Questions du sujet
1. I.A – Soit un sous-espace $F$ de $E$, stable par $f$. Montrer que si $x_0 \in F$, la trajectoire de $x_0$ est contenue dans $F$. 2. I.B – Soit $f$ un élément de $\mathcal{L}(E)$, un vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre $\lambda$ et la trajectoire $x$ de $x_0$. Exprimer $x(t)$ en fonction de $x_0$, $\lambda$, $t$. 3. I.C – Soit $f$ un élément de $\mathcal{L}(E)$, un élément $x_0$ de $E$ n’appartenant pas à $\mathrm{Ker}\ f$ et la trajectoire de $x_0$. Exprimer $x(t)$ en fonction de $x_0$, $f(x_0)$ et préciser la nature géométrique de cette trajectoire. 4. I.D – Soit $f$ un élément de $\mathcal{L}(E)$, un élément $x_0$ de $E$. On suppose qu’il existe un réel $k$ n’appartenant pas à $\{0\}$ et un réel $\phi$ strictement positif tels que \[ x”(t) + k^2 x(t) = 0, \qquad x(0) = x_0,\ x'(0) = f(x_0). \] On note $x$ la trajectoire de $x_0$. 5. I.D.1) Montrer que la famille $G = \left\{x_0,f(x_0)\right\}$ est libre et justifier l’existence de deux applications $u$ et $v$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, telles que \[ \forall t\in \mathbb{R},\ x(t) = u(t)x_0 + v(t)f(x_0). \] } 6. I.D.2) Montrer que $u$ et $v$ sont de classe $C^2$. Former une équation différentielle linéaire du second ordre, avec deux conditions initiales, vérifiée par $u$. En déduire l’expression de $x(t)$. 7. I.D.3) Montrer que $x$ est bornée si et seulement si $f(x_0) \in \mathbb{R}x_0$. Dans ce cas, décrire géométriquement la trajectoire $x$. À quelles conditions cette trajectoire est-elle un cercle ? 8. I.E.1) Montrer que $G$ est stable par $f$. 9. I.E.2) Montrer que $G$ est libre si et seulement si $g(x_0) \neq 0$. 10. I.E.3) On suppose que $g(x_0) \neq 0$. Montrer que la trajectoire de $x_0$ peut s’écrire sous la forme : \[ x(t) = u(t)x_0 + v(t)f(x_0)+w(t)g(x_0)+h(t)gf(x_0), \] Déterminer $u(t)$, $v(t)$, puis $w(t)$, puis $h(t)$. Montrer que cette trajectoire n’est pas bornée.} 11. II.A – Soit $\lambda$ une valeur propre réelle de $f$. Montrer que $\lambda = 0$. 12. II.B – Montrer que $\mathrm{Ker}\ f = \mathrm{Ker}\ f^2$ et $E = \mathrm{Im}\ f \oplus \mathrm{Ker}\ f$. 13. II.C – Exhiber, sans démonstration, un polynôme non nul, à coefficients réels, qui annule $f$. Démontrer qu’il existe un polynôme unitaire à coefficient réel qui est de degré minimal parmi les polynômes non nuls de $\mathbb{R}[X]$ annulant $f$.\\ Dans toute la suite de la section II.C, ce polynôme est noté $P$. 14. II.C.1) Soit $Q$ un diviseur non constant de $P$. Montrer que $Q(f)$ ne peut être inversible. 15. II.C.2) On suppose que $P$ admet une racine réelle $\lambda$. Montrer que $\lambda = 0$ et, en s’aidant de la question II.B, que l’ordre de multiplicité de cette racine dans $P$ est égal à $1$. 16. II.C.3) Que dire de $P$ si $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ ?} 17. II.C.4) On suppose que $P$ possède une racine complexe non réelle. On écrit $k e^{i\varphi}$ sous forme trigonométrique : $k > 0$, $\varphi$ réels, et $k,\varphi$ n’appartenant pas à $\pi\mathbb{Z}$. Démontrer qu’il existe un vecteur $x_0\neq0$ tel que :\\ \[ x”(t) + 2k\cos\varphi x'(t) + k^2 x(t) = 0 \] En déduire la valeur de $\cos\varphi$. Qu’en conclure sur les racines non réelles de $P$ ? 18. II.C.5) Soit $k>0$, montrer que $\mathrm{Ker}\ f^2 + k^2 \mathrm{Id}_E = E$. 19. II.C.6) On suppose $f\neq0$ ; démontrer qu’il existe un entier $s\geq1$ et des réels $a_1, a_2,\ldots,a_s$ strictement positifs et distincts tels que $P$ soit de l’une ou l’autre des deux formes suivantes : \[ P = \prod_{i=1}^s (X^2 + a_i^2) \] ou \[ P = X\prod_{i=1}^s (X^2 + a_i^2) \] 20. II.D – Prouver que $f$ vérifie les deux propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item[i)] L’endomorphisme $f$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont des réels négatifs ou nuls. \item[ii)] $\operatorname{rg}(f) = \operatorname{rg}(f^2)$. \end{enumerate} Prouver que les dimensions des sous-espaces propres de $f$ associés à ses valeurs propres strictement négatives sont paires. 