Questions du sujet
1. I.A – Démontrer que l’ensemble $M_2(\mathbb{Z})$ est un anneau. 2. I.B.1) Démontrer que l’ensemble des éléments de $M_2(\mathbb{Z})$ inversibles dans $M_2(\mathbb{Z})$ est un groupe pour la multiplication, appelé le groupe des unités de l’anneau $M_2(\mathbb{Z})$. 3. I.B.2) Montrer que $A \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ si et seulement si $\det A = \pm1$. 4. I.C.1) Montrer que $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ est un groupe pour la multiplication des matrices. 5. I.C.2) Déterminer l’ensemble des couples $(c, d) \in \mathbb{Z}^2$ tels que la matrice $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ c & d \end{pmatrix}$ appartienne à $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$.} 6. I.C.3) Déterminer l’ensemble des couples $(c, d) \in \mathbb{Z}^2$ tels que la matrice $\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ c & d \end{pmatrix}$ appartienne à $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$. 7. I.C.4) Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur le couple $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ pour qu’il existe une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ appartenant à $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$? 8. I.D.1) Soient $S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Pour chacune des trois matrices $T$, $S$ et $TS$, la matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans $M_2(\mathbb{C})$ ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu’une matrice de passage. 9. I.D.2) Pour chacune des trois matrices $T$, $S$ et $TS$, la matrice est-elle diagonalisable, ou à défaut trigonalisable, dans $M_2(\mathbb{R})$ ? Donner une forme réduite éventuelle ainsi qu’une matrice de passage. 10. I.E.1) On cherche les matrices $A \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ telles que $A^2 = I_2$. Soit $A$ une telle matrice. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $M_2(\mathbb{R})$ et préciser les formes réduites diagonales possibles de $A$.} 11. I.E.2) En déduire l’ensemble des matrices solutions $A$. 12. I.F.1) On cherche les matrices $A \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ telles que $A^2 = -I_2$. Soit $A$ une telle matrice. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $M_2(\mathbb{C})$ et calculer la trace de $A$. 13. I.F.2) Donner la forme générale des matrices solutions $A$ en fonction des trois paramètres $a$, $b$, $c$ et d’une relation liant ces trois paramètres. 14. I.G.1) Démontrer que si deux matrices $U$ et $V$ de $M_2(\mathbb{R})$ sont semblables en tant que matrices de $M_2(\mathbb{C})$, alors elles sont semblables dans $M_2(\mathbb{R})$. 15. I.G.2) En déduire que les matrices de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ solutions de l’équation $A^2 = -I_2$ sont semblables dans $M_2(\mathbb{R})$ à la matrice $S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.} 16. II.A.1) De quelle structure algébrique est doté un réseau ? 17. II.A.2) Démontrer que tout réseau peut être engendré par une base $B = (\alpha,\beta)$ de $\mathbb{C}$ telle que $\frac{\alpha}{\beta} \in \mathbb{H}$. 