Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que l’ensemble des similitudes non nulles est un sous-groupe de $GL(E)$ pour la composition des applications. 2. I.A.2) Soit $h \in L(E)$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : \begin{itemize} \item[i)] $h$ est élément de $Sim(E)$ ; \item[ii)] $h^* h$ est colinéaire à $Id_E$ ; \item[iii)] la matrice de $h$ dans une base orthonormale de $E$ est colinéaire à une matrice orthogonale. \end{itemize} On appelle donc matrice de similitude toute matrice colinéaire à une matrice orthogonale : c’est donc la matrice d’une similitude dans une base orthonormale. 3. I.B.1) Montrer que : $\forall x \in E, \langle x, f(x) \rangle = 0$. 4. I.B.2) Montrer que, si $S$ est un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $f$, alors $S^{\perp}$ est stable par $f$. Montrer que les endomorphismes induits par $f$ sur $S$ et sur $S^{\perp}$ sont antisymétriques. 5. I.B.3) Soit $g$ un endomorphisme antisymétrique de $E$, tel que $fg = -gf$. Montrer que : $\forall x \in E, \langle f(x), g(x) \rangle = 0$.} 6. I.B.4) Que vaut $f^2 = f \circ f$ si $f$ est un automorphisme orthogonal et antisymétrique de $E$ ? 7. I.C.1) Montrer que $d_n > 1$. 8. I.C.2) Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $L(E)$ inclus dans $Sim(E)$. On fixe $x \in E \setminus \{0\}$. En considérant $\Phi : f \mapsto f(x)$, application linéaire de $V$ dans $E$, montrer que $\dim(V) \leq n$. Ainsi $1 \leq d_n \leq n$. 9. I.C.3) Dans cette question seulement, on suppose $n = 2$. Expliciter un espace vectoriel de dimension $2$, formé de matrices de similitudes. En déduire, avec soin, que $d_2=2$. 10. I.C.4) Dans cette question seulement, on suppose $n$ impair. Si $f, g$ appartiennent à $GL(E)$, montrer qu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $f+\lambda g$ soit non inversible. On pourra raisonner en considérant le polynôme caractéristique de $fg^{-1}$. En déduire que $d_n = 1$.} 11. I.C.5) Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $L(E)$ inclus dans $Sim(E)$, de dimension $d > 1$. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $W$ de $L(E)$ inclus dans $Sim(E)$, de même dimension $d$, et contenant $Id_E$. 12. I.D.1) Montrer que pour tout $i \in \{1, 2, \ldots, d-1\}$, $f_i^* + f_i$ est colinéaire à $Id_E$. 13. I.D.2) Montrer qu’il existe une base $(Id_E, g_1, \ldots, g_{d-1})$ de $V$ telle que pour tout $i \in \{1, 2, \ldots, d-1\}$, $g_i$ soit antisymétrique (on cherchera $g_i$ comme combinaison de $f_i$ et $Id_E$). 14. I.D.3) On fixe une base $(Id_E, g_1, \ldots, g_{d-1})$ de $V$ comme définie à la question précédente c’est-à-dire avec pour tout $i$, $g_i$ antisymétrique. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que pour tout $i \neq j$, $g_i g_j + g_j g_i$ est colinéaire à $Id_E$. \item[b)] Montrer que l’on définit un produit scalaire sur $L(E)$ en posant, pour tout $f, g \in L(E)$, $(f|g) = \mathrm{tr}(f^* g)$. \item[c)] On considère, dans la suite de cette question, une base $(h_1, \ldots, h_{d-1})$ de $Vect(g_1, \ldots, g_{d-1})$ orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer que les $h_i$ sont antisymétriques et vérifient : $\forall i \neq j, \; h_i h_j + h_j h_i = 0$. Que faire pour que les $h_i$ soient aussi des automorphismes orthogonaux ? \end{itemize} 15. I.D.4) Réciproquement, soit $(h_1, \ldots, h_{d-1})$ une famille de $L(E)$ telle que les $h_i$ soient des automorphismes orthogonaux antisymétriques vérifiant pour tous $i \neq j$, $h_ih_j + h_j h_i = 0$. Montrer que $Vect(Id_E, h_1, \ldots, h_{d-1})$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$, de dimension $d$, inclus dans $Sim(E)$.} 16. II.A.1) Soit $p$ un entier impair tel que $\dim(E) = n = 2p$. On suppose qu’il existe $d > 3$ et une famille $(f_1, f_2, \ldots, f_{d-1})$ d’éléments de $L(E)$ telle que les $f_i$ soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : $\forall i \neq j, f_i f_j + f_j f_i = 0$. Soit $x \in E$ de norme $1$. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que $(x, f_1(x), f_2(x), f_1 f_2(x))$ est une famille orthonormale, et que $S = Vect(x, f_1(x), f_2(x), f_1 f_2(x))$ est stable par $f_1$ et $f_2$. \item[b)] En déduire que $d_n – 4 > 3$. \end{itemize} 17. II.A.2) Dans cette question, $n=2p$, avec $p$ entier impair. Montrer que $d_n = 2$. 