Questions du sujet
1. I.A.1) Pour tout élément $x$ de $E$, on note $h_x$ l’application de $E$ dans $IK$ telle que $h_x(y) = \varphi(x, y)$, $\forall y \in E$.\\ a) Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $h_x$ est élément du dual de $E$, noté $E^*$.\\ b) Montrer que $h$ est une application linéaire de $E$ dans $E^*$.} 2. I.A.2) Si $A$ est une partie de $E$, on note $A^\perp = \{x \in E ~|~ \forall a \in A,~ \varphi(x, a) = 0\}$.\\ Montrer que $A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$.} 3. I.A.3) On dit que $\varphi$ est non dégénérée si et seulement si $E^{\perp} = \{0\}$.\\ Montrer que $\varphi$ est non dégénérée si et seulement si $h$ est un isomorphisme.} 4. I.A.4) Soit $\mathcal{e} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. \\ On note $(e^*_1, \dots, e^*_n)$ la base duale de $E^*$.\\ a) Montrer que la matrice de $h$ dans les bases $\mathcal{e}$ et $(e^*_i)$ est : \\ Cette dernière matrice sera également appelée la matrice de $\varphi$ dans la base $\mathcal{e}$ et notée $\mat(\varphi, \mathcal{e})$.\\ b) Soit $x, y \in E$. On note $X, Y$ les matrices colonnes dont les coefficients sont les composantes de $x$ et $y$ dans la base $\mathcal{e}$.\\ Montrer que $\varphi(x, y) = X^t \Omega Y$ où $\Omega = \mat(\varphi, \mathcal{e})$ et où $X^t$ désigne la matrice ligne obtenue en transposant $X$.} 5. I.B.1) Soit $q \in Q_E$.\\ Montrer qu’il existe une unique forme bilinéaire symétrique sur $E$, notée $\varphi_q$, telle que $q = q_{\varphi_q}$. On dira que $\varphi_q$ est la forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique $q$. On dira que $q$ est non dégénérée si et seulement si $\varphi_q$ est non dégénérée. Si $\mathcal{e}$ est une base de $E$, on notera $\mat(q,\mathcal{e}) = \mat(\varphi_q,\mathcal{e})$. On l’appellera la matrice de $q$ dans la base $\mathcal{e}$.} 6. I.B.2) Soit $q$ une forme quadratique sur $E$. Soit un second $IK$-espace vectoriel $F$ de dimension $n$, et soit $q’$ une forme quadratique sur $F$.\\ On appelle isométrie de $E$ dans $F$ tout isomorphisme $f : E \to F$ vérifiant : pour tout $x \in E,~ q'(f(x)) = q(x)$. On dira que $(E, q)$ et $(F, q’)$ sont isométriques si et seulement si il existe une isométrie de $E$ dans $F$.\\ Montrer que $(E, q)$ et $(F, q’)$ sont isométriques si et seulement si il existe une base $\mathcal{e}$ de $E$ et une base $\mathcal{e}’$ de $F$ telles que $\mat(q, \mathcal{e}) = \mat(q’, \mathcal{e}’)$.} 7. I.B.3) Soit $p \in \mathbb{N}^*$. Notons $\mathcal{c} = (c_1, \dots, c_{2p})$ la base canonique de $IK^{2p}$.\\ Pour tout $x = (x_i)_{1 \leq i \leq 2p} \in IK^{2p}$, on pose $q_p(x) = \sum_{i=1}^p x_i^2 – \sum_{i=p+1}^{2p} x_i^2$.\\ a) Montrer que $q_p$ est une forme quadratique sur $IK^{2p}$ et calculer $\mat(q_p, \mathcal{c})$.\\ b) On appelle espace de Artin (ou espace artinien) de dimension $2p$ tout couple $(F, q)$, où $F$ est un $IK$-espace vectoriel de dimension $2p$, et où $q$ est une forme quadratique sur $F$ telle que $(F, q)$ et $(IK^{2p}, q_p)$ sont isométriques. Montrer que dans ce cas, $q$ est non dégénérée. Lorsque $p = 1$, on dit que $(F, q)$ est un plan artinien.