18. II.A.3) Démontrer que pour tout quadruplet $(a,b,c,d) \in \mathbb{Z}^4$ et pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $cz+d \neq 0$, on a \[ \mathrm{Im} \left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}. \] 19. II.B.1) Démontrer que si deux bases $B = (\omega_1,\omega_2)$ et $B’ = (\omega’_1,\omega’_2)$ de $\mathbb{C}$ telles que $\frac{\omega_1}{\omega_2}, \frac{\omega’_1}{\omega’_2} \in \mathbb{H}$ engendrent le même réseau $\Lambda$, alors il existe une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ telle que $\begin{pmatrix} \omega’_1 \\ \omega’_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \end{pmatrix}$. 20. II.B.2) Étudier la réciproque.} 21. II.C – On considère un réseau $\Lambda$ engendré par une base $B=(\omega_1,\omega_2)$ de $\mathbb{C}$ telle que $\frac{\omega_1}{\omega_2} \in \mathbb{H}$. Déterminer l’ensemble des couples $(c,d) \in \mathbb{Z}^2$ tels que, avec $B’ = (3\omega_1 + 5\omega_2,\ c\omega_1 + d\omega_2)$, $B’$ soit une base de $\mathbb{C}$ engendrant également le réseau $\Lambda$. 22. II.D – Pour tout complexe $\tau$, on note $\Lambda_\tau$ le réseau engendré par la base $(\tau,1)$ de $\mathbb{C}$. On suppose que $\tau \in \mathbb{H}$. Trouver la condition nécessaire et suffisante pour qu’un élément $\tau’ \in \mathbb{H}$ vérifie $\Lambda_{\tau’} = \Lambda_\tau$. 23. III.A.1) Démontrer que tout réseau est semblable à un réseau où $\frac{\omega_1}{\omega_2} \in \mathbb{H}$. 24. III.A.2) Démontrer que deux réseaux $\Lambda_\tau$ et $\Lambda_{\tau’}$, où $\tau,\tau’ \in \mathbb{H}$, sont semblables si et seulement si il existe une matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ telle que $\tau’ = \frac{a\tau+b}{c\tau+d}$. 25. III.B.1) Indiquer, sans faire de démonstration, le lien existant entre l’ensemble $S(\Lambda)$ et l’ensemble des similitudes directes de centre $O$ laissant stable le réseau $\Lambda$, c’est-à-dire telles que $\sigma(\Lambda) \subset \Lambda$.} 26. III.B.2) Quel est l’ensemble des homothéties de centre $O$ laissant stable le réseau $\Lambda$ ? En déduire l’ensemble $S(\Lambda) \cap \mathbb{R}$. 27. III.B.3) De quelle structure algébrique est doté l’ensemble $S(\Lambda)$ ? 28. III.B.4) Étant $B = (\omega_1,\omega_2)$ une base de $\Lambda$, on pose $S\Lambda(B) = \{\ z \in \mathbb{C} \ |\ z\Lambda(B) \subset \Lambda(B)\ \}$. Comparer les ensembles $S\Lambda(B)$ et $S(\Lambda)$. 29. III.B.5) Quelle relation d’inclusion existe-t-il entre les ensembles $S\Lambda(B)$ et $S(\Lambda)$ ? 30. III.C.1) Étant $\tau \in \mathbb{H}$, on considère le réseau engendré par la base $(\tau,1)$ de $\mathbb{C}$. On suppose que l’ensemble $S(\Lambda_\tau)\setminus\mathbb{R}$ n’est pas réduit à $\varnothing$. Montrer que $\tau$ est alors racine d’un polynôme du second degré à coefficients dans $\mathbb{Z}$.} 31. III.C.2) Réciproquement, on suppose que $\tau$ est racine non réelle d’un polynôme $P(X) = uX^2 + vX + w$ du second degré à coefficients $u, v, w \in \mathbb{Z}$. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que $\tau$ n’est pas contenu dans $\mathbb{R}$. \item[b)] Que dire des ensembles $S(\Lambda_\tau)$ et $S(\Lambda_\tau) \cap \mathbb{R}$ si $u=1$ ? \end{itemize} 32. IV.A.1) Montrer que l’on a $\Phi\left(\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\right) \subset \Gamma$. On identifie dorénavant $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ avec l’application de $\mathbb{H}$ vers $\mathbb{C}$ qu’elle induit. Lorsque la matrice parcourt $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$, l’application correspondante de $\mathbb{H}$ vers $\mathbb{H}$ décrit un ensemble noté $\Gamma$. Dans la suite de cette question on s’intéresse aux propriétés de la surjection $\Phi : \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \Gamma$. 