Questions du sujet
1. Préciser le domaine de définition $D$ de $f_\alpha$. Justifier que $f_\alpha$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ et donner une équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiée par $f_\alpha$ sur $D$.
2. Énoncer le théorème de Cauchy pour une équation différentielle scalaire linéaire du premier ordre et démontrer que, pour tout $x \in ]-1, 1[$,
$$
f_\alpha(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{L_n(\alpha) \, x^n}{n!}.
$$
3. Rappeler la définition du produit de Cauchy de deux séries entières et énoncer le théorème qui s’y rapporte.
4. En déduire que, pour tout entier $n$ et tous réels $\alpha$ et $\beta$,
$$
L_n(\alpha + \beta) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} L_k(\alpha) L_{n-k}(\beta).
$$
5. Pour $x \in ]-1, 1[$, donner la valeur de la somme de la série entière $\sum_{p=1}^{+\infty} x^p$ ainsi que celle de sa dérivée.}
6. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, il existe un unique polynôme $R_n \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que, pour tout $x \in ]-1, 1[$,
$$
\sum_{p=1}^{+\infty} p^n x^p = \frac{R_n(x)}{(1 – x)^{n+1}}.
$$
7. Déterminer les lois de $X_1$, $X_2$ et $X_3$ puis les fonctions $g_1$, $g_2$ et $g_3$.
8. Soient $n$ et $k$ deux entiers supérieurs ou égaux à 1. Établir que
$$
P(X_n = k) = \frac{k-1}{n+1} P(X_{n-1} = k-1) + \frac{n+1-k}{n+1}P(X_{n-1} = k).
$$
9. En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 et tout réel $t$,
$$
g_n(t) = \frac{t}{n+1} g’_{n-1}(t) + g_{n-1}(t).
$$
10. Démontrer que, pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$ et tout réel $t$,
$$
g_n(t) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} t^k.
$$}
11. Identifier la loi de $X_n$ et donner son espérance.
12. En dressant la liste de toutes les issues possibles, donner la loi de $X_3$.
13. Vérifier que $P_3(u, v) = u v^3 + 4u^2 v^2 + u^3 v$.
14. En examinant le nombre de boules dans l’urne juste avant chaque tirage, justifier que, pour $n \geq 1$,
$$
\operatorname{card}(\Omega_n) = (a_0 + b_0) \cdots (a_0 + b_0 + s(n-1)) = s^n L_n\left(\frac{a_0 + b_0}{s}\right).
$$
15. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $k \in \mathbb{N}$,
$$
P(X_n = k) = \frac{\operatorname{card}\bigl(\{\omega \in \Omega_n \ ;\ b(\omega) = k\}\bigr)}{\operatorname{card\,}\Omega_n}.
$$}
16. Justifier les égalités
$$
g_n(t) = \frac{1}{\operatorname{card}\Omega_n} P_n(t,1) \quad ; \quad \mathbb{E}(X_n) = \frac{1}{\operatorname{card}\Omega_n} \frac{\partial P_n}{\partial u}(1,1).
$$
17. Démontrer que, pour tout entier $n$,
$$
P_{n+1}(u,v) = u^{a+1} v^b \frac{\partial P_n}{\partial u}(u,v) + u^c v^{d+1} \frac{\partial P_n}{\partial v}(u,v).
$$
18. Justifier que, pour $\rho$ assez petit, la fonction $H$ est bien définie sur $D_\rho$.
19. Justifier que $H$ admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à $x$ sur le domaine $D_\rho$, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à $x$ de l’expression de $H$.
20. Démontrer que $H$ admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à $u$ sur le domaine $D_\rho$, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à $u$ de l’expression de $H$.}
21. Vérifier que $H(0, u, v) = u^{a_0}v^{b_0}$ puis que $H$ est solution sur $D_\rho$ de l’équation aux dérivées partielles
$$
\frac{\partial H}{\partial x}(x, u, v) = u^{a+1}v^b \frac{\partial H}{\partial u}(x, u, v) + u^c v^{d+1} \frac{\partial H}{\partial v}(x, u, v).
$$
22. À l’aide des résultats préliminaires, démontrer qu’il existe $\rho > 0$ tel que $D_\rho \subset U$ et, pour tout $(x,u,v) \in D_\rho$,
$$
G(x,u,v) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{Q_n(u,v)x^n}{n!}
$$
où $Q_n$ est une fonction polynomiale de deux variables à préciser.
