Questions du sujet
1. 1) On se propose de démontrer le résultat suivant : « deux matrices de semblables dans $\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ sont semblables dans $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$. »\\ Soient donc $A$ et $B$ deux matrices de $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ semblables dans $\mathbb{M}_n(\mathbb{C})$ et un élément $P$ de $GL_n(\mathbb{C})$ tel que $A = PBP^{-1}$.\\ a) Montrer qu’il existe $R, J$ tels que $P = R + iJ$, avec $R, J \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})$.\\ b) Montrer que, pour tout $t \in \mathbb{C}$, $A = (R + tJ)B(R + tJ)^{-1}$.\\ c) Montrer qu’il existe $t_0 \in \mathbb{R}$ tel que $\det(R + t_0J) \neq 0$.\\ d) En déduire que $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$.} 2. 2)\\ a) Montrer que tout polynôme à coefficients réels de degré impair possède au moins une racine réelle.\\ b) En déduire que s’il existe une matrice $A$ de $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\mathcal{P}_A()$, alors $n$ est pair.} 3. I.A.1) On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et on désigne par $u$ l’endomorphisme associé.\\ a) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de $s_1$, symétrie par rapport à la droite $Ox$ parallèlement à la droite $Oy$.\\ b) Déterminer, dans la base canonique, la matrice de l’application $s_2$.\\ En déduire qu’il existe une symétrie $s$, qu’on précisera, telle que $u = s_2 \circ s_1 = s \circ o$.} 4. I.A.2) On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$. \\ a) Montrer que $A$ est semblable à $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et donner une matrice $P \in \mathbb{M}_2(\mathbb{Z})$ de déterminant $1$ telle que $A = PMP^{-1}$.\\ b) Montrer que $A$ est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on précisera.\\ Soient $\alpha$ et $\beta$ des nombres réels tels que $\alpha \beta \neq 0$ et $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.\\ c) Montrer que $B = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & -\alpha \end{pmatrix}$ est semblable à $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ et donner une matrice $Q \in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $BQ = MQ$.\\ Indication : on pourra calculer $Be_1$ et $Be_2$. \\ d) Montrer que $B$ est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on ne demande pas de préciser.} 5. I.A.3) On considère la matrice $M(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels tels que $\alpha^2 + \beta^2 = 1$.\\ Montrer que $M(\alpha, \beta)$ est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries qu’on ne demande pas de préciser.} 6. I.A.4) On considère à présent la matrice $M(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \alpha & -\beta \end{pmatrix}$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels tels que $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$.\\ Montrer que $M(\alpha, \beta)$ est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d’une homothétie.} 7. I.A.5) Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ appartenant à $\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$. \\ a) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur les coefficients de $A$ pour que $\mathcal{P}_A()$ soit réalisée.\\ b) En supposant que $A$ vérifie $\mathcal{P}_A()$, et en étudiant la diagonalisation dans $\mathbb{C}^2$ de $A$, montrer qu’il existe une unique matrice, semblable à $A$, du type $M(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{pmatrix}$ avec $\alpha$ réel et $\beta$ réel strictement positif. Expliciter $\alpha$ et $\beta$ en fonction de $a,b,c,d$.\\ c) Que peut-on dire de $A$ si $A$ vérifie $\mathcal{P}_A()$ et est dans $\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$ ?\\ d) Montrer que $A$ est la matrice, dans la base canonique, de la composée de deux symétries et d’une homothétie.} 8. I.A.6) On suppose que $\mathbb{R}^2$ est muni de sa structure euclidienne orientée canonique (i.e. $(e_1,e_2)$ est orthonormée directe). Que sont alors les endomorphismes de matrice $M(\alpha, \beta)$ (avec $\alpha$ et $\beta$ réels tels que $\alpha^2+\beta^2=1$) dans la base canonique ?} 9. I.B.1) Soit $A$ une matrice de $\mathbb{M}_{2p}(\mathbb{R})$ vérifiant $\mathcal{P}_A()$. Soit $B$ la matrice de $\mathbb{M}_p(\mathbb{R})$ définie par blocs sous la forme $A = \begin{pmatrix} 0 & B \\ -B & 0 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ et qu’il existe une matrice $P \in GL_p(\mathbb{R})$, des entiers naturels $q$ et $r$ tels que $B$ soit sous la forme d’une matrice par blocs\\ \[ B = \begin{pmatrix} I_q & 0 \\ 0 & -I_r \end{pmatrix} \] On convient que cette matrice vaut $I_p$ lorsque $q=p$ et $r=0$ et qu’elle vaut $-I_p$ lorsque $q=0$ et $r=p$.