\ b) En déduire que, pour tout $(q, r)\in\mathbb{H}^2$, $qr – rq = q^* r^* – r^* q^*$.\\ c) Soient $a, b, c, d$ des quaternions. Établir la relation \[ (acb^*)d + d^* (acb^*)^* = (acb^*)^* d^* + d(acb^*). \] En déduire l’identité \[ \big(N(a) + N(b)\big) \big(N(c) + N(d)\big) = N(ac – d^* b) + N(bc^* + d a). \]} 17. III.A.1) Montrer l’existence d’une telle application bilinéaire $B_n$ lorsque $n$ est l’un des entiers $1, 2, 4$.\\ Pour $n = 2$ (respectivement $4$) on pourra considérer le produit de deux nombres complexes (respectivement de deux quaternions).} 18. III.A.2) En utilisant la question II.B.2 montrer, pour $n = 8$, l’existence d’une application bilinéaire vérifiant (III.1). On ne demande pas d’expliciter une application bilinéaire $B_8$, mais seulement de prouver son existence.} 19. III.B.1) a) Prouver que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, on a \[ \forall Y = (y_1, \ldots, y_n) \in \mathbb{R}^n,\quad \sum_{i,j=1}^n y_i y_j\, (u_i(X) | u_j(X)) = \|X\|^2 \sum_{i=1}^n y_i^2 \] b) En déduire que les endomorphismes $u_i$ vérifient les relations \[ \forall i, j = 1, \ldots, n,\, \forall X \in \mathbb{R}^n,\quad \|u_i(X)\| = \|X\|\quad \text{et}\quad i \neq j \implies (u_i(X)|u_j(X)) = 0 \] et plus généralement \[ \forall i, j = 1, \ldots, n,\, \forall X, X’ \in \mathbb{R}^n,\, (u_i(X) | u_i(X’)) = (X|X’) \text{ et } i \neq j \implies (u_i(X) | u_j(X’)) + (u_j(X) | u_i(X’)) = 0 \] c) Prouver que les matrices $A_i$ vérifient les relations $\forall i, j = 1, \ldots, n$, ${}^t A_i A_i = I_n$ et $i \neq j \implies {}^t A_i A_j + {}^t A_j A_i = 0$.} 20. III.B.2) Pour $j = 1, \ldots, n-1$ on note $S_j$ la matrice complexe $S_j = i\, {}^t A_n A_j$.\\ a) Prouver que $(S_1, \ldots, S_{n-1})$ est un H-système.\\ b) En déduire qu’on a l’inégalité $p(n) \geq n-1$ où $p(n)$ est défini dans la section I.C.} 21. III.B.3) Prouver que $n$ est élément de $\{1, 2, 4, 8\}$.} 22. IV.A — Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure \texttt{carres} telle que, pour $N \in \mathbb{N}^*$, \texttt{carres(N)} retourne le tableau associé à l’ensemble des carrés inférieurs ou égaux à $N$. On n’utilisera pas la fonction racine carrée.} 23. IV.B — Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure \texttt{Eratosthene} utilisant l’algorithme ci-dessus et telle que, pour $N \in \mathbb{N}^*$, \texttt{Eratosthene(N)} retourne le tableau $C$ associé à l’ensemble $X = \{p \in \mathcal{P}\,|\, p \leq N\} \cup \{0\}$. On rappelle que $C$ est un tableau de $0$ et de $1$, indexé de $0$ à $N$ et caractérisé par $C[i] = 1 \Leftrightarrow i = 0$ ou $(1 \leq i \leq N$ et $i$ est premier) } 24. IV.C — Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure \texttt{somme} telle que, si $A$ et $B$ sont des tableaux de $0$ et de $1$ indexés de $0$ à $N$ représentant respectivement les parties $X$ et $Y$ de $\{0,\ldots,N\}$, \texttt{somme(A,B,N)} retourne le tableau $C$ représentant l’ensemble $Z$ des éléments de $\{1, \ldots, N\}$ sommes d’un élément de $X$ et d’un élément de $Y$.} 25. IV.D — En utilisant les fonctions ou les procédures \texttt{carres} et \texttt{somme}, écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction ou une procédure \texttt{quatrecarres} telle que \texttt{quatrecarres(N)} retourne vrai si tout entier de $1$ à $N$ est somme de quatre carrés d’entiers et retourne faux sinon.} 26. V.A — Soit $(A, +, \times)$ un anneau commutatif. Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on note $C_p(A)$ l’ensemble des sommes de $p$ carrés d’éléments de $A$.\\ Prouver que pour tout anneau $A$, les ensembles $C_p(A)$ sont stables pour la multiplication lorsque $p$ vaut $1$, $2$, $4$ ou $8$.\\ On pourra utiliser les formes bilinéaires $B_p$ définies partie III et, éventuellement, se limiter au cas où l’anneau $A$ est l’anneau $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs.} 27. V.B.1) a) Montrer que $\mathcal{G}$ est un sous-groupe de $\mathbb{H}$ pour l’addition et qu’il est stable par multiplication.\\ b) Montrer que pour tout $q \in \mathbb{H}$, il existe $\mu \in \mathcal{G}$ tel que $N(q – \mu) \leq 1$.\\ c) Quel est l’ensemble des $q \in \mathbb{H}$ tels que $\forall\mu \in \mathcal{G}$, $N(q – \mu) \geq 1$ ?} 28. V.B.2) Soit $p$ un nombre premier impair. Pour tout entier $r \in \mathbb{Z}$, on note $\varphi(r)$ le reste de la division euclidienne de $r^2$ par $p$. On a donc $0 \leq \varphi(r) \leq p – 1$ et $r^2 – \varphi(r) \in p\mathbb{Z}$.