Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer qu’un endomorphisme symétrique de $E$ est dans $S_+(E)$ (resp. $S_{++}(E)$) si et seulement si son spectre est inclus dans $\R_+$ (resp. $\R_+^*$). 2. I.A.2) Montrer que si $u \in S_{++}(E)$, alors $u^{-1} \in S_{++}(E)$. 3. I.A.3) Soit $u \in S_+(E)$. a) Montrer qu’il existe un élément $s$ de $S_+(E)$ tel que $u = s^2$. b) En déduire que : $\forall x \in E,\ (u(x)|x) = 0 \Rightarrow u(x) = 0$. (1) 4. I.B.1) On note $u_1$ et $w$ les endomorphismes de $\mathrm{Im}(u)$ induits par $u$ et $u \circ v$ respectivement. a) Montrer que $u_1$ est un élément de $S_{++}(\mathrm{Im}(u))$. b) Montrer que $w$ est autoadjoint positif relativement à $\varphi_{u_1^{-1}}$ où $\varphi_{u_1^{-1}}$ est le produit scalaire sur $\mathrm{Im}(u)$ défini dans les notations. 5. I.B.2) Déduire de la question précédente que l’endomorphisme de $\mathrm{Im}(u \circ v)$ induit par $u \circ v$ est diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R_+$.} 6. I.B.3) Montrer, à l’aide de (1), que : $E = \mathrm{Im}(u \circ v) \oplus \Ker(u \circ v)$. 7. I.B.4) Conclure. 8. I.C.1) a) Montrer qu’il existe un unique élément $g$ de $\mathcal{L}(F, E)$ tel que, pour tout couple $(x, y)$ de $E \times F$, $(f(x)|y) = (x|g(y))$. L’application $g$ est notée $f^*$. b) Montrer que : $\Ker(f^*) = [\mathrm{Im}(f)]^\perp$. c) En déduire que si une suite $(z_k)_k$ d’éléments de $\mathrm{Im}(f)$ est telle que la suite $(f^*(z_k))_k$ converge vers $0$, alors la suite $(z_k)_k$ converge vers $0$. d) Montrer que : $f^* \circ f \in S_+(E)$. 9. I.C.2) Montrer que $a^{-1} \circ f^* \circ f$ est un endomorphisme diagonalisable de $E$ et que son spectre est inclus dans $\R_+$. On note $\rho$ sa plus grande valeur propre. 10. I.C.3) Montrer que : $\forall x \in E, \|f(x)\|^2 \leq \rho (a(x)|x)$.} 11. II.A.1) Montrer que si $\|x\|$ tend vers $+\infty$ et $x \in V$, alors $J(x)$ tend vers $+\infty$. 12. II.A.2) Déduire de la question précédente l’existence d’un minimum de la restriction de $J$ à $V$. 13. II.A.3) Soit $(x, y)$ un élément de $V^2$ tel que $x \neq y$. a) Montrer que : $J\left(\frac{x + y}{2}\right) < \frac{J(x) + J(y)}{2}$. b) En déduire que la restriction de $J$ à $V$ atteint son minimum en un seul point. 14. II.A.4) Soit $x \in V$ et $(t, h) \in \R \times V$. a) Calculer $J(x + th) - J(x)$. b) En déduire que la restriction de $J$ à $V$ est minimale en $x$ si et seulement si $a(x) - b \in V^\perp$. (2) 15. II.A.5) Ici $n = 3$ et $\omega$ est l’élément de $E$ en lequel $J$ est minimale. Pour tout réel $k > J(\omega)$, on note $E_k$ la surface d’équation $J(x) = k$ et on considère un plan vectoriel $\Pi$ inclus dans $E$ auquel $\omega$ n’appartient pas. a) Déterminer la nature de la surface $E_k$ et donner son centre. b) Montrer qu’il existe une unique valeur de $k$ pour laquelle $\Pi$ est tangent à la surface $E_k$. c) Déterminer cette valeur de $k$ si $E_k$ et $\Pi$ sont d’équations respectives : $x^2 + 2y^2 + 3z^2 – 2x = k$ et $x + y + z = 0$ relativement à la base canonique de $E$.} 16. II.B.1) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : \begin{itemize} \item $L_r(x,.)$ admet un maximum, \item $x \in \Ker(f)$, \item $L_r(x,.)$ est constante. \end{itemize} 17. II.B.2) Montrer que : $L_r(.,p)$ est minimale en $x$ si et seulement si $(a + r f^*\circ f)(x) + f^*(p) = b$. (3) 18. II.B.3) a) Montrer que $(x,p)$ est un point selle de $L_r$ si et seulement si $(x \in \Ker(f)$ et $a(x) + f^*(p) = b)$. (4) b) En déduire que la restriction de $J$ à $\Ker(f)$ est minimale en $x$ si et seulement si il existe un élément $p$ de $F$ tel que $(x,p)$ est un point selle de $L_r$. 