Questions du sujet
1. I.A – Si $A \in O_3(\mathbb{R})$, calculer $\Vert A \Vert$. 2. I.B – Démontrer que $O_3(\mathbb{R})$ est une partie bornée. En déduire que $O_3(\mathbb{R})$ est un compact de $M_3(\mathbb{R})$. 3. I.C – Démontrer que l’application $M \mapsto \Vert M \Vert$, de $M_3(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ est continue. 4. I.D – Soit $A \in M_3(\mathbb{R})$. Démontrer qu’il existe $U \in O_3(\mathbb{R})$ tel que $d\left( A, O_3(\mathbb{R}) \right) = \Vert A – U \Vert$. 5. I.E – Soit $\Phi$ l’application de $M_3(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ définie par $\Phi(M) = d(M, O_3(\mathbb{R}))$.} 6. I.E.1) Soient $M, N \in M_3(\mathbb{R})$. Démontrer que : $\forall U \in O_3(\mathbb{R}), \ d(M, O_3(\mathbb{R})) \leq \Vert N – U \Vert + \Vert N – M \Vert$, puis que : $d(M, O_3(\mathbb{R})) \leq d(N, O_3(\mathbb{R})) + \Vert N – M \Vert$. 7. I.E.2) En déduire que $\Phi$ est continue. 8. I.F – Soit $P$ un sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$. Si $r \in \mathbb{R}_+$, on pose $B_r = \{ M \in M_3(\mathbb{R}) \mid \Vert M \Vert \leq r \}$. 9. I.F.1) Démontrer qu’il existe $r > 0$ tel que $d(P, O_3(\mathbb{R})) = d(P \cap B_r, O_3(\mathbb{R}))$. 10. I.F.2) Démontrer qu’il existe $A \in P$ telle que $d(P, O_3(\mathbb{R})) = d(A, O_3(\mathbb{R}))$.} 11. II.A – Démontrer que ${}^t MM$ est symétrique à valeurs propres positives. 12. II.B – Démontrer qu’il existe $S \in M_3(\mathbb{R})$ symétrique à valeurs propres positives telle que ${}^t MM = S^2$. 13. II.C – Démontrer que si $M$ est inversible, il existe $U \in O_3(\mathbb{R})$ telle que $M = US$. \\ On admettra que le résultat reste vrai si $M$ est non inversible, c’est-à-dire : «~Si $M \in M_3(\mathbb{R})$, il existe $U \in O_3(\mathbb{R})$ et $S \in S_3^+(\mathbb{R})$, telles que $M = US$ (décomposition polaire)~». 14. II.D – On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}$. \\ En appliquant la méthode décrite ci-dessus déterminer $U \in O_3(\mathbb{R})$ et $S \in S_3^+(\mathbb{R})$ telles que $M = US$.} 15. III.A.1) Soient $A \in M_3(\mathbb{R})$ et $U \in O_3(\mathbb{R})$. Démontrer que $\Vert UA \Vert = \Vert AU \Vert = \Vert A \Vert$. En déduire que, pour tout $A \in M_3(\mathbb{R})$, il existe une matrice $D$ diagonale à coefficients positifs telle que : $d(A, O_3(\mathbb{R})) = d(D, O_3(\mathbb{R}))$. 16. III.A.2) En déduire que si $V$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$, il existe $W$ sous-espace vectoriel de $M_3(\mathbb{R})$ vérifiant :\\ – $\dim(W) = \dim(V)$\\ – $d(W, O_3(\mathbb{R})) = d(V, O_3(\mathbb{R}))$\\ – Il existe $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \in W$ où les $\lambda_i$ sont dans $\mathbb{R}_+$, telle que $d(W, O_3(\mathbb{R})) = d(D, O_3(\mathbb{R}))$. 17. III.B.1) Soit $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ où les $\lambda_i$ sont dans $\mathbb{R}_+$. Si $U \in O_3(\mathbb{R})$, montrer que $\Vert D – U \Vert^2 = \left( \sum_{i=1}^3 \lambda_i^2 \right) – 2\langle U, D \rangle + 3$. 18. III.B.2) Si $U \in O_3(\mathbb{R})$, montrer que $\langle U, D \rangle\leq \sum_{i=1}^3 \lambda_i$. 19. III.B.3) En déduire que $d(D, O_3(\mathbb{R})) = \Vert D – I_3 \Vert$.} 20. III.C – Pour la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}$ définie dans la question II.D, calculer la distance $d(M, O_3(\mathbb{R}))$. 21. IV.A.1) Soit $A \in V$. En considérant les valeurs propres de ${}^t AA$, démontrer l’inégalité : $d(V, O_3(\mathbb{R})) > 1$. 22. IV.A.2) Calculer $d(I_3, V)$, puis en déduire la valeur de $d(V, O_3(\mathbb{R}))$. 23. IV.B – Comparer $(D – I_3)^\perp$ et $V$. 24. IV.C – Vérifier que $(R_1′(0), R_2′(0), R_3′(0))$ est une famille libre formée de matrices orthogonales à $I_3 – D$. Démontrer qu’il existe $a, b, c \in \mathbb{R}$ non tous nuls tels que $aR_1′(0) + bR_2′(0) + cR_3′(0) \in V$.\\ $a, b, c$ sont ainsi fixés pour la suite, et on pose $f : t \in \mathbb{R} \mapsto R_1(a t) R_2(b t) R_3(c t)$.} 25. IV.D – Démontrer que $f$ a un développement limité du type : $f(t) = I_3 + tA + t^2(B + C) + t^2\varepsilon(t)$ avec $\varepsilon(t) \xrightarrow[t \to 0]{} 0$ où $A, B, C \in M_3(\mathbb{R})$ vérifient : \begin{itemize} \item $A \in V$ \item $B$ orthogonale à $I_3 – D$ \item $C = \frac{1}{2} \operatorname{diag}(-a^2 – b^2, -a^2 – c^2, -b^2 – c^2)$. \end{itemize} Dans la suite, $\varepsilon$ est la fonction apparaissant dans ce développement limité de $f$. 26. IV.E – Justifier que : $\Vert I_3 + t^2 (B + C + \varepsilon(t)) – D \Vert > \Vert I_3 – D \Vert$. 