\\ c) On suppose que $IK = \mathbb{C}$ et, pour tout $x = (x_k)_{1 \leq k \leq 2p} \in \mathbb{C}^{2p}$, on pose $q(x) = \sum_{k=1}^{2p} x_k^2$. Montrer que $(\mathbb{C}^{2p}, q)$ est un espace de Artin.} 8. I.B.3)\\ d) On suppose que $IK = \mathbb{R}$ et, pour tout $x = (x_i)_{1 \leq i \leq 2p} \in \mathbb{R}^{2p}$, : on pose $q'(x) = \sum_{i=1}^p x_i^2 – \sum_{i=p+1}^{2p} x_i^2$.\\ Montrer que $(\mathbb{R}^{2p}, q’)$ est un espace de Artin.} 9. I.B.3)\\ e) Si $(F, q)$ est un espace de Artin de dimension $2p$, montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $G$ de $F$ de dimension $p$ tel que la restriction de $q$ à $G$ est identiquement nulle.} 10. II.A.1) Soit $\mathcal{e} = (e_1, \ldots, e_n)$ une base de $E$. On note encore $(e_1^*, \ldots, e_n^*)$ la base duale de $E^*$. Soit $F = \text{Vect}(e_1, \ldots, e_p)$.\\ a) Montrer que $F^\perp$ est l’image réciproque par $h$ de $\text{Vect}(e_{p+1}^*, \ldots, e_n^*)$, où $h$ est définie au I.A.1.\\ b) Montrer que $\dim(F) + \dim(F^\perp) = n$.\\ c) Montrer que $(F^\perp)^\perp = F$.} 11. II.A.2) Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.\\ a) Montrer que $(F + G)^\perp = F^\perp \cap G^\perp$.\\ b) Montrer que $(F \cap G)^\perp = F^\perp + G^\perp$.} 12. II.A.3) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On note $\varphi_F$ la restriction de $\varphi$ à $F$. On dira que $F$ est singulier si et seulement si $\varphi_F$ est dégénérée.\\ Montrer que $F$ est non singulier si et seulement si l’une des propriétés suivantes est vérifiée :\\ • $F \cap F^\perp = \{0\}$;\\ • $E = F \oplus F^\perp$;\\ • $F^\perp$ est non singulier.} 13. II.A.4) On dit que deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont orthogonaux si et seulement si, pour tout $(x, y) \in F \times G$, $\varphi(x, y) = 0$.\\ Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux et non singuliers, montrer que $F \oplus G$ est non singulier.} 14. II.B.1) On suppose que $\varphi$ est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur $E$, et on note $q$ sa forme quadratique.\\ Soit $q^\prime$ une seconde forme quadratique sur $E$ dont la forme bilinéaire symétrique associée est notée $\varphi^\prime$. Comme au I.A.1, on note, pour tout $x \in E,~ h(x)(y) = \varphi(x, y)$, $h^\prime(x)(y) = \varphi^\prime(x, y)$.\\ Soit $\mathcal{e} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. On dit que $\mathcal{e}$ est $\varphi$-orthogonale si et seulement si, pour tout $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$, $i \neq j$, $\varphi(e_i, e_j) = 0$.\\ On suppose que $E = \mathbb{R}^2$ et, pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, $q(x, y) = x^2 – y^2$, $q'(x, y) = 2xy$.\\ Déterminer une base $\varphi$-orthogonale et une base $\varphi’$-orthogonale.} 15. II.B.2) Existe-t-il une base de $E$ orthogonale pour $\varphi$ et pour $\varphi’$ définies à la question II.B.1 ?} 16. II.B.3) Supposons que $\mathcal{e}$ est à la fois $\varphi$-orthogonale et $\varphi’$-orthogonale.\\ Montrer que, pour tout $i$, $e_i$ est un vecteur propre de $h^{-1} \circ h’$.} 17. II.B.4) On suppose que $h^{-1} \circ h’$ admet $n$ valeurs propres distinctes.\\ Montrer qu’il existe une base de $E$ orthogonale à la fois pour $\varphi$ et pour $\varphi’$.