19. II.B.4) Soit $(x, p)$ un point selle de $L_r$. a) Montrer que $(x, p_0)$ est encore un point selle de $L_r$ si et seulement si $p_0 – p$ est un élément de $[\mathrm{Im}(f)]^\perp$. b) Montrer que, parmi les points selle de $L_r$ du type $(x, p_0)$, il en existe un et un seul pour lequel $\|p_0\|$ est minimale et le caractériser.} 20. III.A.1) On pose, pour tout $k$ de $\N$, $y_k = x_k – x$ et $r_k = p_k – p$. a) Montrer que : $r_{k+1} = r_k + \gamma_k f(y_k)$ et $(a + r f^*\circ f)(y_k) + f^*(r_k) = 0$. b) Montrer que : $\|r_k\|^2 – \|r_{k+1}\|^2 = \gamma_k \Big(2(a(y_k)|y_k) + (2r – \gamma_k)\|f(y_k)\|^2\Big) \geq \alpha\left(2(r+1\rho) – \beta\right)\|f(y_k)\|^2$. c) En déduire la convergence de la suite $(\|r_k\|)_k$ puis celle de la suite $(x_k)_k$ vers $x$. 21. III.B.1) On pose, pour tout entier $k$, $p_k = \bar{p}_k + q_k$ où $(\bar{p}_k, q_k) \in \mathrm{Im}(f) \times [\mathrm{Im}(f)]^\perp$ et, de même, $p = \bar{p} + q$ où $p = (\bar{p}, q) \in \mathrm{Im}(f) \times [\mathrm{Im}(f)]^\perp$. a) Montrer que la suite $(q_k)_k$ est constante. b) Montrer que : $f^*(p_k – p) \xrightarrow[k \to \infty]{} 0$. c) En déduire que la suite $(p_k)_k$ converge vers $\bar{p} + q_0$. Désormais, on choisit $p_0 = 0$ et la suite $(\gamma_k)_k$ constante égale à $\gamma$. Dans ces conditions, la suite $((x_k, p_k))_k$ converge vers $(x, p)$ point selle de $L_r$ avec $\|p\|$ minimale. 22. III.B.2) Montrer que : $\forall k \in \N$, $x_k = \left[ I_E – \gamma (a + r f^*\circ f)^{-1} \circ f^*\circ f \right]^k \circ (a + r f^*\circ f)^{-1}(b)$. 23. III.B.3) On suppose que, relativement à la base canonique de $E$, la matrice de $a$ est diagonale, soit $\mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ avec $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_n > 0$ et que celle de $f$, relativement aux bases canoniques de $E$ et $F$, admet pour coefficient générique $f_{i,j} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 &\text{si } i = j \text{ et } i \leq m \\ 0 &\text{ sinon} \end{array}\right.$. a) Montrer que $I_E – \gamma(a + r f^*\circ f)^{-1}\circ f^*\circ f$ est un endomorphisme autoadjoint de $E$ qui laisse stables $\Ker(f)$ et $[\Ker(f)]^\perp$. On note $\psi$ l’endomorphisme induit sur $[\Ker(f)]^\perp$. 24. III.B.4) b) Déterminer la norme de $\psi$ subordonnée à $\|\cdot\|$ ; on la note $\varphi$. c) $r$ est supposé fixé. Comment choisir $\gamma$ pour que $\varphi$ soit minimal ? Quelle est alors sa valeur ? d) Quelle est alors l’influence de $r$ sur la rapidité de convergence de la suite $(x_k)_k$ ? III.B.4) On se place toujours dans les bases canoniques de $E$ et $F$ et on se donne les matrices $A$, $B$ et $F$ de $a$, $b$ et $f$ par leur coefficient générique : $a_{i,j}= \left\{ \begin{array}{ll} i & \text{si } i = j \\ 1 & \text{sinon} \end{array}\right.$, $b_i=1$, $f_{i,j} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } i+j = m+1 \\ 0 & \text{sinon} \end{array} \right. $. a) Montrer que $a$ est effectivement un endomorphisme de $E$ défini positif. b) Écrire une procédure effectuant lorsqu’on choisit $\gamma = \frac{2}{r}$, le calcul de $X_k$, matrice de $x_k$ relativement à la base canonique de $E$ (on supposera $n$, $m$ et $r$ définis numériquement mais on définira les matrices $A$, $B$ et $F$). }FAQ
En mathématiques, et particulièrement dans le programme de CPGE MP, les endomorphismes symétriques et positifs jouent un rôle clé dans la compréhension du comportement des applications linéaires sur les espaces euclidiens. Ils permettent notamment d’assurer la diagonalisation dans une base orthonormale, de garantir la positivité des formes quadratiques associées, et s’utilisent fréquemment dans les problèmes d’optimisation et d’analyse spectrale. Ces notions apparaissent régulièrement dans les concours comme Centrale, et les maîtriser est indispensable pour aborder sereinement les sujets d’écrit, comme celui de 2009.