33. IV.A.2) Montrer que $\Phi(A) \circ \Phi(A’) = \Phi(AA’)$. En déduire que la loi de composition des applications est une loi interne sur $\Gamma$. 34. IV.A.3) Pour tout $A \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$, montrer que $\Phi(A)$ est une bijection de $\mathbb{H}$ sur $\mathbb{H}$ et que l’on a $[\Phi(A)]^{-1} = \Phi(A^{-1})$. En déduire que $\Gamma$ est un groupe. 35. IV.A.4) Montrer que $\Phi(A) = \mathrm{id}_\mathbb{H} \iff A = \pm I_2$.} 36. IV.A.5)\ \begin{itemize} \item[a)] Résoudre l’équation $A^2 = I_2$. \item[b)] En utilisant les matrices $S$ et $T$ définies en I.D, vérifier que le groupe $\Gamma$ n’est pas commutatif. \end{itemize} 37. IV.B.1) Montrer que le cercle de centre $\omega$ et de rayon $R$ a pour équation \[ |z-\omega|^2 = R^2 \iff zz^* – \omega z^* – \omega^* z + |\omega|^2 = R^2. \] À quelle condition nécessaire et suffisante ce cercle est-il inclus dans $\mathbb{H}$ ? 38. IV.B.2) On appelle $s$ l’application de $\mathbb{H}$ vers $\mathbb{H}$ associée à la matrice $S$ définie en I.D, c’est-à-dire l’élément de $\Gamma$. Déterminer l’image par $s$ d’un cercle inclus dans $\mathbb{H}$. 39. IV.C.1) Trouver l’image par $s$ d’une droite incluse dans $\mathbb{H}$, c’est-à-dire d’une droite d’équation $y = \beta$, avec $\beta > 0$. 40. IV.C.2) Trouver l’image par $s$ d’une demi-droite d’équation $x = \alpha$, où $\alpha \in \mathbb{R}$, incluse dans $\mathbb{H}$.} 41. IV.D – On introduit le sous-ensemble $F$ de $\mathbb{H}$, défini par $F = \left\{\tau \in \mathbb{H} : 1 \leq |\tau|,\, -\frac12 \leq \Re(\tau) \leq \frac12 \right\}$. On appelle $t$ l’application de $\mathbb{H}$ vers $\mathbb{H}$ associée à la matrice $T$ définie au I.D, c’est-à-dire l’élément de $\Gamma$. Représenter graphiquement l’ensemble $F$ et ses images $t(F)$ et $t^{-1}(F)$ par les applications $t$ et $t^{-1}$. 42. IV.E.1) On note $G$ le sous-groupe de $\Gamma$ engendré par l’ensemble $\{s,\, t\}$. Soit un élément $g \in G$. Montrer qu’il existe un élément $g_0$ tel que $\mathrm{Im}(g(\tau)) \leq \mathrm{Im}(g_0(\tau))$. 43. IV.E.2) On pose alors $\tau’ = g_0(\tau)$. Démontrer qu’il existe un entier $m$ tel que $\left|\Re(t^m(\tau’))\right| \leq \frac12$. 44. IV.E.3) Vérifier que $t^m(\tau’) \geq 1$ et en conclure que $t^m(\tau’) \in F$. 45. IV.F – On peut démontrer le résultat suivant, que l’on admettra ici : si $\tau \in F$ et si pour un élément $g$ de $\Gamma$, avec $g \neq \mathrm{id}_\mathbb{H}$, on a $g(\tau) \in F$, alors $\tau$ est un point frontière de $F$, autrement dit on a $\Re(\tau) = \pm\frac12$ ou $|\tau| = 1$. En utilisant ce résultat ainsi que ceux de la section IV.E, démontrer que $F$ contient un système de représentants des orbites de $\mathbb{H}$ sous l’action de $\Gamma$. (Indication : on pourra considérer un point intérieur à $F$ (c’est-à-dire $|\tau| > 1$ et $|\Re(\tau)| < \frac12$) et son image par $g$.)}FAQ
Pour ce sujet, tu dois être à l’aise avec les matrices carrées, les anneaux, les groupes linéaires classiques comme GL₂(ℤ) et SL₂(ℤ), les conditions d’inversibilité, le calcul de déterminant, la diagonalisation et la trigonalisation sur ℝ ou ℂ. Il faut aussi bien comprendre les notions de similitude, base, représentations de réseaux et actions par homographies sur le demi-plan de Poincaré. Si tu veux vérifier ta maîtrise sur ces thèmes, pense à débloquer les corrigés pour avoir accès à toutes les méthodes détaillées sur Prépa Booster.