} 18. II.C.1) Soit $x \in E$ tel que $q(x) = 0$ et $x \neq 0$.\\ On se propose de démontrer qu’il existe un plan $\Pi$ contenant $x$ tel que $(\Pi, q/\Pi)$ soit un plan artinien (où $q/\Pi$ désigne la restriction de l’application $q$ au plan $\Pi$).\\ a) Démontrer qu’il existe $z \in E$ tel que $\varphi(x, z) = 1$.\\ b) On pose $y = z – \frac{\varphi(z, z)}{2}\,x$. Calculer $q(y)$.\\ c) Conclure.} 19. II.C.2) Soit $F$ un sous-espace vectoriel singulier de $E$. On suppose que $(e_1, \ldots, e_s)$ est une base de $F$. On note $G$ un supplémentaire de $F$ dans $E$.\\ a) Montrer que $G$ est non singulier.\\ b) Démontrer par récurrence sur la dimension de $F$ (en commençant par $s=1$, puis $s>1$) qu’il existe plans $P_1, \ldots, P_s$ de $E$ tels que les trois propriétés suivantes soient vérifiées :\\ 1) Pour tout $i \in \{1, \ldots, s\}$, $P_i$ est un plan artinien contenant $e_i$\\ 2) Pour tout $(i, j) \in \{1, \ldots, s\}^2$ avec $i \neq j$, $P_i$ est orthogonal à $P_j$.\\ 3) Pour tout $i \in \{1, \ldots, s\}$, $P_i$ est orthogonal à $G$.} 20. II.C.3) Montrer que $G$ est non singulier.\\ On dira que $G$ est un complété non singulier de $F$.} 21. II.C.4) Montrer que si $\dim F < n/2$, alors $q_{/F} = 0$.} 22. II.C.5) On suppose que $n=2p$. Montrer que $(E, q)$ est un espace de Artin si et seulement s’il existe un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ de dimension $p$ tel que $q_{/F}=0$.} 23. III.A.1) Soit $f$ un endomorphisme de $E$.\\ a) Montrer que $f \in O_E(q)$ si et seulement si, pour tout $(x, y) \in E^2$, $\varphi(f(x), f(y)) = \varphi(x, y)$. Montrer que si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et si $f\in O_E(q)$, alors $f(F^{\perp}) = (f(F))^{\perp}$.\\ b) Soit $\mathcal{e}$ une base de $E$. Calculer la matrice de la forme bilinéaire $\varphi(f(x), f(y))$ en fonction de $M = \mat(f, \mathcal{e})$ et de $\Omega = \mat(\varphi, \mathcal{e})$.\\ c) Posons $O_E^+(q) = \{f \in O_E(q) | \det(f) = 1\}$ et $O_E^-(q) = \{f \in O_E(q) | \det(f) = -1\}$. Montrer que $f \in O_E(q)$ si et seulement si $\Omega M \Omega M^t = I_n$.\\ d) Montrer que si $f \in O_E(q)$, alors $f^{-1} \in O_E(q)$. On notera $O_E^+(q) = \{f \in O_E(q) | \det(f) = 1\}$ et $O_E^-(q) = \{f \in O_E(q) | \det(f) = -1\}$.} 24. III.A.2) Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $E = F \oplus G$. On note $s_{F, G}$ la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$.\\ a) Montrer que $s_{F, G} \in O_E(q)$ si et seulement si $F$ et $G$ sont orthogonaux (pour $\varphi$).\\ b) En déduire que les symétries de $E$ sont les symétries par rapport à $F$ parallèlement à $F^{\perp}$, où $F$ est un sous-espace non singulier de $E$.\\ c) Lorsque $F$ est un hyperplan non singulier, on appellera réflexion selon la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $F^{\perp}$. Montrer que toute réflexion de $E$ est un élément de $O_E^-(q)$.\\ d) Soit $x, y \in E$ tels que $q(x) = q(y)$ et $q(x) - q(y) \neq 0$. On note $s_{H, xy}$ la réflexion selon $H = \{z \in E ~|~ q(x) = q(y)\}$. Montrer que $s_{H, xy} \in O_E^-(q)$.} 25. III.B.1) Supposons que $(E, q)$ est un espace artinien de dimension $2p$ et que $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension $p$ tel que $q_{/F} = 0$.