23. Justifier que $G$ admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à $x$ sur le domaine $D_\rho$, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à $x$ de l’expression de $H$.
24. Démontrer que $G$ admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à $u$ sur le domaine $D_\rho$, obtenue par dérivation terme à terme par rapport à $u$ de l’expression de $H$.
25. En déduire que, pour tout entier $n$, $P_n = Q_n$, puis que $H$ et $G$ coïncident sur $D_\rho$, où $H$ et $(P_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ont été définis dans la partie III.}
26. Conclure que, pour tout entier $n$ et pour tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$,
$$
P(X_n = a_0 + k a) = \binom{n}{k}
\frac{L_k(a_0/a) L_{n-k}(b_0/a)}{L_n(a_0/a + b_0/a)}.
$$
27. À l’aide du résultat précédent, retrouver celui de la question 10.
28. À l’aide des résultats des questions 16 et 19, déterminer l’espérance de $X_n$.
29. À l’aide de la question 6, justifier que, pour tout entier $n$ et tous $u$ et $v$ tels que $0 < u < v$, la somme $$ \sum_{p=1}^{+\infty} p^n (v-u)^{n+1} \left(\frac{u}{v}\right)^p $$ est une fonction polynomiale de $u$ et $v$. 30. Montrer que $$ \sum_{p = n+1}^{+\infty} p^n t^p (1-t)^{n+1} = \underset{t \to 0^+}{\mathcal{O}}(t^{n+1}). $$} 31. En utilisant ce qui précède et en développant $(1-t)^{n+1}$, déterminer le développement limité de $g_n$ à l’ordre $n$ en $0$. 32. En déduire que, pour tout $m$ dans $\llbracket 1, n \rrbracket$, $$ P(X_n = m) = \frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k\binom{n+1}{k}(m-k)^n. $$ 33. Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 1, $(u_0, \ldots, u_k)$ une suite finie d’entiers, et $a$ un entier tel que $a > u_p$ pour tout $p \in \llbracket 0, k \rrbracket$. On insère la valeur $a$ dans cette suite juste après $u_i$, avec $i \in \llbracket 0, k-1 \rrbracket$, de manière à obtenir la suite $(u_0, \ldots, u_i, a, u_{i+1}, \ldots, u_k)$. Comparer le nombre de montées et de descentes de la nouvelle suite par rapport à l’ancienne. On distinguera deux cas.
34. Déterminer les éléments de $S_3$ et calculer parmi eux le nombre de permutations avec $m$ montées pour tout entier $m$. Comparer les valeurs obtenues avec les coefficients de $P_3(X, 1)$ où $P_3$ a été exprimé à la question 13.
35. Soit $n \geq 2$. Déterminer $A_{n,0}$, $A_{n,n-1}$ et $A_{n,m}$ pour $m \geq n$.}
36. À l’aide de l’algorithme ci-dessus, construire la permutation de $S_5$ associée à l’issue $(B_0, B_0, N_1, N_0, B_2)$.
37. Réciproquement, soit $\sigma$ l’élément de $S_7$ représenté par la suite $(7, 1, 3, 6, 5, 4, 2)$. Déterminer une issue $\omega$ comportant 7 tirages telle que $\sigma_\omega = \sigma$.
38. À l’aide de la question 33, comparer, pour une issue quelconque, le nombre de boules blanches dans la composition finale de l’urne au nombre de montées de la permutation qui lui est associée par l’algorithme ci-dessus.
39. Soit $m \in \llbracket 1, n \rrbracket$. Déterminer, pour tout entier $n \geq 2$ et tout $m \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket$ le nombre $A_{n,m}$ de permutations de $S_n$ ayant $m$ montées.}