Questions du sujet
1. I.A – Soit $\pi$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ dont la représentation dans la base canonique est la matrice $P$.\\ Montrer que $\pi$ est un projecteur orthogonal et en préciser les éléments caractéristiques.} 2. I.B – On considère l’endomorphisme $\Phi$ de $M_n(\mathbb{R})$ défini par : \\ $\forall M \in M_n(\mathbb{R}),\ \Phi(M) = PMP$\\ I.B.1) Montrer que $\Phi$ est un projecteur orthogonal dans l’espace euclidien $(M_n(\mathbb{R}),( \cdot | \cdot ))$.} 3. I.B.2) Montrer que $\mathrm{Im}\,\Phi = \{M \in M_n(\mathbb{R})\ |\ MZ = 0 \text{ et } {}^tMZ = 0\}$.} 4. I.C – Soit $M = (m_{ij}) \in S_n(\mathbb{R})$. On pose\\ $S(M) = MZ = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n m_{1i} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n m_{ni} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} S(M)_1 \\ \vdots \\ S(M)_n \end{pmatrix}$\\ et $\sigma(M) = \langle Z, S(M) \rangle$.\\ Montrer que \[ \Phi(M) = M – \frac{1}{n} \left( S(M) {}^tZ + Z {}^tS(M) \right) + \frac{\sigma(M)}{n^2} J \] } 5. II.A – Montrer que ${}^tUU = -\frac{1}{2}\Phi(M)$.} 6. II.B – En déduire, pour tout couple $(i, j) \in [[1, n]]^2$, une expression du produit scalaire $\langle U_i, U_j \rangle = {}^tU_i U_j$ en fonction de\\ \[ \alpha_{ij} = -\frac{1}{n}(S(M)_i + S(M)_j) + \frac{1}{n^2}\sigma(M) \] et de $m_{ij}$ (relation de Torgerson).\\ Ainsi la matrice des distances mutuelles au carré permet de retrouver la matrice des produits scalaires ${}^tUU \in M_n(\mathbb{R})$.} 7. III.A.1) Montrer que les valeurs propres de $\Phi(M)$ sont toutes réelles et négatives ou nulles.} 8. III.A.2) On suppose de plus (quitte à effectuer une translation) que les $(U_i)_{i \in [[1,n]]}$ sont centrés, c’est-à-dire que $\sum_{i=1}^n U_i = 0$.\\ Montrer que $\operatorname{rg}(U) = \operatorname{rg}(U_1\ |\ U_2\ |\ \cdots\ |\ U_n) = \operatorname{rg}(\Phi(M))$ et que $p > \operatorname{rg}(\Phi(M))$.} 9. III.B.1) Montrer qu’il existe une matrice $U \in M_{r,n}(\mathbb{R})$ telle que ${}^tUU = \Psi(M)$.} 10. III.B.2) On note $U_1, U_2, \cdots, U_n$ les colonnes de la matrice $U$.\\ On cherche à montrer que pour tout $(i, j) \in [[1, n]]^2$, $m_{ij} = \|U_i – U_j\|^2$.\\ a) Montrer que les $(U_i)$ sont centrés, c’est-à-dire que $\sum_{i=1}^n U_i = 0$.\\ b) Montrer que la matrice $N = (n_{ij})$ définie par : $\forall(i, j) \in [[1, n]]^2, n_{ij} = \|U_i – U_j\|^2$ vérifie $\Psi(N) = \Psi(M)$.\\ c) Montrer que $M = N$ et conclure.} 11. IV.A.1) On suppose que les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires. Quelle relation vérifient alors $a$ et $b$~?} 12. IV.A.2) On suppose que les quatre points distincts $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires. On note $I$ le milieu de $[AC]$ et $J$ le milieu de $[BD]$.\\ a) Montrer que $(IJ)$ est la perpendiculaire commune aux droites $(AC)$ et $(BD)$.\\ b) En projetant les points $B$ et $D$ sur le plan contenant $(AC)$ et perpendiculaire à $(IJ)$, montrer que $a^2 + b^2 < 4$.} 13. IV.A.3) Montrer que si des réels strictement positifs $a$ et $b$ vérifient la relation $a^2+b^2 \le 4$, alors il existe bien quatre points distincts $A, B, C$ et $D$ dans l’espace euclidien canonique $\mathbb{R}^3$ vérifiant $AB = BC = CD = DA = 1$, $AC = a$ et $BD = b$.