Questions du sujet
1. I.A.1) Soient $A$ et $B$ les deux matrices d’un même endomorphisme de $E$ rapporté à deux bases orthonormales. Montrer que $A$ et $B$ sont orthogonalement semblables. 2. I.A.2) Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et $A$ sa matrice sur $\mathcal{B}$, une base orthonormale de $E$. Établir un rapport entre l’appartenance de $u$ à $\mathcal{P}(E)$ (resp. $\mathcal{N}(E)$) et l’appartenance de $A$ à $P_n$ (resp. $N_n$). 3. I.A.3) Montrer que $\mathcal{P}(E) \subset \mathcal{N}(E)$ et que $P_n \subset N_n$. 4. I.B.1) Vérifier que $\mathcal{S}(E) \subset \mathcal{P}(E)$ et $S_n \subset P_n$. 5. I.B.2) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à $P_n$ ? En déduire que si $n \geq 2$, on a $P_n \neq L(E)$.} 6. I.B.3) Soit $u$ admettant, sur une certaine base de $E$, une matrice triangulaire supérieure. Montrer qu’il existe une base orthonormale de $E$, telle que les matrices de passage de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}’$ et de $\mathcal{B}’$ à $\mathcal{B}$ soient triangulaires supérieures. Montrer que la matrice de $u$ dans $\mathcal{B}’$ est triangulaire supérieure. En déduire les éléments qui sont trigonalisables. 7. I.B.4) On suppose que $u$ est un automorphisme de $E$ ; montrer que $u$ admet un polynôme annulateur tel que $u^{-1}$ peut s’écrire comme un polynôme en $u$. En déduire que $O(E) \subset \mathcal{P}(E)$. 8. I.C.1) Montrer que si $A \in P_n$ et $A \neq 0$, alors il existe un unique polynôme réel $P_A$, que l’on note $P_A$, tel que $\operatorname{deg}(P_A) < \operatorname{deg}(\pi_A)$ et $P_A(A) = A^t$. Si $A$ est la matrice nulle, on convient que $P_A$ est le polynôme nul. Énoncer le résultat correspondant pour $u \in \mathcal{P}(E)$. 9. I.C.2) Déterminer les matrices de $P_n$ pour lesquelles $P_A$ est un polynôme constant. 10. I.C.3) Déterminer les matrices de $P_n$ pour lesquelles $P_A$ est du premier degré. On rappelle que toute matrice carrée s’écrit comme somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.} 11. I.C.4) Soient $A$ et $B$ deux matrices orthogonalement semblables. Montrer que si $A \in P_n$, alors $B \in P_n$ et $P_B = P_A$. 12. I.D) Décrire les éléments de $S_n$ et calculer les $P_A$ correspondants. 13. I.E.1) On suppose que $\pi_{A_1}$ et $\pi_{A_2}$ sont premiers entre eux. Montrer l’existence de deux polynômes $U$ et $V$ tels que : $P(A) = P_{A_1}(\pi_{A_1}(A_1)\pi_{A_2}(A_2)) - U\pi_{A_1} - V\pi_{A_2}$. Calculer $P(A)$ pour $A = \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$ où $A_1 \in P_{n_1}$, $A_2 \in P_{n_2}$, puis pour $A = A_1 \oplus A_2$. En déduire que $P_A = P_{A_1} \oplus P_{A_2}$. 14. I.E.2) Expliciter $P_A$ en fonction de $P_{A_1}$ et $P_{A_2}$. Comment trouver $P_A$ connaissant $P_{A_1}$, $P_{A_2}$ et le polynôme $P$ défini par : $P(A) = P_{A_1}\pi_{A_1}(A_1)\pi_{A_2}(A_2) - U\pi_{A_1} - V\pi_{A_2}$ ? 15. I.F) Soit $A = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& 0 \\ 0& 1& 0& 0 \\ 0& 0& 0& -1 \\ 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}$. Vérifier que $A \in P_4$ et calculer $P_A$ avec la méthode précédente.} 16. II.A) Montrer que si $u \in \mathcal{N}(E)$ et $P \in \mathbb{R}[X]$, alors $P(u) \in \mathcal{N}(E)$. 