Le spectre d’un endomorphisme, c’est l’ensemble de ses valeurs propres. En concours, savoir calculer et interpréter le spectre permet de déterminer la diagonalisabilité, la stabilité, ou encore la positivité d’un endomorphisme. De plus, beaucoup d’exercices ou de questions, comme dans ce sujet Centrale 2009, tournent autour du lien entre spectre et propriétés géométriques de l’endomorphisme ou de la forme quadratique associée. Pour maîtriser ces problèmes, entraîne-toi régulièrement avec les corrigés détaillés disponibles lorsqu’on débloque les ressources sur Prépa Booster.
Les formes quadratiques sont omniprésentes en maths sup/maths spé, et encore plus au concours Centrale. Elles servent à étudier le comportement des fonctions à plusieurs variables, notamment en optimisation : minimisation, conditions du premier et second ordre… Les exercices classiques te demandent d’identifier la nature d’une forme ou de résoudre des problèmes de minimum sous contrainte, comme ceux rencontrés dans le sujet de 2009. Bien comprendre ces techniques te permet de te préparer aux questions de synthèse et d’analyse poussée fréquemment posées aux écrits.
L’orthogonalité est un outil central pour décomposer un espace vectoriel, résoudre des systèmes d’équations ou étudier les applications linéaires. Dans les sujets comme celui de Centrale 2009, on t’incite à manipuler l’orthogonalité pour caractériser des noyaux, images, ou pour simplifier l’étude des restrictions ou des projections. Savoir manier ces concepts permet de structurer et d’accélérer la résolution d’un grand nombre de problèmes d’algèbre linéaire.
Le concept de point selle intervient tout particulièrement dans l’étude des fonctions de plusieurs variables et dans l’optimisation sous contrainte, par exemple via le lagrangien. Dans le sujet Centrale MP 2009, tu retrouves ce type d’analyse pour prouver l’existence de minimum ou étudier la dualité. S’entraîner à repérer et démontrer l’existence d’un point selle te donne un avantage lors des écrits et pour bien traiter les exercices d’analyse vectorielle.
Savoir factoriser, c’est-à-dire écrire un endomorphisme positif sous la forme $s^2$, ou inverser un opérateur, est incontournable en CPGE MP. Cela te permet de construire des racines carrées d’opérateurs, d’étudier la stabilité des suites, ou d’intégrer des algorithmes de résolution. Les sujets de concours comme celui de Centrale confrontent souvent à ce genre de manipulations. Pour progresser et accéder à des corrigés détaillés sur ce thème, pense à débloquer les corrections sur Prépa Booster !
Pour progresser en algèbre linéaire et maîtriser les matrices en vue d’une épreuve de concours Centrale, commence par revoir à fond les propriétés des endomorphismes, bases, matrices et formes quadratiques. Entraîne-toi sur des annales et, surtout, analyse bien les corrigés : c’est le meilleur moyen de repérer les astuces et les méthodes systématiques. Sur Prépa Booster, tu pourras débloquer non seulement les corrigés détaillés, mais aussi des exercices de consolidation personnalisés pour te préparer au mieux aux exigences du concours.