Questions du sujet
1. I.A.1) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, \det(AB) = 0. 2. I.A.2) Démontrer que 0 est valeur propre de AB si, et seulement si, 0 est valeur propre de BA. 3. I.B.1) Démontrer que les vecteurs ABX et BX sont non nuls. 4. I.B.2) Démontrer que le vecteur BX est vecteur propre pour la matrice BA. 5. I.B.3) Démontrer que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles.} 6. I.C.1) En factorisant de deux façons différentes la matrice ABA – xA, démontrer que pour tout $x$ réel ou complexe, on a : $\det(AB – x I) = \det(BA – x I)$. 7. I.C.2) En déduire que AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes, avec le même ordre de multiplicité. 8. II.A.1) a) Démontrer que pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, $AX = 0 \implies tAAX = 0$.\\ b) On suppose que $X \in \mathbb{R}^n$ est tel que $tAAX = 0$. Calculer $tXtAAX$ et en déduire que $AX = 0$.\\ c) En déduire que $\Ker g = \Ker f$ puis que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(tAA)$. 9. II.A.2) Démontrer que $tAA$ et $A tA$ sont deux matrices symétriques. 10. II.A.3) En utilisant la partie I, démontrer qu’il existe $P, Q \in O(n)$ et $D \in M_n(\mathbb{R})$ diagonale telles que $tAA = PD tP$ et $A tA = QD tQ$. On pose $D = \operatorname{Diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$.} 11. II.A.4) Démontrer que $D$ possède exactement $r$ termes diagonaux non nuls. On suppose par la suite que $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ sont non nuls et donc $\lambda_{r+1} = \cdots = \lambda_n = 0$. 12. II.A.5) a) En utilisant $tAA = PD tP$, démontrer qu’on peut écrire $D$ sous la forme $tMM$, avec $M \in M_n(\mathbb{R})$.\\ b) Démontrer que $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in [0, +\infty[$.\\ Pour $i \in \{1, \ldots, n\}$, on appelle « valeurs singulières de $A$ » les $n$ nombres $\sigma_i$ définis par $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$. 13. II.A.6) Soient $U, V \in O(n)$. Démontrer que les valeurs singulières de $UAV$ sont exactement celles de $A$. 14. II.A.7) Dans cette question seulement, on suppose que $A \in M_n(\mathbb{R})$ est une matrice symétrique réelle. Déterminer les valeurs singulières de $A$ en fonction des valeurs propres de $A$. 15. II.B.1) Justifier l’existence d’une base orthonormée de $\mathbb{R}^n$ notée $B_1 = (X_1, …, X_n)$ telle que :\\ • Pour tout entier $i \in [1, \rho]$, $tAAX_i = \lambda_i X_i$ ;\\ • $(X_{\rho+1}, …, X_n)$ soit une base de $\Ker f$.} 16. II.B.2) Démontrer que la famille $(AX_1, …, AX_\rho)$ est une famille orthogonale de vecteurs non nuls et une base de $\operatorname{Im}(f)$. 17. II.B.3) Pour tout entier $i \in [1, \rho]$, calculer $\|AX_i\|$. 18. II.B.4) Démontrer qu’il existe une base orthonormée $B_2$ de $\mathbb{R}^n$ telle que $\operatorname{Mat}_{B_1,B_2}(f) = \operatorname{Diag}(\sigma_1, …, \sigma_n)$. 19. II.B.5) Démontrer qu’il existe deux matrices orthogonales $P_1, P_2 \in O(n)$ telles que $A = P_1 \cdot \operatorname{Diag}(\sigma_1, …, \sigma_n) \cdot P_2$. 20. II.C.1) Soient $\sigma_1, …, \sigma_n \in \mathbb{R}^+$ des réels positifs.\\ Démontrer qu’il existe deux matrices $Q_1$ et $Q_2$ dans $O(n)$ telles que :\\ $A = Q_1 \cdot \operatorname{Diag}(\sigma_1, …, \sigma_n)\cdot Q_2 \iff \sigma_1, …, \sigma_n$ sont les valeurs singulières de $A$.} 21. II.C.2) Soient $A, B \in M_n(\mathbb{R})$ deux matrices réelles. Démontrer que :\\ $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs singulières $\iff \exists (R_1, R_2) \in O(n)^2,\, A = R_1 B R_2$. 