21. II.E – Réciproquement soit $f$ un élément de $\mathcal{L}(E)$, non nul et vérifiant les deux propriétés i) et ii) de la question II.D). Établir l’existence d’un entier strictement positif, de sous-espaces tous non réduits à $\{0\}$, de dimensions paires et stables par $f$ et de réels $a_1,\ldots,a_s$, strictement positifs et distincts, tels que : \begin{align*} E &= E_1\oplus\cdots\oplus E_s,\\ \forall i\in\{1,\dots,s\}\\ \forall x\in E_i, \quad f^2(x) & = -a_i^2 x \end{align*} Étudier la trajectoire d’un vecteur appartenant à l’un des $E_i$ et en conclure que $f \in \mathcal{B}(E)$.} 22. III.A.1) Soit un élément $f$ de $\mathcal{L}(E)$. Prouver l’équivalence des deux propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item[a)] $f^* + f = 0$ \item[b)] $\forall u \in E,\ (u|fu) = 0$. \end{enumerate} Un endomorphisme vérifiant l’une de ces deux propriétés est appelé endomorphisme antisymétrique de $E$. L’ensemble de ces endomorphismes est noté $\mathcal{A}(E)$. 23. III.A.2) Soit $f$ un élément de $\mathcal{A}(E)$ et une trajectoire $x$ associée ; calculer la dérivée de la fonction $t \mapsto \|x(t)\|^2$. Montrer que celle-ci est constante. 24. III.B – Soit $f$ un élément de $\mathcal{A}(E)$ et un sous-espace $F$ de $E$ stable par $f$. Montrer que $f_{|F} \in \mathcal{A}(F)$. 25. III.C – Montrer que $\mathcal{S}\mathcal{P}(E)\subset \mathcal{B}(E)$. 26. III.D.1) Dans cette section III.D, $E$ est de dimension $2$ et $f$ est un élément non nul de $\mathcal{S}\mathcal{P}(E)$. Démontrer que $f^2$ est une homothétie de rapport strictement négatif.} 27. III.D.2) Soit $x_0$ un élément de $E$ et $a$ le centre d’un cercle contenant la trajectoire de $x_0$. Justifier que $x_0$ peut s’écrire sous la forme $a + \alpha x_0 + \beta f(x_0)$ et prouver que $x_0 – a$ et $f(x_0)$ sont colinéaires. 28. III.D.3) Prouver que $\mathcal{A}(E) = \mathcal{S}\mathcal{P}(E)$. 29. III.E.1) Soit $E$ un espace vectoriel orienté de dimension $3$.\\ Soit $\omega \in E – \{0\}$ et un vecteur $v \in E$ orthogonal à $\omega$. On définit l’endomorphisme $\psi$ de $E$ par $\psi : u \mapsto a (\omega \wedge u) + \omega v$.\\ Montrer que $\psi$ est antisymétrique si et seulement si $v = 0$. 30. III.E.2) Montrer que si $v$ est non nul, $\psi$ appartient à $\mathcal{S}\mathcal{P}(E)$.\\ On pourra commencer par prouver que pour tout $x_0 \in E$, si $x$ désigne la trajectoire de $x_0$, $\|x(t) – \alpha \omega\|$ est constant et l’on cherchera le centre de la sphère sous la forme $\alpha \omega$, où $\alpha$ est une constante à déterminer.\\ On se propose de prouver que tout endomorphisme élément de $\mathcal{S}\mathcal{P}(E)-\{0\}$ est de la même forme que $\psi$. 31. III.E.3) Soit $f$ un élément de $\mathcal{S}\mathcal{P}(E) – \{0\}$. Établir que $f$ n’admet qu’une seule valeur propre strictement négative, notée $-\mu^2$, et que $f^2 = -\mu^2 \mathrm{Id}_{\mathrm{Im} f}$.} 32. III.E.4) En déduire l’existence d’une base orthonormée de $E$ où la matrice de $f$ est de la forme \[ \begin{pmatrix} 0 & -\mu & 0 \\ \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] et conclure. 33. III.F – On suppose, dans cette question, que $f$, élément de $\mathcal{L}(E)$, vérifie $f^2 = -\mu^2 \mathrm{Id}_{E}$ où $\mu > 0$. À l’aide des résultats des questions III.B et III.D, montrer que $f$ est antisymétrique. 34. III.G – Démontrer que, dans le cas général, $\mathcal{S}\mathcal{P}(E)$ est constitué des endomorphismes qui vérifient les deux propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item[i)] $E = \mathrm{Ker}\ f \oplus \mathrm{Im}\ f$. \item[ii)] L’endomorphisme induit par $f$ sur $\mathrm{Im}\ f$ est antisymétrique. \end{enumerate} Ces deux conditions étant supposées réalisées, préciser géométriquement en fonction de $x_0$ élément de $E$, le centre d’une sphère qui contient la trajectoire de $x_0$.}FAQ
Pour cet exercice, il faut être à l’aise avec les notions de sous-espaces vectoriels, endomorphismes, stabilité, noyau (Ker), image (Im), valeurs et vecteurs propres, ainsi qu’avec les propriétés de diagonalisabilité. Le sujet te pousse également à utiliser les polynômes annulateurs et à comprendre la différence entre application linéaire, endomorphisme, et famille libre. Tu dois savoir manier base, combinaison linéaire, et notions de somme directe, tout en ayant des automatismes sur les démonstrations de base.