} 14. IV.B.1) On reprend les notations des parties précédentes avec ici $n = 4$.\\ On pose $M = (\|U_i - U_j\|^2)_{(i,j) \in [[1,4]]^2} \in S_4(\mathbb{R})$.\\ Écrire la matrice $M$ puis calculer $S(M)$ et $\sigma(M)$.} 15. IV.B.2) Montrer que les vecteurs $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}$ forment une base de vecteurs propres de la matrice $\Psi(M)$ et déterminer les valeurs propres de la matrice $\Psi(M)$.} 16. IV.B.3) Déterminer le rang de $\Psi(M)$ selon les valeurs prises par $a$ et $b$.} 17. IV.B.4) Quelle égalité vérifie les réels $a$ et $b$ lorsque les points $U_1, U_2, U_3$ et $U_4$ sont coplanaires~?} 18. IV.B.5) Retrouver que les réels strictement positifs $a$ et $b$ vérifient $a^2 + b^2 \leq 4$.} 19. IV.B.6) Réciproquement, si $a^2+b^2 \leq 4$, donner une famille de points $U_1, U_2, U_3$ et $U_4$ vérifiant les contraintes de distances mutuelles.} 20. V.A.1) On cherche à prouver qu’il existe une unique matrice symétrique $T_0$ à valeurs propres positives ou nulles qui minimise $\|\Psi(M) - T\|_{M_n(\mathbb{R})}$ lorsque $T$ décrit $S_n^+(\mathbb{R})$.\\ a) Montrer que \\ $\forall Q \in O_n(\mathbb{R}),\ \forall A \in M_n(\mathbb{R}),\ \|{}^tQ A Q\|_{M_n(\mathbb{R})} = \|A\|_{M_n(\mathbb{R})}$\\ b) Justifier l’existence d’une matrice $Q_0 \in O_n(\mathbb{R})$ telle que la matrice ${}^tQ_0\Psi(M)Q_0$ soit diagonale.\\ c) Montrer qu’une condition nécessaire pour que $\|\Psi(M) - T_0\|_{M_n(\mathbb{R})}$ minimise $\|\Psi(M) - T\|_{M_n(\mathbb{R})}$ lorsque $T$ décrit $S_n^+(\mathbb{R})$ est que la matrice ${}^tQ_0 T_0 Q_0$ soit diagonale.\\ d) Prouver l’existence et l’unicité de la matrice $T_0$ cherchée.} 21. V.A.2) On suppose dans cette question que $T_0$ est non nulle. On veut montrer qu’il existe un entier $p \in [[1, n-1]]$ minimal que l’on précisera tel que l’on puisse déterminer des vecteurs $U_1, U_2, \cdots, U_n$ éléments de $\mathbb{R}^p$ satisfaisant la condition $\sum_{i=1}^n U_i = 0$ et pour lesquels la matrice $M_f = (\|U_i - U_j\|^2)_{(i,j)\in[[1,n]]^2}$ vérifie la relation $\Psi(M_f) = T_0$. \\ On reprend les notations de la partie II et on note $U = (U_1\ |\ U_2\ |\ \cdots\ |\ U_n)$.\\ a) Montrer que l’entier $p$ vérifie $p > \operatorname{rg}(T_0)$ et que $\operatorname{rg}(T_0) \in [[1, n-1]]$.\\ b) Construire une matrice $U \in M_{r,n}(\mathbb{R})$ telle que ${}^tUU = T_0$ pour $r = \operatorname{rg}(T_0)$.\\ \textit{Indication.} En supposant que ${}^tQ_0T_0Q_0$ soit de la forme $\begin{pmatrix} \Delta & 0_{n-r} \\ \end{pmatrix}$ avec $\Delta \in M_r(\mathbb{R})$, diagonale à valeurs non nulles, on cherchera $U$ sous la forme $U = ((\Delta_1)\ (0)) \times Q_0 \in M_{r,n}(\mathbb{R})$ avec $\Delta_1 \in M_r(\mathbb{R})$, diagonale.\\ c) Montrer que $\sum_{i=1}^n U_i = 0$ (on pourra étudier le vecteur $UZ$).\\ d) En déduire que $\Psi(M_f) = T_0$ avec $M_f = (\|U_i – U_j\|^2)_{(i,j)\in[[1,n]]^2}$ et conclure.