22. III.A.1) Déterminer le rang de $A$ et calculer $tAA$. 23. III.A.2) Déterminer les valeurs singulières de $A$ que l’on notera $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ avec $\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3$. 24. III.A.3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres de $tAA$ que l’on notera $B_1 = (X_1, X_2, X_3)$. On rangera les vecteurs dans l’ordre décroissant des valeurs propres correspondantes. 25. III.A.4) Déterminer une base orthonormée $B_2 = (Y_1, Y_2, Y_3)$ telle que $\operatorname{Mat}_{B_1, B_2}(f) = \operatorname{Diag}(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$.} 26. III.A.5) Démontrer que $A = P_{B\to B_2} \cdot \operatorname{Diag}(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) \cdot {}^tP_{B\to B_1}$. On pose pour la suite $P = P_{B\to B_1}$, $Q = P_{B\to B_2}$ et $D = \operatorname{Diag}(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)$. 27. III.B.1) Démontrer que $S$ est une partie d’un plan dont on déterminera une base et une équation cartésienne. 28. III.B.2) Démontrer que $S = \{ Q D X_0,\, X_0 \in \mathbb{R}^3,\, \|X_0\| = 1 \}$. 29. III.B.3) Démontrer que dans une base adaptée $B_0$ à déterminer, $y = (y_1, y_2, y_3)_{B_0} \in S \iff \left\lbrace \begin{array}{l} \frac{y_1^2}{\sigma_1^2} + \frac{y_2^2}{\sigma_2^2} \leq 1 \\ y_3 = 0 \end{array} \right. $ 30. III.B.4) Préciser la nature géométrique de l’ensemble $S$.} 31. IV.A.1) Dans cette section on suppose que $\operatorname{rg}(A) = 3$. Démontrer que $A$ admet trois valeurs singulières $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ strictement positives, distinctes ou non. 32. IV.A.2) Démontrer qu’il existe une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ notée $B_0$ telle que : $y = (y_1, y_2, y_3)_{B_0} \in S \iff y_1^2/\sigma_1^2 + y_2^2/\sigma_2^2 + y_3^2/\sigma_3^2 = 1$ 33. IV.A.3) Préciser la nature géométrique de $S$. 34. IV.B.1) Dans cette section, on suppose que $\operatorname{rg}(A) = 1$. Démontrer qu’une seule des valeurs singulières de $A$ est non nulle. On la note $\sigma_1$. 35. IV.B.2) Démontrer que $S$ est un segment dont on donnera la longueur.} 36. V.A – Démontrer que $\operatorname{rg}(A) = p$. 37. V.B – Simplifier le produit matriciel $AA^+$ et en déduire que, si $A$ est une matrice inversible, $A^+ = A^{-1}$. 38. V.C – On note $f$ et $h$ les endomorphismes $\mathbb{R}^n$ dont les matrices dans la base canonique sont respectivement $A$ et $P$. Démontrer que $h$ est un projecteur orthogonal dont on donnera le rang. 39. V.D – Démontrer que $\operatorname{Im}(f) = \operatorname{Im}(h)$. 40. V.E – Soit $Y \in \mathbb{R}^n$ fixé. On considère le système linéaire $AX = Y$, où $X \in \mathbb{R}^n$ est l’inconnu. On suppose que ce système n’a pas de solution et, à défaut, on recherche les vecteurs $X$ tels que la norme de $Y – AX$ soit minimale. Démontrer que $X = A^+ Y$ est l’un de ces vecteurs.}FAQ
Dans ce sujet, tu dois maîtriser les propriétés fondamentales des matrices, notamment le calcul de déterminants, le lien entre rang et noyau, la notion de valeur propre, vecteur propre, ainsi que l’étude et la manipulation des produits de matrices comme AB et BA. Les propriétés des matrices symétriques et orthogonales, ainsi que la réduction en forme diagonale, sont aussi incontournables pour t’en sortir sur l’ensemble des exercices.
