Centrale Maths 2 MP 2007

Questions du sujet

1. I.A.1) Soit $a \in L(E)$ et $(e) = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n)$ une base orthonormée de $E$. \\
Prouver que $\operatorname{Tr} a = \sum_{i=1}^n (\vec{e}_i | a(\vec{e}_i))$.}

2. I.A.2) Soient $a$ et $b$ deux endomorphismes de $E$. \\
On pose $\langle\langle a, b\rangle\rangle = \operatorname{Tr}(a^*b)$, montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur $L(E)$. L’orthogonal, pour ce produit scalaire, d’un sous-espace $E \subset L(E)$ sera noté $E^\perp$.}

3. I.A.3) Montrer que les sous-espaces $S(E)$ et $A(E)$ sont des supplémentaires orthogonaux de $L(E)$ pour $\langle\langle,\rangle\rangle$.

4. I.B.1) Soit $a \in L(E)$ de rang $r \geq 1$.\\
a) Montrer que $\operatorname{Ker} a^*a = \operatorname{Ker} a$ et que $\operatorname{rg} a^*a = \operatorname{rg} a$.\\
b) Montrer que $a^*a$ possède au moins une valeur propre non nulle.\\
c) Soit $\{ \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_s \}$ l’ensemble des valeurs propres non nulles de $a^*a$. En notant $E(\lambda)$ le sous-espace propre de $a^*a$ associé à la valeur propre $\lambda$, montrer que :
\[
\operatorname{Im} a^* = \operatorname{Im} a^*a = \bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i)
\]
d) Prouver l’existence d’une base orthonormée $(e) = (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ et de scalaires $\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_n$ avec $\mu_i \neq 0$ pour $i \leq r$ tels que
\[
a^*a(\vec{e}_i) = \mu_i^2 \vec{e}_i \text{ pour tout } i\in\{1,\ldots,n\}.
\]
Pour toute base orthonormée $(e)$ vérifiant ces propriétés, que valent les $\mu_i$ si $i > r$~?\\
e) La base $(e)$ étant choisie comme dans la question précédente, prouver l’existence d’une base orthonormée $(f) = (\vec{f}_1,\vec{f}_2,\ldots,\vec{f}_n)$ telle que $a(\vec{e}_i) = \mu_i \vec{f}_i$ pour tout $i$.

5. I.B.2) Soit $a \in L(E), a \neq 0$, déduire de la question précédente l’existence de $u \in O(E)$ tel que $ua \in S^+(E)$, et $\operatorname{Tr}(ua) > 0$.}

6. I.C.1) La base $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\ldots,\vec{e}_n)$ de $E$ étant toujours choisie comme dans la question I.B.1.d, prouver l’existence de $h \in O(E)$ tel que, pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$, $ha(\vec{e}_i) \in \operatorname{Vect}(\vec{e}_i)^\circ$.}

7. I.C.2) Montrer que $H$ contient au moins un automorphisme orthogonal.}

8. II.A.1) Exprimer simplement le produit scalaire $a, p_{\vec{k}}$ à l’aide du produit scalaire de deux vecteurs de $E$.}

9. II.A.2) Exprimer simplement $r_{\theta,\vec{k}}$ à l’aide de $p_{\vec{k}}$ et de $\omega_{\vec{k}}$. En déduire la relation :
\[
\left\langle\left\langle a, r_{\theta,\vec{k}} \right\rangle\right\rangle = \cos\theta\,\operatorname{Tr}(a) + (1-\cos\theta)\, (\vec{k}|a(\vec{k})) + \sin \theta \langle\langle a, \omega_{\vec{k}} \rangle\rangle
\]
}

10. II.A.3) Que devient cette relation (1) lorsque $a\in S(E)$, lorsque $a\in A(E)$~?}

11. II.B.1) Quelle est la dimension de $V$~?}

12. II.B.2) Soit $(e) = (\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ une base orthonormée de $E$. Pour $\varepsilon = (\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3) \in \{-1,1\}^3$, on note $\vec{x}_\varepsilon$ le vecteur $\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\varepsilon_1 \vec{e}_1 + \varepsilon_2 \vec{e}_2 + \varepsilon_3 \vec{e}_3)$. \\
Prouver l’identité :
\[
\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^3} (\vec{x}_\varepsilon | s(\vec{x}_\varepsilon)) = 8/3.
\]
}

13. II.B.3) Dans cette question seulement, on rajoute l’hypothèse $\nu$ symétrique.\\
a) Prouver l’existence d’une base $(e)$ telle que $(\vec{x}_\varepsilon|\nu(\vec{x}_\varepsilon)) = 0$ pour tout $\varepsilon \in \{-1,1\}^3$.\\
b) Démontrer l’existence d’un vecteur $\vec{k}$ unitaire vérifiant :
\[
0 \leq (\vec{k}|s(\vec{k})) \leq 1/3 \qquad \text{et} \qquad (\vec{k}|\nu(\vec{k})) = 0
\]
c) Établir l’existence de $\theta \in [\pi/2,\,\pi[$ tel que $r_{\theta,\,\vec{k}} \in V$.}

14. II.B.4) On décompose maintenant $\nu$ sous la forme $\nu_1 + a$ où $\nu_1$ est symétrique et $a$ antisymétrique. On choisit $\vec{k}_1$ unitaire tel que :
\[
0 \leq (\vec{k}_1|s(\vec{k}_1)) \leq 1/3 \qquad \text{et} \qquad (\vec{k}_1|\nu_1(\vec{k}_1)) = 0
\]
a) Dans la suite on posera, pour tout réel $x$, $\text{sgn}(x) = 1$ si $x \geq 0$, $-1$ sinon.\\
On note $(e) = (\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3)$ une base orthonormée de vecteurs propres de $s$ et l’on pose :\\
$\vec{k}_i = a_i \vec{e}_1 + b_i \vec{e}_2 + c_i \vec{e}_3$ pour $i=1,2$.\\
Démontrer l’existence d’un vecteur unitaire $\vec{k}_2$ tel que $r_{\pi,\vec{k}_2}$ soit orthogonale à $s$ pour $\langle\langle , \rangle\rangle$ et que les composantes de $\vec{k}_2$ dans une base de diagonalisation de $s$ soient de mêmes signes que celles de $\vec{k}_1$.\\
b) Justifier l’existence d’une fonction $t \mapsto \vec{k}(t)$ de $[0,1]$ dans $E$ et d’une fonction $t \mapsto \theta(t)$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant les propriétés suivantes :}

15. c) Vérifier que $\vec{k}(t)$ est unitaire et que $\rho(t) = r_{\theta(t),\vec{k}(t)}$ est orthogonale à $s$ pour $\langle\langle , \rangle\rangle$.}

16. d) Montrer que la fonction $t \mapsto \langle\langle\rho(t), \nu\rangle\rangle$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ est continue. Étudier les signes de $\langle\langle\rho(0), \nu\rangle\rangle$ et de $\langle\langle\rho(1), \nu\rangle\rangle$ et prouver qu’existe $t$ tel que $\rho(t) \in V$.}

17. II.C.1) En utilisant le résultat de la question I.B.2, prouver que tout sous-espace vectoriel de dimension 7 de $L(E)$ contient au moins un automorphisme orthogonal.}

18. II.C.2) Un sous-espace vectoriel de dimension 6 de $L(E)$ contient-il toujours un automorphisme de $E$~?}