} 10. I.B.2) Déterminer une matrice par blocs $P$ de $\mathbb{M}_p(\mathbb{R})$ inversible et constituée de multiples de $I_p$ telle que : \[ P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 0 & I_p \\ -I_p & 0 \end{pmatrix} \] } 11. I.B.3) En déduire que $A$ est semblable dans $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ à la matrice \[ \begin{pmatrix} 0 & I_q & 0 & 0 \\ -I_q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -I_r \\ 0 & 0 & I_r & 0 \end{pmatrix} \] } 12. I.B.4) Montrer alors que $A$ est semblable dans $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ à une matrice du type \[ \operatorname{diag}(M(0,1),\dots,M(0,1)) \] } 13. I.B.5) Exemple : on considère dans $\mathbb{M}_4(\mathbb{R})$ la matrice \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 & -15 \\ -4 & 2 & -5 & 10 \\ 23 & -4 & -6 & -2 \\ 1 & -24 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] a) Déterminer une matrice inversible $M \in \mathbb{M}_4(\mathbb{R})$ telle que $M^{-1}AM = \operatorname{diag}(M(0,1),M(0,1))$.\\ b) En utilisant la technique vue à la question I.A.1, montrer que $A$ est la matrice, dans la base canonique de $\mathbb{R}^4$, de la composée de deux symétries qu’on précisera.} 14. II.A.1) Dans cette question, désigne une matrice $A$ de $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = -I_n$. Montrer que $\mathcal{P}_A()$ est réalisée.} 15. II.A.2) Si $A’$ est obtenue à partir de $A$ par utilisation d’une opération élémentaire, comment déduit-on $\mathcal{P}_{A’}()$ de $\mathcal{P}_A()$ ? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme :\\ a) $L_i \leftrightarrow L_j$\\ b) $L_i \leftarrow \alpha L_i$ avec $\alpha \in \mathbb{R}^*$\\ c) $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$} 16. II.A.3)\\ a) En utilisant II.A.1, montrer qu’il existe $i \ge 2$ tel que $A_{i,1} \neq 0$.\\ b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu’il existe $P \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ inversible telle que si $A’ = PAP^{-1}$ alors $A’_{i,1} = 0$ si $i \neq 2$ et $A’_{2,1} = 1$.\\ c) Montrer alors que $A’_{i,2} = 0$ si $i \neq 1$ et $A’_{1,2} = -1$.} 17. II.A.4) Montrer qu’il existe $Q \in \mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ inversible telle que $QA’Q^{-1}$ soit de la forme par blocs avec $M(0,1)$, $B \in \mathbb{M}_{n-2}(\mathbb{R})$.} 18. II.A.5) Montrer que $A$ est semblable à une matrice du type \[ \operatorname{diag}(M(0,1),\dots,M(0,1)) \] } 19. II.A.6) Exemple : en utilisant la méthode décrite dans cette partie, trouver une matrice inversible $M$ de $\mathbb{M}_4(\mathbb{R})$ telle que $MAM^{-1} = \operatorname{diag}(M(0,1),M(0,1))$ où $A$ est la matrice de la question I.B.5). On fera apparaître clairement les opérations élémentaires utilisées.} 20. II.B.1) Dans cette question $A$ est une matrice de $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2 = \alpha I_n$ avec $(\alpha,\beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$. Montrer que $A$ vérifie $\mathcal{P}_A()$.} 21. II.B.2) Montrer que $A$ est semblable à la matrice d’ordre $n$ \[ \operatorname{diag}(M(\alpha,\beta), \ldots, M(\alpha,\beta)) \] Que peut-on dire de $\det(A)$~? } 22. II.C.1) Soit l’endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par : pour tout polynôme $P$ de $\mathbb{R}_n[X]$, $u(P)(x) = x P'(x)$.\\ Déterminer pour quelles valeurs de $i$ et $j$ dans $\{0,\ldots,n-1\}$, le plan $\text{vect}(X^i, X^j)$ est stable par $u$.} 23. II.C.2) En déduire que la matrice $A$ telle que $A_{n+1-i,i} = -1$ pour $1 \leq i \leq n$ et les autres coefficients de $A$ étant nuls, est semblable à \[ \operatorname{diag}(M(0,1), \ldots, M(0,1)) \] } 24. III.A.1) Montrer que si $A = \operatorname{diag}( M(\alpha_1,\beta_1), M(\alpha_2,\beta_2), \ldots, M(\alpha_p, \beta_p) )$, le polynôme caractéristique de $A$ ne possède que des racines simples complexes non réelles.} 25. III.A.2) En déduire que (i) $\implies$ (ii) pour la question d’équivalence de la partie III.} 26. III.B.1) On suppose que $A$ vérifie (ii). Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ de dimension $2$ et stable par $A$. Soit une base $(f_1, f_2)$ que l’on complète en une base $(f_1, \ldots, f_n)$ de $\mathbb{R}^n$. Montrer que dans la base $(f_1, \ldots, f_n)$ de $\mathbb{R}^n$, l’endomorphisme canoniquement associé à $A$ a une matrice s’écrivant par blocs \( \begin{pmatrix} A’ & B\\ 0 & C \end{pmatrix} \) avec $A’ \in \mathbb{M}_2(\mathbb{R})$.} 27. III.B.2) Vérifier que $A’$ ne possède pas de valeur propre réelle et en déduire que $A’$ est semblable à une matrice du type $M(\alpha, \beta)$, avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$. } 28. III.B.3) Montrer que $\ker(A – \alpha I_n) \subset \ker(A – (\alpha I_n + 2\beta I_n))$.} 29. III.B.4) Montrer que $E$ possède un sous-espace vectoriel supplémentaire stable par $A$ dans $\mathbb{R}^n$.} 30. III.B.5) En utilisant une technique analogue à celle vue dans les parties II.A.3 et II.A.4, montrer que $E$ possède un supplémentaire stable par $A$ dans $\mathbb{R}^n$, puis conclure que iii) est réalisée.} 31. III.C) En raisonnant par récurrence, montrer que (iii) $\implies$ (i).} 32. III.D) Exemple : Soit \[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0\\ 1 & -3 & 0 & 4\\ 0 & -5 & 2 & 2\\ 0 & -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \] En admettant que $P$ annule $A$, déterminer une matrice inversible $M \in \mathbb{M}_4(\mathbb{R})$ et des réels $\alpha, \beta, \alpha’, \beta’$ tels que \[ MAM^{-1} = \operatorname{diag}(M(\alpha, \beta), M(\alpha’, \beta’)) \] }FAQ
