Questions du sujet
1. I.A – Image et noyau de $c$\\ Déterminer une base du noyau et une base de l’image de $c$, ainsi que le rang de $c$. 2. I.B.1) Montrer que $F$ est stable par $c$. 3. I.B.2) Montrer que $(f_1, f_2, f_3)$ est une base de $F$, et calculer la matrice $\Phi$ dans cette base de l’endomorphisme $\varphi$ de $F$ induit par $c$. 4. I.C.1) Pourquoi 1 est-il valeur propre de $\Phi$ ? 5. I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de $\Phi$ que $\Phi$ est diagonalisable dans $M_3(\mathbb{C})$ ?} 6. I.C.3) Calculer $\Phi^2$. À partir des informations complémentaires obtenues par le calcul de la trace de $\Phi^2$, déterminer le spectre de $\Phi$.\\ La matrice $\Phi$ est-elle diagonalisable dans $M_3(\mathbb{R})$ ? 7. I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de $C$. On précisera l’ordre de multiplicité des valeurs propres. 8. I.D.2) La matrice $C$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ? sur $\mathbb{R}$ ? Si oui, indiquer une matrice diagonale semblable à $C$. 9. I.E.1) Quelle structure possède l’ensemble $S$ des fonctions $f$ de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^7$ vers $\mathbb{R}$ telles que $f \circ c = f$ ? 10. I.E.2) Montrer qu’une telle fonction vérifie $f\circ c^n = f$ pour tout entier $n > 1$.} 11. I.E.3) Soit $f \in S$. Calculer la matrice jacobienne de $f \circ c$ en $X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7)$.\\ En déduire un système d’équations reliant les dérivées partielles $\partial_1 f(X), \ldots, \partial_7 f(X)$ de $f$ en un point $X$ de $\mathbb{R}^7$. 12. I.E.4) Pour $f \in S$, calculer la matrice jacobienne de $f \circ c^2$ en $X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7)$.\\ Compléter le système d’équations reliant les dérivées partielles $\partial_1 f(X), \ldots, \partial_7 f(X)$ de $f$ en un point $X$ de $\mathbb{R}^7$ obtenu à la question précédente. 13. I.E.5) \textbf{APPLICATION :} sans calcul supplémentaire, déterminer les formes linéaires $f$ sur $\mathbb{R}^7$ qui appartiennent à $S$. 14. II.A – Transformation de solutions\\ Montrer que si $f$ est une solution de $(E)$ sur un intervalle $J$, et si $a$ est un réel non nul, alors la fonction $h$ définie par $h(x) = a f\left(\frac{x}{a}\right)$ est aussi une solution de $(E)$ sur un intervalle que l’on précisera. 15. II.B.1) Déterminer l’ensemble de définition $\Delta$ de $g$, ainsi qu’une expression de $g$.} 16. II.B.2) Vérifier que la restriction de $g$ au plus grand intervalle ouvert inclus dans $\Delta$ est une solution de $(E)$. 17. II.B.3) Est-ce une solution maximale ? Sinon, déterminer une solution maximale $m$ dont le graphe inclut celui de $g$. 18. II.C.1) Rappeler l’énoncé du théorème d’existence et d’unicité des solutions maximales d’une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux conditions de Cauchy. 19. II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème s’applique à $(E)$. 20. II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions maximales de $(E)$ ?} 21. II.C.4) Déduire des questions précédentes les solutions maximales de $(E)$. 22. II.D.1) Montrer que la solution $m$ déterminée à la question III.B.3) est développable en série entière au voisinage de 0. Calculer ce développement et préciser son rayon de convergence. 23. II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions maximales de $(E)$ ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières. 24. III.A.1) Représenter $\mathcal{C}$. 25. III.A.2) Préciser les propriétés topologiques suivantes de $\mathcal{C}$ :\\ a) Est-ce un ouvert de $\mathbb{R}^2$ ?\\ b) Un fermé ?\\ c) Une partie bornée ?\\ d) Un compact ?\\ e) Une partie convexe ?} 26. III.B.1) Calculer $\rho(t)$ pour tout $t \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right]$. 27. III.B.2) Représenter sur la calculatrice l’arc paramétré $G : [\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}] \to \mathbb{C},\ t \mapsto \rho(t)e^{it}$, et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe évoque-t-elle ? 28. III.B.3) À partir de l’expression de $\gamma(t)$, calculer $\tan\theta(t)$. 29. III.B.4)\\ a) Représenter la fonction $t \mapsto \arctan(2 \tan t)$ sur la partie de l’intervalle $[\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$ sur laquelle cette fonction est définie.\\ b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue $\theta$ cherchée.\\ On vérifiera le résultat en représentant à l’aide de la calculatrice la courbe paramétrée $z$. 30. III.B.5) Indiquer une suite d’instructions Maple ou Mathematica permettant d’obtenir ce tracé.} 31. III.C.1) Étudier rapidement $\alpha$ et $\omega$, puis représenter sur un même graphique les deux fonctions $t \mapsto \alpha(10, t)$ et $t \mapsto \omega(10, t)$. 32. III.C.2) Représenter la fonction $\psi : [\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}] \to \mathbb{R},\ t \mapsto \frac{1}{4} \sin\left(\frac{2}{3}(t – \frac{\pi}{4})\right)$. 33. III.C.3) On définit la fonction : $w : \mathbb{N}^* \times [\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}] \to \mathbb{C},\ (n, t) \mapsto \rho(t)\left(1 + \psi(t)\omega(n, t)\right)e^{i\theta(\alpha(n, t))}$.\\ On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque $n=40$. Mais la courbe a été mélangée avec d’autres courbes représentant la lettre « C ». Identifier lequel des quatre graphiques représente la fonction $t \mapsto w(40, t)$, et expliquer pourquoi. 34. III.C.4) Écrire une séquence d’instructions Maple ou Mathematica permettant de créer la séquence des 100 premières courbes (on pourra créer une animation). 