27. IV.F – Établir que : \\ $\Vert I_3 + t^2(B + C + \varepsilon(t)) – D \Vert^2 = \Vert I_3 – D \Vert^2 + 2 t^2\langle I_3 – D, C \rangle + t^2 \varepsilon_2(t)$ \\ avec $\varepsilon_2(t) \xrightarrow[t \to 0]{} 0$. Qu’en déduire sur $\langle I_3 – D, C \rangle$ ? 28. IV.G – Démontrer que l’un au moins des trois réels $2 – x – y$, $2 – y – z$, $2 – x – z$ est négatif ou nul. \\ On suppose pour la suite, ce qui ne change rien, que $2 – x – y \leq 0$. 29. IV.H – Démontrer que $x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z$.} 30. IV.I – Identifier géométriquement les ensembles suivants : \begin{itemize} \item $E = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = x + y + z \}$ \item $F = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y = 2 \}$ \item $G = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y > 2 \}$ \end{itemize} Justifier que $E \cap F$ est un cercle dont on déterminera le rayon. Quel est le diamètre de $E \cap G$ (c’est-à-dire la distance maximum entre deux de ses points) ? 31. IV.J – Démontrer que $d(V, O_3(\mathbb{R})) \leq 1$.}FAQ
Les matrices orthogonales et le groupe O₃(ℝ) apparaissent fréquemment au concours Centrale, notamment en filière PC. Il faut savoir caractériser une matrice orthogonale, comprendre la notion de norme matricielle, les propriétés de compacité dans les espaces de matrices, la distance à un ensemble, ainsi que maîtriser les applications continues sur les matrices. Penser aussi à maîtriser la décomposition polaire et les propriétés des matrices symétriques à valeurs propres positives.
La décomposition polaire permet d’écrire toute matrice réelle carrée comme le produit d’une matrice orthogonale et d’une matrice symétrique positive. C’est une technique fondamentale pour analyser ou rapprocher une matrice quelconque du groupe O₃(ℝ), et elle est très utile pour calculer la distance d’une matrice à l’ensemble des matrices orthogonales. Ces compétences sont incontournables pour briller sur un sujet comme celui du concours Centrale 2008, filière PC.
Les notions topologiques (compacité, continuité, distance) sont centrales pour traiter les ensembles de matrices, notamment lors de la recherche d’un élément optimisant une distance. Il faut bien connaître la définition formelle de la distance à un ensemble (la borne inférieure des distances à tous ses éléments), savoir exploiter la compacité de O₃(ℝ) pour assurer l’existence d’un minimum, et utiliser la continuité de la norme pour garantir la stabilité des résultats obtenus. Ces outils sont essentiels dans l’analyse rigoureuse attendue au concours.
La norme matricielle permet de quantifier la « taille » d’une matrice et sert de base pour définir la distance entre matrices, tandis que le produit scalaire matriciel intervient dans les identités de distance et d’optimisation. Maîtriser ces outils t’aidera à traiter les calculs d’écart à O₃(ℝ) ou à d’autres ensembles, et à manipuler les relations orthogonales en lien avec la géométrie des matrices – ce qui tombe souvent lors des oraux comme à l’écrit.
Dès lors que l’ensemble de départ est compact (comme O₃(ℝ) dans M₃(ℝ)), et que la fonction de distance considérée est continue (typiquement, la norme matricielle ou la distance induite), on peut invoquer le théorème du minimum pour assurer qu’il existe une matrice qui réalise effectivement cette distance minimale. C’est l’un des classiques de l’analyse matricielle en concours ! Pour des corrections détaillées et l’accès à des méthodes prêtes à l’emploi, débloque les corrigés sur Prépa Booster.
Diagonaliser une matrice, ou utiliser une réduction orthogonale, permet souvent de simplifier énormément la recherche de la distance à l’ensemble des matrices orthogonales. Cela ramène le problème à étudier des matrices diagonales à coefficients réels positifs, pour lesquelles les calculs sont bien plus accessibles. Cette démarche s’appuie à la fois sur l’invariance de la norme par conjugaison orthogonale et sur les formes classiques de l’analyse linéaire.
Lis tout d’abord attentivement chaque question pour repérer les liens entre les parties algébriques (calculs, théorèmes) et les aspects géométriques (compacité, optimisation, interprétation des ensembles). Travaille régulièrement les propriétés de normes, distances, compacts et matrices particulières (orthogonales, symétriques positives). Enfin, entraîne-toi avec des corrigés d’annales : tu pourras retrouver sur Prépa Booster une banque d’exercices corrigés et un dashboard personnalisé pour suivre tes progrès.