17. II.B) Soient $u, v \in \mathcal{N}(E)$. Montrer que $uv = vu$. En déduire que $u$ et $u^*$ ont le même noyau. 18. II.C.1) Comparer les déterminants de $f$ et $f^*$. En déduire que $m$ est pair. 19. II.C.2) On considère les applications $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}^m$ par $g(x) = \|x\|^2$ et $h(x) = \|f(x)\|^2$, et l’application $q : U \to \mathbb{R}$ définie par $q(x) = \frac{\|f(x)\|^2}{\|x\|^2}$. Montrer que $g$ et $h$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^m$ et que leurs différentielles en $x$ fixé sont les formes linéaires $2x$ et $2f^*f(x)$. Montrer que l’application $q$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ et déterminer sa différentielle en $x$, en calculant au moyen de produits scalaires et de normes. On note $S = \{ x \in \mathbb{R}^m \mid \|x\| = 1 \}$. Montrer que l’ensemble des valeurs prises par $q$ sur $S$ coïncide avec l’ensemble des valeurs prises par $q$ sur $\mathbb{R}^m \setminus \{0\}$. Montrer que la fonction $q$ admet un maximum sur $S$ et que ce maximum est atteint en un point $x_0$. Montrer que, pour tout $h$, on a $f(x_0) \perp x_0$. En déduire que $\Pi = \text{Vect}(x_0, f(x_0))$ est un plan stable par $f$. Donner une base orthonormale de $\Pi$ et exprimer la matrice de $f$ relative à cette base. 20. II.C.3) Montrer qu’il existe une base orthonormale de $\mathbb{R}^m$ telle que $f = \operatorname{diag}\left( \begin{matrix} \tau_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \tau_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \tau_{m/2} \end{matrix} \right)$ avec $\tau_i = \begin{pmatrix} 0 & -b_i \\ b_i & 0 \end{pmatrix}$, $b_i \neq 0$ pour $i = 1, \ldots, m/2$.} 21. II.D.1) Montrer que $E_1^\perp$ est stable par $u$ et $u^*$. 22. II.D.2) Montrer que $u^*_{E_1} = (u_{E_1})^*$. 23. II.D.3) Montrer que si, en outre, $u \in \mathcal{N}(E)$, alors $u_{E_1} \in \mathcal{N}(E_1)$ et $u_{E_2} \in \mathcal{N}(E_2)$. 24. II.E) Soient $u$ et $u^*$ ; montrer que $u u^* = u^* u$. En déduire que $u$ et $u^*$ ont les mêmes sous-espaces propres et que ceux-ci sont en somme directe orthogonale. Si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, on note $E_\lambda$ le sous-espace propre associé. Soit $F$ le supplémentaire orthogonal du sous-espace $\bigoplus_{\lambda} E_\lambda$, où la somme porte sur l’ensemble des valeurs propres de $u$. Montrer que $F$ est stable par $u$ et $u^*$. En considérant la restriction de $u$ à $F$, montrer que la dimension de $F$ ne peut être impaire. On notera $p = \frac{1}{2} \dim F$. 25. II.F.1) On suppose que $v$ est non nul. Soit $s = \frac{1}{2} (v+v^*)$ et $a = \frac{1}{2}(v-v^*)$. Justifier que le polynôme caractéristique de $s$ est scindé. On le note : $\chi_s(X) = \prod_{i=1}^k (X-\lambda_i)^{n_i}$. 26. II.F.2) Montrer que $s a = a s$ et $s o = o s$. Montrer qu’il existe une base orthonormale de $F$ telle que la matrice de $v$ dans cette base soit diagonale par blocs : $M_{B'}(v) = \begin{pmatrix} M_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & M_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & M_k \end{pmatrix}$, avec, pour $i = 1, \ldots, k$, $M_i = \lambda_i I_{n_i} + A_i$ où $A_i$ est antisymétrique.