35. III.D.1) Rappeler l’énoncé du théorème de Green-Riemann. Expliquer comment ce théorème se traduit dans le cas d’un calcul d’aire.} 36. III.D.2) Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux nombres complexes. En déduire l’expression du produit scalaire $\langle u \circ v(t), v'(t)\rangle$, lorsque $u$ et $v$ sont les applications $u : \mathbb{C} \to \mathbb{C},\ z \mapsto iz$ et $v : t \mapsto \sigma(t)e^{i\mu(t)}$, où $\sigma$ et $\mu$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $J$ de $\mathbb{R}$, à valeurs réelles et de classe $C^1$. 37. III.D.3) Si $d(t) = \arctan(2\tan(t))$, simplifier $\frac{1}{2}(1 + 3\sin^2 t)d'(t)$. 38. III.D.4) Déduire des questions précédentes une expression de $A$ sous la forme d’une intégrale. Simplifier cette intégrale grâce à l’identité obtenue en III.D.3). Calculer enfin $A$.}FAQ
Déterminer le noyau et l’image d’un endomorphisme, c’est le cœur de l’algèbre linéaire : cela te demande de trouver quels vecteurs sont envoyés sur zéro et de comprendre l’action de ton application sur tout l’espace vectoriel. Le rang, qui exprime la dimension de l’image, joue un rôle majeur dans de nombreux exercices de concours, notamment en PSI, car c’est une porte d’entrée vers la diagonalisation, la résolution de systèmes linéaires ou l’étude de la structure de l’espace. Entraîne-toi bien sur ces bases, elles reviennent régulièrement aux écrits !
La diagonalisabilité, c’est l’outil ultime pour analyser simplement la dynamique d’un endomorphisme ou résoudre une équation différentielle linéaire. En concours Centrale PSI, tu la croiseras partout : étude des valeurs propres, multiplicité, décomposition spectrale… Savoir déterminer si une matrice est diagonalisable (et sur quel corps, ℝ ou ℂ) est crucial pour pouvoir exploiter toutes les propriétés de l’application. C’est une question à maîtriser absolument, que ce soit en algèbre, en analyse matricielle ou dans les exercices de transformations linéaires.
Le spectre et les valeurs propres d’un opérateur ou d’une matrice, c’est la clé pour comprendre les comportements fondamentaux d’une transformation. En concours, tu les utilises pour étudier la stabilité d’un système, réduire des matrices, résoudre des équations différentielles, ou travailler sur les applications réelles et complexes d’un même endomorphisme. Savoir les calculer et exploiter le lien avec la trace, le déterminant, voire les polynômes caractéristiques et minimal, c’est incontournable pour affronter sereinement les sujets de Centrale et autres grandes écoles scientifiques.
Les questions sur les systèmes d’équations aux dérivées partielles et la jacobienne sont fréquentes pour vérifier que tu maîtrises l’analyse multidimensionnelle. On s’en sert pour traduire l’action d’une application linéaire ou non linéaire sur des fonctions, et pour trouver les symétries ou invariances — comme ici avec les fonctions vérifiant f∘c=f. Comprendre et manipuler le différentiel d’une fonction te sera demandé aussi bien en analyse qu’en géométrie ou en méca. Ce sont des outils essentiels pour réussir l’épreuve, n’hésite pas à débloquer les corrigés pour t’entraîner sur des exemples concrets !
Les équations différentielles (EDO ou EDP) sont le terrain de jeu préféré du jury pour tester ta compréhension profonde de l’analyse et des techniques de résolution. Elles font le lien entre l’algèbre et l’analyse, et interviennent autant dans la modélisation physique que dans des problèmes abstraits. Au concours Centrale PSI, maîtriser les méthodes générales (unicité, existence, changement de variable, solutions maximales, séries entières) fait la différence : il est donc essentiel de t’exercer sur ce type de questions pour être à l’aise le jour J.
Quand tu rencontres une EDO dans un sujet (comme ici), on te demande fréquemment d’énoncer le théorème d’existence et d’unicité puis d’en discuter l’application concrète. Il te faut alors identifier si les hypothèses sont réunies (continuité, Lipschitz…), expliquer l’intervalle de validité, et distinguer entre solution locale et solution maximale. Ce point est ultra-fréquent : il peut tomber aussi bien en question directe qu’en analyse de stabilité ou dans l’étude qualitative d’une solution. Fais-toi la main en débloquant les corrigés complets pour voir comment rédiger proprement !
Les épreuves aiment confronter les candidats à des situations mêlant géométrie et analyse complexe, notamment par le biais de courbes paramétrées sur le plan (réel ou complexe). Savoir manipuler ces objets, interpréter leur forme, exploiter les changements de repère et effectuer des calculs d’aires ou de longueurs à l’aide d’outils analytiques (théorème de Green-Riemann par exemple), c’est fondamental pour comprendre en profondeur les modèles proposés. Étudier la topologie d’un ensemble, le sens de parcours, la convexité ou d’autres propriétés, permet de te préparer au grand oral comme à l’écrit.
Les sujets Centrale PSI intègrent de plus en plus souvent des demandes de visualisation ou de simulation informatique, avec Maple ou Mathematica en tête de liste. Savoir saisir une suite d’instructions pour tracer une courbe, animer une trajectoire ou illustrer un comportement asymptotique donne une vraie valeur ajoutée à ta copie – et c’est un atout à réutiliser en oral, projets ou TIPE. N’hésite pas à débloquer les corrigés pour récupérer des scripts commentés et te familiariser avec les manipulations incontournables.