Questions du sujet
1. Montrer que \text{Toep}_n(\mathbb{C}) est un sous-espace vectoriel de \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). En donner une base et en préciser la dimension.
2. Montrer que si deux matrices $A$ et $B$ commutent ($AB = BA$) et si $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $\mathbb{C}[X]$, alors $P(A)$ et $Q(B)$ commutent.
3. Donner le polynôme caractéristique de $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}$.
4. Discuter, en fonction des valeurs de $(a, b, c)$, de la diagonalisabilité de $A$.
5. Soit $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. Montrer que $M$ est semblable à une matrice de type $\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$ ou de type $\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}$, où $\alpha, \beta$ et $\gamma$ sont des complexes avec $\alpha \neq \beta$.}
6. En déduire que toute matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ est semblable à une matrice de Toeplitz.
7. Montrer que si l’on pose $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$, alors $(x_1, \dots, x_n)$ sont les termes de rang variant de $1$ à $n$ d’une suite $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ vérifiant $x_0 = 0$, $x_{n+1} = 0$ et pour tout $k \in \mathbb{N}$, $b x_{k+2} + (a-\lambda)x_{k+1} + c x_k = 0$.
8. Rappeler l’expression du terme général de la suite $(x_k)_{k\in\mathbb{N}}$ en fonction des solutions de l’équation $b x^2 + (a-\lambda)x + c = 0$.
9. À l’aide des conditions imposées à $x_0$ et $x_{n+1}$, montrer que cette équation admet deux solutions distinctes $r_1$ et $r_2$.
10. Montrer que $r_1$ et $r_2$ sont non nuls et que $r_1/r_2$ appartient à $\mathcal{U}_{n+1}$.}
11. En utilisant l’équation satisfaite par $r_1$ et $r_2$, déterminer $r_1 r_2$ et $r_1 + r_2$. En déduire qu’il existe un entier $\ell \in \llbracket 1, n \rrbracket$ et un nombre complexe $\rho$ vérifiant $\rho^2 = bc$ tels que $\lambda = a + 2\rho \cos\left(\frac{\ell \pi}{n+1}\right)$.
12. En déduire qu’il existe $\alpha \in \mathbb{C}$ tel que, pour tout $k$ dans $\llbracket 0, n+1 \rrbracket$, $x_k = 2i\alpha \frac{\rho^k}{b^k} \sin\left(\frac{\ell k \pi}{n+1}\right)$.
13. Conclure que $A_n(a,b,c)$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
14. Calculer $M_n^2$, $\ldots$, $M_n^n$. Montrer que $M_n$ est inversible et donner un polynôme annulateur de $M_n$.
15. Justifier que $M_n$ est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres (exprimées à l’aide de $\omega_n$) et donner une base de vecteurs propres de $M_n$.}
16. On pose $\Phi_n = (\omega_n^{(p-1)(q-1)})_{1 \leq p,q \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Justifier que $\Phi_n$ est inversible et donner sans calcul la valeur de la matrice $\Phi_n^{-1} M_n \Phi_n$.
17. Soit $A$ une matrice circulante. Donner un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $A = P(M_n)$.
18. Réciproquement, si $P \in \mathbb{C}[X]$, montrer, à l’aide d’une division euclidienne de $P$ par un polynôme bien choisi, que $P(M_n)$ est une matrice circulante.
19. Montrer que l’ensemble des matrices circulantes est un sous-espace vectoriel de $\text{Toep}_n(\mathbb{C})$, stable par produit et par transposition.
20. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres.}
21. Montrer que si $M$ est dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, alors les propositions suivantes sont équivalentes : \emph{i.} il existe $x_0$ dans $\mathbb{C}^n$ tel que $(x_0, f_M(x_0), \ldots, f_M^{n-1}(x_0))$ est une base de $\mathbb{C}^n$; \emph{ii.} $M$ est semblable à la matrice $C(a_0, \ldots, a_{n-1})$ définie par $C(a_0, \ldots, a_{n-1}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_0 \\ 1 & \ddots & & 0 & a_1 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & a_{n-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & a_{n-1} \end{pmatrix}$ où $(a_0, \ldots, a_{n-1})$ sont des nombres complexes.
22. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $(u_1, \ldots, u_n, \lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ pour que $(u, f_M(u), \ldots, f_M^{n-1}(u))$ soit une base de $\mathbb{C}^n$, où $u = \sum_{i=1}^n u_i e_i$.
23. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’un endomorphisme diagonalisable soit cyclique. Caractériser alors ses vecteurs cycliques.