} 22. V.B.1) Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$. Montrer que l’hyperplan $H$ de vecteur normal $Z$ (et d’équation $x_1 + \cdots + x_n = 0$) est stable par l’endomorphisme canonique associé à la matrice $\Psi(A)$.} 23. V.B.2) Exprimer la matrice $N_k$ en fonction des matrices $M, J, I_n$ et du réel $k$.} 24. V.B.3) Montrer qu’il existe un réel $k_0$ minimal que l’on précisera en fonction des valeurs propres de $\Psi(M)$, tel que la matrice $\Psi(N_{k_0})$ soit à valeurs propres positives ou nulles.} 25. V.C.1) Montrer que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$,\\ ${}^tX \Psi(M_c) X = {}^tX \Psi(M) X + 2c\ {}^tX\Psi(D)X + \frac{c^2}{2} {}^tX P X$.} 26. V.C.2) Montrer que si $\lambda_\text{min}$ et $\mu_\text{min}$ désignent les valeurs propres minimales respectives de $\Psi(M)$ et $\Psi(D)$, alors\\ $\forall X \in H$, ${}^tX \Psi(M) X \geq \lambda_\text{min}\, {}^tX X$ et ${}^tX \Psi(D) X \geq \mu_\text{min}\, {}^tXX$. \\ (L’hyperplan $H$ a été défini à la question V.B.1.)} 27. V.C.3) En déduire que pour $c = \bar{c} = -2\mu_\text{min} + \sqrt{4\mu_\text{min}^2 – 2 \lambda_\text{min}} > 0,$ $\Psi(M_c)$ est à valeurs propres positives ou nulles et que pour tout $c > \bar{c}$ et pour tout vecteur non nul $X \in H$, ${}^tX \Psi(M_c) X > 0$.} 28. V.C.4) Nous allons chercher la constante $c^* > 0$ minimale (si elle existe) vérifiant \begin{itemize} \item $\Psi(M_{c^*})$ est à valeurs propres positives ou nulles, \item pour tout $c > c^*$ et pour tout vecteur non nul $X \in H$, ${}^tX\Psi(M_c)X > 0$. \end{itemize} On sait que $c^*$ est majoré par $\bar c$.\\ On considère $A =\left\{ X \in H\, |\ \|X\| = 1\text{ et } 4 ({}^tX\Psi(D)X)^2 – 2\, {}^tX\Psi(M)X > 0 \right\}$\\ et on définit l’application \[ \alpha : \begin{array}{rcl} A & \to & \mathbb{R} \\ X & \mapsto & -2 {}^tX \Psi(D) X + \sqrt{4({}^tX \Psi(D) X)^2 – 2 {}^tX \Psi(M) X} \end{array} \] Montrer qu’il existe $X^* \in A$ tel que $\alpha(X^*) = \sup\limits_{X \in A} \alpha(X)$ et $\alpha(X^*) > 0$.\\ On notera $\alpha^* = \alpha(X^*)$.} 29. V.C.5) Montrer que \begin{itemize} \item ${}^tX^*\Psi(M_{\alpha^*})X^* = 0$, \item $\Psi(M_{\alpha^*})$ est à valeurs propres positives ou nulles, \item pour tout $c > \alpha^*$ et pour tout vecteur non nul $X \in H$, ${}^tX\Psi(M_c)X > 0$. \end{itemize} En conclure que $c^* = \alpha^*$.} 30. V.C.6) Calcul de $c^*$\\ a) Montrer que $\Psi(M_{c^*}) X^* = 0$.\\ On pose $Y^* = \frac{2}{c^*} \Psi(M) X^*$.\\ b) Montrer que le vecteur colonne $\begin{pmatrix} Y^* \\ X^* \end{pmatrix}$ est vecteur propre de la matrice de taille $2n$ $\begin{pmatrix} 0 & 2\Psi(M) \\ -I_n & -4\Psi(D) \end{pmatrix}$ et que $c^*$ est valeur propre de cette matrice.} 31. V.C.7) On considère $\gamma$ une valeur propre réelle de la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 2\Psi(M) \\ -I_n & -4\Psi(D) \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}$ un vecteur propre associé.\\ a) Montrer que ${}^tX_2 \Psi(M_\gamma) X_2 = 0$ et que $X_2 \neq 0$. En conclure que $\gamma \leq c^*$.\\ b) Quelle conclusion en déduit-on sur le calcul de la plus petite constante additive $c^*$~?}FAQ