\\ Si $f \in O_E(q)$ avec $f(F) = F$, montrer que $f \in O_E^+(q)$.} 26. III.B.2) Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel que $E = F \oplus G$ (où $G$ est un complété non singulier de $F$). Montrer que si $f \in O_E(q)$ avec $f_{|F} = \mathrm{Id}_F$ (où $\mathrm{Id}_F$ est l’application identité de $F$ dans $F$), alors $f \in O_G^+(q)$.} 27. III.B.3) Soit $f \in O_E(q)$. On suppose que pour tout $x \in E$ tel que $q(x) \neq 0$, $f(x) - x \neq 0$ et $q(f(x)) = q(x)$.\\ a) Montrer que $E = V \oplus U$ où $V = \ker(f - \mathrm{Id}_E)$, $U = \mathrm{Im}(f - \mathrm{Id}_E)$. Montrer que $q_{/V}=0$.\\ b) On note $V^\perp$. Montrer que $U = V^\perp$.\\ c) Soit $x \in E$ tel que $q(x) = 0$, notons $H = \{y \in E ~|~ q(x, y) + q(x, y) - q(y) \neq 0\}$. Montrer que $q_{/H}$ n’est pas identiquement nulle. En déduire qu’il existe $y \in E$ tel que $q(x, y) + q(x, y) - q(y) \neq 0$.\\ d) On note $U^\perp$. Montrer que $V = U^\perp$.\\ e) Montrer que $q_{/U^\perp}=0$.\\ f) En déduire que $E$ est un espace de Artin et que $f \in O_E(q)$.} 28. IV.A.1) Montrer le théorème de Cartan-Dieudonné lorsque $n=1$. On veut ensuite raisonner par récurrence. On suppose donc que $n>1$ et que le théorème de Cartan-Dieudonné est démontré en remplaçant $E$ par tout espace vectoriel de dimension $n-1$.} 29. IV.A.2) Conclure lorsqu’il existe $x \in E$ tel que $f(x) = x$ et $q(x) \neq 0$.} 30. IV.A.3) Conclure lorsqu’il existe $x \in E$ tel que $q(x) \neq 0$ et $f(x)-x \neq 0$.} 31. IV.A.4) Conclure dans les autres cas.} 32. IV.B.1) Montrer qu’on peut se ramener au cas où $F$ et $F’$ sont non singuliers.} 33. IV.B.2) On suppose que $F$ et $F’$ sont non singuliers, avec $\dim F = \dim F’ = 1$. Soit $x \in F$ avec $x \neq 0$. Posons $y = f(x)$.\\ a) Montrer que $q(x) + q(y) – q(y) \neq 0$ ou $q(x) + q(y) – q(y) \neq 0$.\\ b) Montrer le théorème de Witt dans ce cas, en utilisant la question III.A.2-d).} 34. IV.B.3) On suppose maintenant que $F$ et $F’$ sont non singuliers, avec $\dim F = \dim F’ > 1$.\\ a) Montrer qu’il existe $F_1$ et $F_2$ non singuliers, tels que $F = F_1 \oplus F_2$ et $F’ = F_1′ \oplus F_2’$, avec $\dim F_1 = \dim F_1′ = \dim F – 1$.\\ b) Supposons qu’il existe $g \in O_{F_1′}(q)$ telle que $g_{|F_1} = f_{|F_1}$. Notons $f_2 = f_{|F_2}$ et $g_2 = g_{|F_2′}$. Montrer que $f_2(F_2) = F_2’$ et que $g_2(F_2′) = F_2’$.\\ c) Montrer qu’il existe $h \in O_{F_1’^\perp}(q)$ telle que $h_{|F_2} = f_2$.\\ d) Montrer qu’il existe $k \in O_E(q)$ telle que $k_{|F} = f$.} 35. IV.B.4) Démontrer le théorème de Witt.}FAQ
Pour bien réussir ce sujet, il te faut maîtriser les espaces vectoriels et leur dual, la définition et l’utilisation des formes bilinéaires symétriques, les notions de non-dégénérescence, la dualité, la construction d’orthogonaux, ainsi que l’étude des formes quadratiques et la question de leur classification par isométrie. Les propriétés des matrices associées, du rang et de la notion d’isométrie apparaissent plusieurs fois. Il est aussi central de connaître comment construire une base orthogonale et d’appliquer tous les résultats sur les sous-espaces singuliers et non singuliers.