18. II.B.1) On suppose qu’il existe un sous-espace vectoriel de $L(E)$ de dimension $4$ inclus dans $Sim(E)$. On considère alors, conformément à I.D.4, une famille $(f_1, f_2, f_3)$ d’éléments de $L(E)$ telle que les $f_i$ soient des automorphismes orthogonaux, antisymétriques vérifiant : $\forall i \neq j, f_i f_j + f_j f_i = 0$. Soit un vecteur fixé $x \in E$ de norme $1$. \begin{itemize} \item[a)] Justifier que la famille $\mathcal{B} = (x, f_1(x), f_2(x), f_1 f_2(x))$ est une base de $E$ puis montrer qu’il existe des nombres réels $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ tel que : $f_3(x) = \alpha x + \beta f_1(x) + \gamma f_2(x) + \delta f_1 f_2(x)$. Montrer que $\alpha = \beta = \gamma = 0$ et que $\delta \in \{-1, 1\}$. \end{itemize} 19. II.B.1) b) Montrer que $f_3 = \delta f_1 f_2$. Quitte à changer $f_3$ en son opposé, on suppose dans la suite que $f_3 = f_1 f_2$. 20. II.B.1) c) Si $x_0, x_1, x_2, x_3$ sont des nombres réels, donner la matrice $M(x_0, x_1, x_2, x_3)$ dans $\mathcal{B}$ de l’endomorphisme $x_0 Id_E + x_1 f_1 + x_2 f_2 + x_3 f_3$.} 21. II.B.2) Vérifier que pour tout $(x_0, x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^4$, $M(x_0, x_1, x_2, x_3)$ est une matrice de similitude. Qu’en conclure ? 22. II.C.1) En utilisant $f_4$, montrer que $f_3$ ne peut être égal à $\pm f_1 f_2$. 23. II.C.2) Montrer que $f_1 f_2 f_3$ est un automorphisme orthogonal, symétrique et non colinéaire à $Id_E$. 24. II.C.3) Quel est le spectre de $f_1 f_2 f_3$ ? Montrer qu’il existe $x \in E$ de norme $1$ tel que $\langle f_1 f_2 f_3(x), x \rangle = 0$. On fixe un tel $x$ pour la suite. 25. II.C.4) Montrer que $F = (x, f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_1 f_2(x), f_1 f_3(x), f_2 f_3(x), f_1 f_2 f_3(x))$ est une famille orthonormale.} 26. II.C.5) On pose $V = Vect(F)$. C’est donc un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $8$. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que $V^\perp$ est stable par $f_1, f_2, f_3$. \item[b)] On note $f’_i$ l’endomorphisme induit par $f_i$ sur $V^\perp$, $i=1,2,3$. Justifier qu’il existe $\delta’_0 \in \{-1, 1\}$ tel que $f’_3 = \delta’_0 f’_1 f’_2$. Quitte à remplacer $f_3$ par $-f_3$, on considère pour la suite que $f’_3 = f’_1 f’_2$. \item[c)] Soit $e$ fixé dans $V^\perp$, de norme $1$. En procédant comme au II.B.1.a) (mais ce n’est pas à refaire), on peut montrer que $(e, f_1(e), f_2(e), f_1 f_2(e))$ est une base orthonormale de $V^\perp$. En remarquant que $f_3(e) = f_1 f_2(e)$, utiliser cette base pour montrer que : $\forall y \in V^\perp, f_4(y) \in V$. Ainsi $W = f_4(V^\perp)$ est un sous-espace vectoriel de $V$ de dimension $4$. \item[d)] Montrer que la somme de $W$ et $V^\perp$ est directe et que $W \oplus V^\perp$ est stable par $f_1, f_2, f_3, f_4$. Aboutir alors à une contradiction. \end{itemize} 27. II.C.6) En déduire la valeur de $d_{12}$. 28. II.D) Dans cette section, la dimension de $E$ est $8$\\ Montrer que, quel que soit $(x_0, …, x_7) \in \mathbb{R}^8$, \[ \left( \begin{array}{cccccccc} x_0 & -x_1 & -x_2 & -x_4 & -x_3 & -x_5 & -x_6 & -x_7 \\ x_1 & x_0 & -x_4 & x_2 & -x_5 & x_3 & -x_7 & x_6 \\ x_2 & x_4 & x_0 & -x_1 & -x_6 & x_7 & x_3 & -x_5 \\ x_4 & -x_2 & x_1 & x_0 & x_7 & x_6 & -x_5 & -x_3 \\ x_3 & x_5 & x_6 & -x_7 & x_0 & -x_1 & -x_2 & x_4 \\ x_5 & -x_3 & -x_7 & -x_6 & x_1 & x_0 & x_4 & x_2 \\ x_6 & x_7 & -x_3 & x_5 & x_2 & -x_4 & x_0 & -x_1 \\ x_7 & -x_6 & x_5 & x_3 & -x_4 & -x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) \] est une matrice de similitude. Que peut-on en déduire ? 29. II.E) Conjecturer la valeur de $d_n$ dans le cas général.}FAQ
Une similitude sur un espace euclidien est une application linéaire qui conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par un même facteur positif. Dans une base orthonormale, la matrice d’une similitude est colinéaire (c’est-à-dire proportionnelle) à une matrice orthogonale. Les similitudes jouent un rôle clé dans de nombreux problèmes de géométrie, d’algèbre et d’analyse, notamment dans le sujet du concours Centrale PC 2010.