Un projecteur orthogonal est un endomorphisme d’un espace euclidien qui vérifie deux propriétés clés : c’est un projecteur (donc idempotent, c’est-à-dire que son carré est lui-même), et il coïncide avec son adjoint (il est symétrique pour la matrice associée dans une base orthonormée). On le reconnaît donc dans les sujets par ces caractéristiques, souvent à partir de sa matrice ou par l’étude de la propriété (P^2 = P et P symétrique). C’est un outil fondamental lorsqu’il s’agit de manipuler des sous-espaces, d’analyser la géométrie de l’espace, ou de traiter des problèmes d’orthogonalité.
Utiliser la matrice des distances mutuelles au carré, c’est super puissant pour retrouver les produits scalaires entre vecteurs ainsi que pour positionner des points dans l’espace ! Cette construction permet de formaliser des situations géométriques, comme la reconstruction d’un ensemble de points connaissant les distances entre eux, un procédé central en ‘analyse multidimensionnelle’ ou en géométrie des configurations. Ce lien entre distances et produits scalaires (relation de Torgerson) est fondamental pour passer de la géométrie à l’algèbre matricielle, et il apparaît très souvent dans des sujets de concours Centrale ou Mines.
Les valeurs propres d’une matrice symétrique (comme celles issues d’un projecteur orthogonal ou d’opérateurs comme Φ ou Ψ du sujet) sont toujours réelles, ce qui permet d’analyser finement la structure de l’espace vectoriel et la nature des applications considérées. Elles jouent un rôle déterminant pour la diagonalisation, l’étude du rang, la positivité ou la négativité de la matrice. Dans beaucoup de sujets de concours, ces valeurs propres interviennent pour discuter de la possibilité de reconstruire des points dans un espace de dimension minimale, ou pour optimiser des problèmes (comme la moindre distance quadratique). Si tout cela t’intéresse, pense à débloquer les corrigés pour accéder à une correction détaillée et à des exercices d’entraînement adaptés !
Dès qu’on te parle de configuration de points, de coplanarité ou de conditions sur des distances (comme AC = a, BD = b, ou la condition $a^2+b^2 \leq 4$), il faut systématiquement penser à la dimension du sous-espace engendré et à la géométrie plane ou spatiale. Les questions sur la base propre et le rang permettent souvent de détecter si les points sont dans un même plan ou non. Ce genre de démarche, mêlant argument algébrique (rang, diagonalisation) et géométrique (coplanarité, perpendicularité…) est vraiment typique des sujet de Centrale, alors entraîne-toi à passer de l’un à l’autre rapidement.
Maîtrise à fond les notions de matrices symétriques, de projecteurs, de produits scalaires, de valeur propre et de géométrie vectorielle ! Apprends à jongler entre calcul matriciel et raisonnement géométrique, repère la structure des sujets (algèbre ⟷ géométrie), et entraîne-toi sur les questions ouvertes, notamment pour la dimension ou la positivité d’une matrice. Pour progresser rapidement, le mieux est d’avoir accès à des corrigés détaillés et à des exercices supplémentaires : sur Prépa Booster, tu pourras débloquer les corrigés des écrits, accéder à la correction interactive et à un dashboard personnalisé pour suivre tes progrès.