24. Soit $\lambda$ un nombre complexe. En discutant dans $\mathbb{C}^n$ du système $C(a_0, \ldots, a_{n-1}) X = \lambda X$, montrer que $\lambda$ est une valeur propre de $C(a_0, \ldots, a_{n-1})$ si et seulement si $\lambda$ est racine d’un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ à préciser.
25. Si $\lambda$ est racine de ce polynôme, déterminer le sous-espace propre de $C(a_0, \ldots, a_{n-1})$ associé à la valeur propre $\lambda$ et préciser sa dimension.}
26. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice cyclique soit diagonalisable.
27. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$. Montrer que $P(f_M) \in \mathcal{C}(f_M)$.
28. Soit $g \in \mathcal{C}(f_M)$. Montrer qu’il existe $(\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}) \in \mathbb{C}^n$ tels que $g = \alpha_0 \mathrm{Id}_{\mathbb{C}^n} + \alpha_1 f_M + \cdots + \alpha_{n-1} f_M^{n-1}$.
29. Conclure.
30. Donner les valeurs propres de $N = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ 1 & \ddots & \\ 0 & \ddots & \ddots \end{pmatrix}$. Les sous-espaces propres associés. Est-elle diagonalisable ?}
31. La matrice $N$ est-elle cyclique ?
32. Montrer que l’ensemble des matrices qui commutent avec $N$ est l’ensemble des matrices de Toeplitz triangulaires inférieures.
33. Montrer que si $i$ et $j$ sont dans $\llbracket -n+1, n-1 \rrbracket$, si $A \in \Delta_i$ et $B \in \Delta_j$, alors $AB \in \Delta_{i+j}$.
34. En déduire que si $A \in H_i$ et $B \in H_j$, alors $AB \in H_{i+j}$.
35. Soit $C$ une matrice nilpotente. Montrer que $I_n + C$ est inversible et que $(I_n + C)^{-1} = I_n – C + C^2 + \cdots + (-1)^{n-1} C^{n-1}$.}
36. On suppose que $k \geq 0$ et que $C$ est une matrice de $\Delta_{k+1}$. On pose $P = I_n + C$. Montrer que $P$ est inversible et que $P^{-1} \in \bigoplus_{p=0}^{n-1} \Delta_{p(k+1)}$.
37. On considère l’endomorphisme $\varphi$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ défini par $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \varphi : M \mapsto P^{-1} M P$. Soient $i \in \llbracket 0, k \rrbracket$ et $M \in \Delta_i$. Montrer qu’il existe $M’$ dans $H_{k+1}$ tel que $\varphi(M) = M + M’$.
38. La matrice $N$ étant la matrice définie en III.A.4, montrer qu’il existe $N’$ dans $H_{k+1}$ tel que $\varphi(N) = N + NC – CN + N’$.
39. Soit $T$ une matrice triangulaire supérieure. On pose $A = N + T$, $B = \varphi(A)$. Montrer que $B \in H_{-1}$ et que pour tout $i \in \llbracket -1, k-1\rrbracket, B^{(i)} = A^{(i)}$ et $B^{(k)} = A^{(k)} + NC – CN$.
40. Montrer que le noyau de $\mathcal{S}: X \mapsto N X – X N$ est l’ensemble des matrices de Toeplitz réelles triangulaires inférieures.}
41. Montrer que $\mathcal{S}(\Delta_{k+1}) \subset \Delta_k$ et $\mathcal{S}^*(\Delta_k) \subset \Delta_{k+1}$, où $\mathcal{S}^*(X) = {}^t N X – X {}^t N$.
42. Vérifier que pour tous $X$ dans $\Delta_{k+1}$ et $Y$ dans $\Delta_k$, $\langle \mathcal{S}_{k+1} X, Y \rangle = \langle X, \mathcal{S}^*_k Y \rangle$. En déduire que $\ker(\mathcal{S}^*_k)$ et $\operatorname{Im}(\mathcal{S}_{k+1})$ sont supplémentaires orthogonaux dans $\Delta_k$, c’est-à-dire que $\Delta_k = \ker(\mathcal{S}^*_k) \oplus^\perp \operatorname{Im}(\mathcal{S}_{k+1})$.
43. Soient $T$ une matrice triangulaire supérieure, $A = N + T$ et $k \geq 0$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice $L$ dont tous les coefficients diagonaux d’ordre $k$ sont égaux et vérifiant $\forall i \in \llbracket -1, k – 1\rrbracket, L^{(i)} = A^{(i)}$.
44. En déduire que toute matrice cyclique est semblable à une matrice de Toeplitz.}