La décomposition en valeurs singulières (SVD) est un outil puissant pour écrire toute matrice réelle comme le produit de deux matrices orthogonales et une matrice diagonale à coefficients réels positifs (les valeurs singulières). Cette propriété est souvent utilisée, comme ici, pour comprendre la géométrie associée à une matrice, étudier la résolution de systèmes linéaires ou travailler sur l’optimisation (moindres carrés). C’est un thème transversal des épreuves, très utile bien au-delà de la simple manipulation matricielle.
Une valeur propre provient de la résolution de l’équation AV = λV pour une matrice carrée, tandis qu’une valeur singulière σ s’obtient via la racine carrée des valeurs propres de tAA (ou A tA), et existe même pour des matrices rectangulaires. Les valeurs singulières sont toujours réelles et positives ou nulles, ce qui permet de décrire la ‘taille’ de l’application linéaire sur tous les sous-espaces. Sur les sujets types Concours Centrale, c’est une distinction fondamentale pour l’analyse fine des matrices !
Le pseudo-inverse, noté A^+, te permet de donner une solution optimale aux systèmes linéaires même si le système n’admet pas de solution exacte (système incompatible). Via la SVD, tu peux calculer facilement ce pseudo-inverse et trouver les vecteurs qui minimisent la norme ||Y – AX||, ce qui est primordial dans les questions d’optimisation abordées au concours Centrale. Débloque les corrigés pour voir ces techniques appliquées sur des exemples concrets !
Pour aborder sereinement ce type de sujet, tu dois bosser à fond les outils : bases et dimension, noyau et image, diagonalisation, projet de Gram-Schmidt, propriétés des matrices symétriques et orthogonales, manipulation du déterminant, et bien entendu la SVD. Savoir jongler entre différents points de vue (matriciel, vectoriel, géométrique) te sera d’une aide précieuse !
Les matrices orthogonales préservent les normes et les angles : elles correspondent à des changements de base orthonormés. Utiliser des matrices orthogonales permet de simplifier les calculs tout en gardant la ‘géométrie’ du problème. Voilà pourquoi, lors des diagonalisations ou des SVD, tu vois apparaître systématiquement des matrices orthogonales dans les corrigés d’épreuves.
Le noyau d’un endomorphisme associé à une matrice A, noté Ker(A), c’est précisément l’ensemble des vecteurs X de l’espace qui vérifient AX = 0, autrement dit l’ensemble des solutions du système homogène associé. C’est donc la même chose, mais il faut avoir le réflexe de raisonner en termes d’espaces vectoriels (dimension, base) et pas seulement en termes de calculs de systèmes !
La géométrie et l’algèbre linéaire sont très liées : grâce à la SVD, tu peux interpréter l’image de la sphère unité par une matrice comme un ellipsoïde (axes donnés par les valeurs singulières). Dans le sujet de Centrale PC 2009, on te demande justement de caractériser les ensembles S obtenus géométriquement selon le rang de A : plan, segment, ou ellipsoïde. Cette vision géométrique est primordiale pour aller au-delà des calculs !
Il est crucial de t’entraîner régulièrement sur les annales, de bien revoir tous les points du programme (algèbre linéaire, analyse, mais aussi de l’algèbre bilinéaire et des calculs matriciels avancés). Les corrigés détaillés comme ceux que tu peux débloquer sur Prépa Booster sont idéaux pour repérer les erreurs classiques, affiner ta méthode rédactionnelle et progresser efficacement grâce au dashboard personnalisé.