\\ a) Montrer que la restriction de $\varphi$ à $\{0, \ldots, \frac{p-1}{2}\}$ est injective.\\ b) On considère les ensembles $X = \{p – \varphi(r)\,|\, 0 \leq r \leq \frac{p-1}{2}\}$ et $Y = \{\varphi(s) + 1\,|\, 0 \leq s \leq \frac{p-1}{2}\}$. Montrer que $X$ et $Y$ sont inclus dans $\{1, \ldots, p\}$ et que leur intersection est non vide. En déduire qu’il existe $u, v \in \{0, \ldots, \frac{p-1}{2}\}$ et $m\in\{1, \ldots, p-1\}$ tels que $u^2 + v^2 + 1 = mp$.} 29. V.B.3) On suppose encore que $p$ est un nombre premier impair. Justifier qu’il existe $m\in\{1, \ldots, p-1\}$ et $\mu = x e + y I + z J + t K \in \mathcal{G}\setminus\{0\}$ tels que $N(\mu) = mp$. On choisit $m$ minimal et on suppose que $m > 1$.\\ a) Montrer que si $m$ était pair, un nombre pair des entiers $x, y, z, t$ serait impair et aboutir à une contradiction. On pourra écrire \[ \left(\frac{x-y}{2}\right)^2 + \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \frac{x^2 + y^2}{2}. \] b) On suppose $m$ impair. Montrer qu’il existe $\nu \in \mathcal{G}$ tel que $N(\mu – m\nu) < m^2$.\\ c) Prouver que $\mu' = \frac{1}{m} \mu (\mu - m\nu)^*$ est dans $\mathcal{G} \setminus \{0\}$ et que $N(\mu')$ est un multiple de $p$ strictement inférieur à $mp$. Conclure.} 30. V.B.4) Montrer que tout entier naturel est somme de quatre carrés d’entiers.}FAQ
Une symétrie vectorielle \( s \) par rapport à un sous-espace \( F \) parallèlement à \( G \) est un endomorphisme tel que \( s \circ s = \text{Id}_E \), avec \( F = \ker(s – \text{Id}_E) \) et \( G = \ker(s + \text{Id}_E) \). Elle vérifie aussi \( E = F \oplus G \). Pour approfondir, débloque les corrigés et découvre des exercices détaillés sur les symétries !
Pour montrer que \( F \) et \( G \) sont supplémentaires, il faut vérifier que \( F + G = E \) et \( F \cap G = \{0\} \). Dans le cas d’une symétrie \( s \), on utilise souvent le fait que \( s \) est diagonalisable avec des valeurs propres \( 1 \) et \( -1 \), ce qui donne directement la somme directe.
Un H-système est une famille d’endomorphismes \( (S_1, \ldots, S_p) \) tels que chaque \( S_i \) est une symétrie (\( S_i^2 = \text{Id} \)) et que deux symétries distinctes anticommutent (\( S_i S_j + S_j S_i = 0 \)). La longueur maximale d’un tel système dépend de la dimension de l’espace \( E \).
Les quaternions \( \mathbb{H} \) sont une extension des nombres complexes, utiles en algèbre et en géométrie. Ils forment une algèbre non commutative de dimension 4 sur \( \mathbb{R} \), et leur étude permet de comprendre des structures plus avancées comme les algèbres de Clifford. C’est aussi un outil puissant pour modéliser les rotations en 3D !
Les questions de programmation en Maple ou Mathematica testent ta capacité à traduire des concepts mathématiques en algorithmes. Par exemple, pour générer des carrés ou implémenter le crible d’Ératosthène, il faut maîtriser les boucles et les tableaux. N’hésite pas à t’entraîner sur des exercices similaires pour gagner en fluidité !
Pour un problème d’algèbre linéaire, commence par bien comprendre les hypothèses et les définitions. Par exemple, si on te parle de symétries ou de sous-espaces stables, cherche à diagonaliser ou à utiliser des propriétés de dimension. N’oublie pas de justifier chaque étape et de vérifier tes résultats avec des exemples concrets.
Les H-systèmes permettent de relier la dimension d’un espace vectoriel à la longueur maximale d’une famille de symétries anticommutantes. Par exemple, si \( n \) est pair, on peut montrer que \( p(n) \leq p(m) + 2 \) en utilisant des sous-espaces stables. C’est un outil puissant pour les problèmes de structure algébrique.
Le théorème des quatre carrés, démontré par Lagrange, affirme que tout entier naturel est somme de quatre carrés d’entiers. C’est un résultat fondamental en théorie des nombres, lié aux formes quadratiques et aux algèbres comme les quaternions. Il illustre aussi le lien entre algèbre et arithmétique.
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Les pièges courants incluent les confusions entre sous-espaces stables et supplémentaires, les erreurs de calcul dans les changements de base, ou l’oubli de vérifier les hypothèses (comme l’anticommutation). Relis toujours tes démonstrations pour éviter les raisonnements circulaires ou les approximations.