} 27. II.F.3) On suppose en outre que $v$ n’admet aucune valeur propre réelle. Montrer que les $A_i$ sont inversibles. 28. II.G) Montrer qu’il existe une base orthonormale de $E$ telle que $M_B(u) = \begin{pmatrix} D & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \tau_1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \tau_p \end{pmatrix}$, $D$ matrice diagonale, et $\tau_i = \begin{pmatrix} a_i & b_i \\ -b_i & a_i \end{pmatrix}$, $b_i \neq 0$ pour $i=1, \ldots, p$. 29. II.H) Donner une caractérisation des matrices $A \in N_n$. 30. II.I) Préciser la matrice obtenue dans II.G quand $u \in O(E)$. 31. III.A.1) Soit $\Delta$ une matrice réelle diagonale par blocs. Montrer que $A \in N_n$ si et seulement si $A^t = P(A)$, pour un polynôme $P$.} 32. III.A.2) Donner les expressions de $P_A$, $\chi_A$, et $\pi_A$ pour une matrice $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ où $b \neq 0$. Montrer que $A \in N_n$ si et seulement si $P(a+ib) = a - ib$ et $P(a-ib) = a + ib$. 33. III.A.3) Montrer que $A \in N_n$ si et seulement si : $P(\lambda) = \lambda$ pour toute valeur propre réelle $\lambda$ de $A$ ; $P(z) = \overline{z}$ pour toute racine complexe non réelle $z$ de $\chi_A$. 34. III.A.4) Montrer qu’il existe $P \in \mathbb{C}[X]$, de degré minimal, vérifiant les conditions ci-dessus (sur $P(\lambda)$ et $P(z)$) et que ce polynôme est, en fait, à coefficients réels. En déduire que $N_n = P_n$. 35. III.B) Montrer que le polynôme trouvé dans III.A.4 est, en fait, $P_A$. Retrouver, avec la méthode précédente, le polynôme de la question I.F. 36. III.C.1) Montrer que $J$ est semblable à une matrice diagonale. En déduire que toute matrice circulante appartient à $P_n$.} 37. III.C.2) À toute matrice circulante non nulle $A$, on associe les polynômes $P(X) = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha_i X^i$ et $Q(X) = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i X^{n-i}$. Donner l’expression de $\pi_J$. Comparer $Q$ et le reste de la division euclidienne de $P$ par $\pi_J$. En déduire les étapes d’une méthode de calcul de $P_A$. Détailler le calcul pour $A = C(1,1,0)$ avec $n \geq 3$. 38. III.D) Soit $A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ avec $a^2 + b^2 \neq 0$. Montrer qu’il existe un entier $n$ et une matrice $C$ telle que $A \in N_n$ si et seulement si $A$ est semblable à $C$. \textit{Indication : montrer que, si $C$ et $A$ existent, $J$ admet au moins une racine réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l’une de l’autre}.}FAQ
L’orthogonalité, en algèbre linéaire, concerne deux vecteurs dont le produit scalaire est nul. Deux matrices sont dites orthogonalement semblables si elles représentent le même endomorphisme dans deux bases orthonormales et sont reliées par une matrice de passage orthogonale. Ce concept est essentiel dans les sujets de maths de Centrale, notamment pour les questions sur la réduction d’un endomorphisme et les propriétés invariantes par changement de base orthonormale. Ces points reviennent souvent lors des épreuves d’écrits de concours d’écoles d’ingénieurs.