Dans ce sujet de mathématiques Centrale PC 2005, tu travailles sur la notion de similitude de matrices, aussi bien sur le corps des réels que celui des complexes. L’accent est mis sur la caractérisation des matrices semblables, la réduction par blocs, la diagonalisation, et la relation entre opérations élémentaires et changements de base. On aborde aussi l’étude des matrices spéciales telles que les symétries, homothéties, et matrices vérifiant A² = -I ou A² = αI. C’est un concentré des techniques incontournables des concours pour maîtriser les endomorphismes et leurs matrices !
Dans le plan ou l’espace à 4 dimensions, beaucoup de matrices réelles peuvent être interprétées comme compositions de symétries et d’homothéties. Ceci permet de donner une signification géométrique aux actions linéaires et d’obtenir des formes canoniques simples, notamment pour les matrices qui n’ont pas de valeurs propres réelles ou qui vérifient une équation comme A² = -I. Ce type de réduction favorise le raisonnement sur les sous-espaces stables et offre des outils puissants pour résoudre des exercices classiques de concours.
Le polynôme caractéristique d’une matrice est l’outil central pour étudier ses valeurs propres. Dans ce sujet, il sert à caractériser la diagonalisation, à distinguer les cas où les valeurs propres sont réelles ou complexes, et à guider la construction des matrices semblables, notamment lors de la mise sous forme canonique réelle. Comprendre le lien entre polynôme caractéristique et forme des matrices t’aide dans tous les exercices de classification et de réduction des matrices, avec de nombreux exemples dans cette épreuve.
Les opérations élémentaires, c’est le b.a.-ba : permuter des lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ou ajouter un multiple d’une ligne à une autre. Elles servent à simuler des changements de base et donc à transformer la représentation des endomorphismes sous forme matricielle. Maîtriser leur manipulation te permet de simplifier des matrices, de construire explicitement des matrices semblables, et d’accélérer la résolution d’exercices très classiques du concours. Besoin d’exemples détaillés ou de schémas de résolution ? Débloque les corrigés sur Prépa Booster pour tout retrouver !
L’espace euclidien permet de donner un sens géométrique précis aux matrices : on associe la matrice à un endomorphisme (symétrie, rotation, etc.) selon son action sur une base orthonormée. Pour une matrice de la forme M(α, β), par exemple, avec α² + β² = 1, il s’agit d’une rotation dans le plan. Reconnaître ces formes t’aide à interpréter les consignes du sujet et à relier l’algèbre linéaire à la géométrie, ce qui est attendu dans les meilleures copies au concours.
Sur ℂ, toute matrice diagonalisable admet une base de vecteurs propres complexes, tu peux donc toujours écrire une matrice sous forme diagonale (si le polynôme caractéristique se scinde). Sur ℝ, quand les valeurs propres sont non réelles, la meilleure forme que tu puisses atteindre est souvent une réduction en blocs 2×2 associés aux paires de complexes conjugués, d’où l’importance, dans ce corrigé Centrale 2005 PC, d’étudier finement ces blocs réels associés. Attention, les formes réelles (Jordan réelle) ne coïncident pas toujours avec la diagonale !
Parce qu’elles modélisent des transformations géométriques fondamentales : une matrice A telle que A² = -I représente une rotation d’angle π/2 (ou une multiplication par i), tandis qu’A² = αI ramène à une homothétie ou une similitude. Ces cas dégagent aussi des méthodes puissantes de réduction, utiles pour traiter des familles entières de matrices d’un seul coup. C’est donc un vrai classique des concours et un très bon entraînement pour tes propres rédactions et raisonnements !
Oui, car dans de nombreux problèmes de concours, notamment ici, il te faut parfois exhiber explicitement la matrice de passage, et pas seulement prouver son existence. Cela démontrera ta maîtrise du calcul matriciel, de la construction d’une base adaptée (diagonalisation, mise sous forme trigonométrique…) et de l’utilisation des opérations élémentaires. Si tu veux voir comment on construit ces matrices de passage étape par étape, tu peux débloquer les corrigés et accéder à des corrigés d’annales entièrement explicités sur Prépa Booster.