Ce sujet explore la dynamique des trajectoires associées à des endomorphismes, ce qui permet de faire le lien entre algèbre linéaire et équations différentielles linéaires à coefficients constants. Comprendre les liens entre évolution temporelle, solutions de systèmes différentiels et la structure de l’endomorphisme est central. Cela prépare aussi à la physique (mécanique, oscillateurs), où ces outils sont incontournables en PC.
Un endomorphisme antisymétrique f sur un espace euclidien E vérifie la relation f* + f = 0, où f* est l’adjoint de f. Une autre caractérisation : pour tout u, (u | f(u)) = 0. Ce type d’endomorphisme intervient souvent dans l’étude des rotations, mouvements circulaires et systèmes conservatifs. Ce sont donc des objets-clés en maths de CPGE scientifique et il est fréquent qu’ils interviennent au concours Centrale.
Un sous-espace F de E est stable par un endomorphisme f si, pour tout x dans F, f(x) reste dans F. Cette notion sert à décomposer l’espace vectoriel en parties « intelligentes » sur lesquelles f agit de manière simple. En concours, montrer la stabilité te permet d’exploiter des bases adaptées ou de séparer l’étude en cas presque indépendants, un atout énorme pour progresser dans la résolution.
Le polynôme annulateur d’un endomorphisme f est le plus bas degré non nul P tel que P(f) = 0. Il permet de découper l’étude de f, de décrire ses valeurs propres et d’accéder à ses espaces caractéristiques. En concours, ce polynôme est souvent utilisé pour déterminer la diagonalisabilité, la structure de Jordan, ou encore l’existence de vecteurs propres/dits ‘cycles’. C’est une clé de voûte pour maîtriser toute analyse d’endomorphisme.
L’interprétation géométrique intervient notamment chaque fois qu’il s’agit de décrire la trajectoire d’un vecteur sous itérations d’un endomorphisme (cercle, ellipse, droite, spirale, etc). Elle te permet de relier l’algèbre à des phénomènes tangibles et concrets, comme pour l’étude des mouvements dans l’espace. Aux écrits de Centrale PC, être capable de passer de l’analytique au géométrique est très valorisé, gage d’une compréhension globale du problème.
Dans le sujet, \( \mathcal{A}(E) \) désigne l’ensemble des endomorphismes antisymétriques d’un espace euclidien E, alors que \( \mathcal{S}\mathcal{P}(E) \) correspond à ceux dont les trajectoires sont incluses dans une sphère (« sphérique » ou « à trajectoires sphériques »). Un endomorphisme est antisymétrique s’il vérifie \( f^* + f = 0 \), et il appartient à \( \mathcal{S}\mathcal{P}(E) \) si toutes les trajectoires qu’il engendre restent à distance constante d’un centre (cas typique : rotation dans le plan). Savoir jongler entre ces deux ensembles est clé pour une résolution fluide au concours.
Pour progresser, travaille à la fois la méthode (savoir rédiger des preuves rigoureuses, structurer ta copie), tes connaissances (maîtrise des généralités sur les endomorphismes, valeurs propres, équations différentielles linéaires, stabilité, diagonalisation), et ton intuition géométrique. S’exercer sur des sujets corrigés permet aussi d’intégrer les subtilités attendues. N’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour te confronter à des solutions détaillées et accéder à des outils personnalisés qui feront la différence en mathématiques écrites.