Les matrices symétriques et antisymétriques interviennent naturellement dans la décomposition de tout opérateur linéaire. Les matrices orthogonales correspondent aux isométries de l’espace euclidien : rotation, réflexion… L’étude de leurs propriétés est centrale dans les concours, car elle permet d’aborder les questions de diagonalisation, de trigonalisation, et d’orthogonalité des espaces propres. Ce sont des thèmes incontournables pour réussir tes sujets d’écrits, donc tu as tout intérêt à maîtriser ces bases pour le concours Centrale et pour comprendre les corrigés détaillés proposés sur Prépa Booster.
La classification par polynôme annulateur (ou caractéristique) te permet de décortiquer complètement un endomorphisme : savoir s’il est diagonalisable, nilpotent, semi-simple, etc. Cela te donne aussi accès à la réduction de l’endomorphisme, l’étude de ses valeurs propres, et la structure de l’espace vectoriel. Ces approches, très classiques dans les sujets de Centrale, sont fondamentales pour comprendre les énoncés, rédiger un corrigé propre et gagner du temps sur les exercices. Pour t’entraîner efficacement, n’hésite pas à débloquer les corrigés pour voir toutes les astuces de rédaction et d’analyse sur Prépa Booster !
Tout commence par bien comprendre qu’un endomorphisme s’exprime différemment selon la base, mais qu’il garde ses propriétés fondamentales (comme les valeurs propres, la trace, etc). Savoir manipuler les matrices de passage te permet de simplifier beaucoup d’exercices de concours et de mieux comprendre les changements d’orthonormalisation. Ces compétences sont indispensables pour réussir les épreuves de maths de Centrale, aussi bien en 2003 qu’aujourd’hui !
Polynôme caractéristique, polynôme annulateur, polynôme minimal… Voilà des outils puissants pour tout étudiant de prépa scientifique ! Ils te donnent accès aux propriétés profondes d’une matrice (diagonalisabilité, nilpotence, existence d’inverse). Les sujets de Centrale aiment croiser ces approches avec des calculs explicites sur des exemples typiques comme les matrices circulantes, les matrices triangles, ou encore les matrices antisymétriques. Pour accéder aux corrigés détaillés et t’entraîner sur des exercices similaires, pense à débloquer les corrigés dans Prépa Booster !
Les matrices circulantes, ou celles diagonalisables par blocs, sont des exemples récurrents pour illustrer les propriétés de réduction, d’invariance ou de calcul de polynômes associés. En t’entraînant sur ces objets, tu travailles les diagonalisations, la recherche de bases adaptées, et l’identification de formes canoniques, qui sont des compétences phares pour réussir l’épreuve écrite de maths du concours Centrale.
C’est une spécificité des sujets de concours : tu peux être amené à mélanger analyse et algèbre ! Par exemple, l’étude des valeurs extrêmes d’une application quadratique sur la sphère unité fait intervenir à la fois la différentiabilité (pour trouver des points critiques) et la structure d’endomorphismes (eigenvalues, etc). Comprendre ce croisement te donne beaucoup d’avance dans la résolution d’exercices transversaux et t’aide à réussir les sujets type Centrale.
Toujours commencer par le calcul des invariants : valeurs propres, déterminant, trace, puis recherche d’une éventuelle base d’eigenvectors. Identifier le type de la matrice (symétrique, orthogonale, antisymétrique…) va te donner des pistes directes. Ensuite, tu peux utiliser les polynômes associés vus dans le cours pour avancer efficacement. L’entraînement sur des corrigés d’annales est la meilleure façon de prendre ces bons réflexes, alors n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour progresser !
Parce que ces propriétés imposent des structures très particulières aux endomorphismes et à leurs matrices : un endomorphisme nilpotent ne possède que la valeur propre 0 ; un endomorphisme normal commute avec son adjoint ; un endomorphisme orthogonal conserve les normes… Ces propriétés, souvent croisées dans les sujets, permettent de simplifier radicalement des calculs et de comprendre quelle méthode appliquer. Maîtriser et reconnaître ces cas, c’est gagner des points précieux sur l’épreuve !
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