Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que est une norme sur .} 2. I.A.2) a) Montrer que , : . b) Montrer l’égalité . c) Montrer que . } 3. I.A.3) Montrer que est une norme matricielle c’est-à-dire qu’elle vérifie : et , .} 4. I.A.4) Soit une matrice inversible. On définit . a) Vérifier que est une norme matricielle sur . b) Montrer qu’il existe une constante telle que . } 5. I.B – Soit une matrice triangulaire supérieure et donné. Montrer que l’on peut choisir une matrice diagonale avec où est un réel strictement positif telle que : . Étant donnés et , montrer qu’il existe une norme matricielle telle que . } 6. I.C – En déduire l’équivalence . } 7. II.A.1) Soit . Représenter dans le plan complexe et . } 8. II.A.2) On se propose de montrer l’inclusion . a) Soit telle que le système linéaire a une solution non nulle. Montrer que . b) Soient et . Utiliser II.A.2-a) et montrer que . c) Conclure en justifiant l’inclusion . } 9. II.A.3) On suppose que a une valeur propre sur le bord de (1) et soit un vecteur propre associé à . a) Montrer que si pour on a , alors . b) On suppose de plus que . Montrer que . 1. Un point appartient au bord de si et seulement si et . } 10. II.A.4) Soit . On note lorsque et pour . Soient et matrice diagonale avec . Déterminer . } 11. II.A.5) a) Déduire de II.A.2) et II.A.4) l’inégalité . b) Soit la matrice . i) Montrer que le majorant de donné par II.A.5)-a est supérieur ou égal à . ii) Donner une valeur approchée de (on pourra utiliser la calculatrice). } 12. II.B.1) Soit telle que . On dit que est strictement diagonale dominante (SDD). a) Montrer que si est SDD alors est inversible. b) Si est SDD et si de plus est réel et strictement négatif, montrer que pour tout , . c) Si est une matrice réelle symétrique et SDD, énoncer une condition suffisante pour qu’elle soit définie, positive. } 13. II.B.2) Soit diagonalisable. Montrer qu’il existe une constante telle que , . } 14. III.A.1) Montrer qu’il existe tel que . } 15. III.A.2) Soit fixé et . Montrer que la proposition suivante est vraie . On pourra raisonner par l’absurde et écrire la proposition (non ). } 16. III.B.1) Exhiber une matrice pour laquelle (notation Partie II) ne contient pas de valeurs propres de . } 17. III.B.2) Soit et défini dans II. On se propose de prouver la propriété suivante : si , , le disque contient au moins une valeur propre de . On suppose donc que, , . On écrit où est diagonale et avec pour et . On définit l’application : . a) Montrer que . b) Soit . i) Montrer que . ii) Montrer la propriété , . iii) Soit une suite d’éléments de qui converge vers ; montrer que . On admettra que les seules parties à la fois ouvertes et fermées dans sont et . iv) En déduire que . Conclure. } 18. III.B.3) Déduire de la Partie II et de la Partie III des propriétés du spectre de la matrice définie dans la question II.A.1) } 19. IV.A.1) Vérifier que est bien une norme matricielle sur . } 20. IV.A.2) a) Si et , et si et sont des matrices diagonales, établir les égalités : . Donner deux égalités semblables pour . b) Soient et , et , établir l’égalité : c) Si et , , montrer que . On pourra introduire la matrice colonne , utiliser les questions a) et b) en remarquant que d) En déduire que . } 21. IV.B.1) Soit , montrer qu’il existe telle que . Que peut-on dire de si ? } 22. IV.B.2) Soient et , montrer que . Que peut-on dire si et ? } 23. IV.B.3) On se propose d’obtenir un encadrement des valeurs propres de quand et . a) On désigne par (resp. ) la plus petite valeur propre de (resp. ) et par (resp. ) la plus grande. Montrer que les matrices et . b) Soit une valeur propre de et un vecteur propre pour cette valeur propre . Évaluer et en déduire c) Montrer que et en déduire la minoration . d) Établir de même la majoration . }FAQ
Une norme matricielle est une façon de mesurer la “taille” ou la “longueur” d’une matrice, en généralisant l’idée de norme d’un vecteur. C’est fondamental en analyse linéaire car cela te permet d’estimer la stabilité numérique, d’étudier les méthodes d’approximation ou de convergence, et surtout de majorer les valeurs propres. Au concours Centrale MP, bien maîtriser ces notions, c’est t’assurer de réussir les exercices sur les matrices, la diagonalisation et l’étude spectrale.
Les matrices strictement diagonale dominante (SDD) sont essentielles car elles possèdent de bonnes propriétés en terme d’inversibilité et de stabilité des schémas numériques. Elles garantissent l’existence d’une solution unique à certains systèmes linéaires, un résultat exploité dans de nombreux sujets aussi bien en calcul matriciel qu’en algèbre générale. Comprendre leurs propriétés t’aide à reconnaître rapidement des structures favorables dans un exercice, un sérieux atout pour les écrits.
Le spectre d’une matrice, c’est l’ensemble de ses valeurs propres. Au concours Centrale MP, tu dois savoir les localiser, les encadrer et les relier à la stabilité des systèmes linéaires ou des suites récurrentes. Les méthodes classiques incluent le théorème de Gershgorin, l’utilisation des normes matricielles, ou la diagonalisation quand c’est possible. Une bonne pratique, c’est de savoir expliquer comment une norme matricielle permet de donner un majorant ou un minorant des valeurs propres.
Les normes matricielles induites par des normes vectorielles (comme les normes ||·||_1, ||·||_∞, etc.) sont incontournables car elles permettent d’analyser le comportement des matrices sur les vecteurs, de majorer les produits matriciels et d’étudier la continuité ou la stabilité des applications linéaires. En concours, ces normes sont exploitées à la fois pour les estimations précises et les démonstrations d’équivalences de normes, deux thèmes incontournables en MP.
Absolument, car représenter des ensembles spectraux (comme des disques, couronnes, ou régions délimitées par Gershgorin) dans le plan complexe t’aide à visualiser les valeurs propres possibles d’une matrice. Cela rend plus intuitifs les raisonnements sur la localisation du spectre et permet d’appliquer immédiatement les majorations/minorations issues des théorèmes. C’est une compétence prisée aux concours de la banque Centrale, notamment en MP.
L’équivalence de normes, c’est la clé pour pouvoir remplacer convenablement une norme par une autre dans une preuve. Cela te permet d’alléger les calculs et de choisir la norme la plus adaptée à l’inégalité ou au résultat que tu vises. Dans les sujets type Centrale MP, cette flexibilité dans le choix des normes est d’une grande aide pour simplifier les majorations et tirer profit des propriétés spécifiques de certaines normes.
Je te conseille de t’exercer concrètement sur tous les types de normes classiques (||·||_1, ||·||_∞, norme euclidienne), d’apprendre à justifier qu’une application est bien une norme, et de savoir manipuler les matrices diagonales et triangulaires. N’oublie pas non plus de bien revoir la définition de matrice SDD, la diagonalisation, le théorème de Gershgorin et les propriétés du spectre. Pour approfondir et t’entraîner sur des corrigés détaillés, pense à débloquer l’accès à Prépa Booster – tu profiteras aussi d’un dashboard personnalisé et d’exercices corrigés pour progresser rapidement !