Une forme bilinéaire est dite non dégénérée si le seul vecteur orthogonal à tout l’espace est le vecteur nul. Cela revient à dire que l’application canonique associant à chaque vecteur la forme linéaire qui lui est associée via la forme bilinéaire est un isomorphisme. Si ce n’est pas le cas, on dit que la forme est dégénérée, et cela signifie qu’il existe des vecteurs non nuls orthogonaux à tout l’espace ! Ce point est fondamental pour pouvoir utiliser toute la puissance des outils d’algèbre linéaire autour des espaces orthogonaux, et il revient à plusieurs endroits dans ce sujet.
Trouver une base orthogonale permet de simplifier énormément les calculs liés à une forme quadratique ou à une forme bilinéaire symétrique. Une base orthogonale te permet d’avoir des matrices diagonales ou du moins beaucoup plus faciles à manipuler, ce qui aide à calculer les valeurs de la forme, à étudier les isométries ou encore à classifier les formes quadratiques. C’est aussi la clé pour démontrer des résultats comme le théorème de Witt ou de Cartan-Dieudonné. Pour t’entraîner sur ce type de méthodes et accéder à des exercices corrigés détaillés sur ces concepts, tu peux débloquer l’accès aux corrigés sur Prépa Booster !
Un espace de Artin, dans ce contexte, désigne un espace vectoriel de dimension paire (2p), muni d’une forme quadratique isométrique à une différence de deux sommes de carrés (autrement dit, signature (p, p)). C’est une structure organisatrice majeure dans l’étude des formes quadratiques, très utile pour étudier les groupes d’isométries et les réflexions. Le concours Centrale MP aime ce type d’exercice car il te force à pousser l’analyse algébrique jusqu’aux classifications fines, en mobilisant toutes tes connaissances d’algèbre linéaire et bilinéaire.
L’isotropie — c’est-à-dire l’existence de sous-espaces sur lesquels la forme quadratique est nulle — et la non-singularité conditionnent totalement la structure des espaces à forme bilinéaire. Ces notions te permettent notamment de découper l’espace en sommes directes gérables (comme la somme d’un sous-espace non singulier et de son orthogonal) et sont essentielles pour démontrer de grands résultats comme Witt ou Cartan-Dieudonné. Une bonne compréhension de ces propriétés rend beaucoup plus efficaces les résolutions d’exercices typiques du concours.
Le théorème de Witt te permet de comprendre comment deux formes quadratiques non dégénérées peuvent être reliées par une isométrie, c’est la base de toute la classification des formes quadratiques. Le théorème de Cartan-Dieudonné, quant à lui, explique que toute isométrie d’un espace quadratique non dégénéré peut s’exprimer comme produit d’un nombre fini de réflexions. Ces résultats sont incontournables et régulièrement sollicités tant en questions de cours qu’en résolution complète au concours. Tu retrouveras des applications concrètes de ces théorèmes dans le corrigé complet de l’épreuve, accessible sur Prépa Booster !
Dans ce sujet, tu dois être à l’aise avec les matrices de formes bilinéaires et quadratiques (symétriques ou antisymétriques suivant le cas), comprendre les changements de bases et la manière dont s’expriment les isométries par conjugaison matricielle. Il faut aussi savoir appliquer la diagonalisation ou la réduction de tels matrices pour extraire les invariants (signature, rang) nécessaires à la classification des formes quadratiques.
L’idéal, c’est de commencer par bien relire les définitions, les propriétés de base et les démonstrations types de l’algèbre linéaire. Ensuite, attaque-toi à des séries d’exercices corrigés et aux annales comme ce sujet de Centrale MP 2010. Travailler sur des corrigés rédigés pas à pas, disponibles sur Prépa Booster, te permettra de voir quelles stratégies, quelles astuces ou raisonnements attendus par le jury. C’est la clé pour progresser et gagner en efficacité !
L’orthogonalité permet de simplifier la structure d’un espace vectoriel en le décomposant en sommes directes de sous-espaces orthogonaux, particulièrement quand on travaille avec des formes bilinéaires non dégénérées. Cette technique te permet de construire des bases adaptées à la résolution d’équations ou à l’analyse des automorphismes et isométries, ce qui fait partie des outils de base en algèbre linéaire avancée – largement mobilisés dans ce sujet.
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