Le groupe SL₂(ℤ) est l’ensemble des matrices 2×2 à coefficients entiers et de déterminant 1. Il joue un rôle fondamental en arithmétique, dans la théorie des groupes et en géométrie complexe (notamment la théorie des réseaux du plan complexe). Il intervient partout dans le sujet : pour décrire des changements de base dans un réseau, pour étudier des homographies remarquables ou encore pour classer les orbites du demi-plan de Poincaré. Maîtriser ses propriétés structurales (groupe, générateurs, applications associées) est indispensable en MP.
Les réseaux dans ℂ sont des objets fondamentaux pour relier algèbre, complexité géométrique et applications en théorie des nombres (formes modulaires, ellipticité, etc.). Par leur structure, ils permettent d’aborder des questions de classification, de transformations linéaires ou encore de dénombrement. Dans ce sujet Centrale MP 2004, le thème du réseau est utilisé pour faire le lien entre matrices à coefficients entiers, changements de base, et transformations géométriques du demi-plan de Poincaré. C’est typiquement un sujet transversal qui permet de réviser à la fois l’algèbre linéaire, la géométrie complexe et un peu de théorie des groupes.
Une matrice est diagonalisable si tu peux la mettre sous forme diagonale via un changement de base dans l’espace de travail (ℝ ou ℂ en général). Si la matrice ne l’est pas, elle peut parfois être mise sous forme triangulaire supérieure (trigonalisée) : on parle alors de trigonalisation. En pratique, c’est souvent lié au polynôme minimal et aux valeurs propres. C’est clé pour étudier la simplicité des endomorphismes et résoudre des équations matricielles comme $A^2 = I$ ou $A^2 = -I$ analysées dans ce sujet.
Oui, clairement ! Le demi-plan de Poincaré apparaît dans de nombreux sujets au carrefour de l’algèbre et de l’analyse complexe. Il offre un terrain riche pour explorer les actions de groupes de matrices (comme SL₂(ℤ)), la géométrie des transformations homographiques et la théorie modulaire. Savoir manipuler les orbites, décrire les domaines fondamentaux et comprendre les équations de cercles, droites et demi-droites dans ce cadre, c’est incontournable pour la réussite aux concours.
Devant ce type de sujet structuré, lis bien chaque grande partie pour identifier la notion centrale (algèbre, groupes, réseaux, géométrie complexe). Pose-toi des questions sur la structure des ensembles étudiés (groupe ? anneau ?), et anticipe les liens entre algèbre linéaire, calcul, géométrie et transformations. Sois précis dans les démonstrations de structure, pousse le raisonnement sur l’inversibilité, la diagonalisation, et rédige clairement tes propriétés. Pour progresser, pense à débloquer les corrigés : tu auras ainsi accès à des rédactions détaillées et validées dans l’esprit Centrale !
L’action de SL₂(ℤ) sur le demi-plan de Poincaré est un classique qui permet de modéliser les transformations modulaires, d’étudier les orbites et de comprendre la construction de domaines fondamentaux. Cette action relie l’algèbre (groupes, matrices) à la géométrie complexe et structure la classification des réseaux, ce qui est souvent un passage obligé dans les sujets de concours de haut niveau.
Pour progresser efficacement, je te conseille de traiter des sujets années après années, en notant systématiquement les liens d’une partie à l’autre et les astuces récurrentes (sur les matrices, les réseaux, l’action des groupes, etc.). Mets-toi en conditions réelles et vérifie ta rédaction avec les corrigés disponibles sur Prépa Booster : tu profiteras ainsi d’une correction détaillée, de fiches de méthodes, et tu pourras suivre tes progrès sur le dashboard personnalisé.