Un automorphisme orthogonal est une application linéaire bijective qui préserve le produit scalaire, donc la longueur et les angles. Un automorphisme antisymétrique, lui, vérifie l’égalité ⟨f(x), y⟩ = -⟨x, f(y)⟩ pour tous vecteurs x et y. Lorsqu’un endomorphisme est à la fois orthogonal et antisymétrique, il a des propriétés intéressantes exploitées dans ce sujet, notamment en dimension paire.
La stabilité d’un sous-espace vectoriel S par un endomorphisme f signifie que f(S) est inclus dans S. Si S est stable, son orthogonal S⊥ peut aussi l’être sous certaines conditions, ce qui permet de décomposer l’espace vectoriel et d’analyser le comportement de f sur chaque composante. C’est une technique très utile, autant dans le sujet Centrale PC 2010 que dans de nombreux exercices de concours.
La quantité dₙ désigne la dimension maximale d’un espace vectoriel de similitudes sur un espace de dimension n. Elle est étudiée en détail dans le sujet, en fonction de la parité et des propriétés de n, avec des situations riches donnant lieu à des cas particuliers très instructifs en dimension 2, impair ou pour n = 8. Pour comprendre en profondeur ces notions, il est fortement conseillé de débloquer le corrigé complet sur Prépa Booster, avec toutes les démonstrations et des exercices similaires.
Cette relation signifie que les deux endomorphismes anticommute, une propriété fondamentale qui rappelle le calcul des quaternions ou des matrices de Clifford. Dans le sujet, exploiter cette propriété permet de construire des familles orthogonales, d’établir des bases particulières et d’étudier la structure fine des espaces de similitudes, en lien avec la géométrie et l’algèbre linéaire avancée.
Bien sûr ! Par exemple, en dimension 2, toute matrice réelle de similitude est colinéaire à une matrice orthogonale, donc de la forme λ⋅O, où λ ≠ 0 et O est une matrice orthogonale 2×2. Pour des dimensions supérieures, des exemples impliquant des matrices ressemblant aux matrices de quaternions ou d’octonions sont étudiées dans le sujet, notamment dans la question II.D.
Le polynôme caractéristique permet d’étudier la diagonalisabilité, le spectre et l’inversibilité d’un endomorphisme ou d’une matrice. En concours, c’est un outil incontournable pour prouver l’existence ou non d’inverses, de valeurs propres nulles, et d’étudier la structure d’un espace vectoriel d’endomorphismes comme demandé dans ce sujet. C’est aussi l’un des piliers des démonstrations élégantes exigées en CPGE.
Définir un produit scalaire sur L(E) par (f|g) = tr(f* g) permet de parler de bases orthogonales d’endomorphismes et d’exploiter l’orthogonale pour simplifier des calculs, construire des familles d’endomorphismes bien adaptées au problème, ou même prouver l’indépendance linéaire. C’est une démarche très utilisée dans les sujets de concours pour structurer des sous-espaces ou classifier les automorphismes spécifiques étudiés.
Les sujets de mathématiques du concours Centrale PC sont conçus pour tester ta maîtrise des outils fondamentaux (algèbre, analyse, géométrie) et ta capacité à raisonner et rédiger des démonstrations solides. Bien comprendre les notions abordées comme les similitudes, les bases orthogonales, et la structure des espaces d’endomorphismes, est essentiel pour réussir. Cette maîtrise te sera aussi utile en MPSI, PCSI ou PSI, ainsi qu’aux oraux et tout au long de ta formation scientifique. Profite du corrigé détaillé sur Prépa Booster pour réviser de façon efficace !