Questions du sujet
1. I.A.1) Écrire une fonction suite qui prend en argument $x$ et l’entier $n$ et qui renvoie l’affichage de la liste (ou tableau si l’on préfère) $[s_1,s_2, \ldots ,s_n]$. 2. I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu’elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées $(n, S_n)_{n\leq 70}$ et de la droite horizontale d’ordonnée $x$ (on ne demande pas d’écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour $x = -1$, $n=70$ le dessin suivant : \emph{[figure non reproduite]}. \\ Que constate-t-on pour la suite $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ? Expliquer le principe de l’algorithme. 3. I.B \quad On pose dorénavant, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $s(n) = s_n$.\newline Prouver, pour $n > 1$, les propriétés suivantes : $$\{s(1), s(2), \ldots, s(n)\} = \{2, 4, \ldots, 2p_n\} \cup \{1, 3, \ldots, 2q_n – 1\}$$ $$p_n + q_n = n$$ $$S_n = u_{s(1)} + \cdots + u_{s(n)}$$ En déduire que $s$ est injective. 4. I.C.1) Démontrer qu’une suite d’entiers convergente est constante à partir d’un certain rang. 5. I.C.2) On se propose de démontrer que la suite $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ croît vers $+\infty$. \begin{itemize} \item[a)] On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée. Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu’il existe un entier $n_0$ tel que pour $n > n_0$, $S_n > x$ et $$S_n = S_{n_0} – \sum_{k=n_0}^{n-1} \frac{1}{2q_{n_0} + 2k – 2n_0 + 1}$$ En déduire une contradiction. \item[b)] Déduire du raisonnement précédent que la suite $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$. \end{itemize}} 6. I.C.3) Justifier rapidement que $(q_n)$ tend vers $+\infty$. 7. I.C.4) Déduire de ce qui précède que $s$ est une bijection de $\mathbb{N}^*$ sur lui-même. 8. I.D.1) Démontrer que, pour tout entier $n > 0$, on a : $|S_{n+1} – x| \leq |S_n – x|$ ou $|S_{n+1} – x| \leq |u_{s(n+1)}|$. 9. I.D.2) En déduire que pour tout naturel $N$, il existe un entier $n > N$ tel que $|S_{n+1} – x| \leq |u_{s(n+1)}|$. 10. I.D.3) Justifier l’existence d’un entier $n_0$ tel que pour $n > n_0$, $p_n > 1$ et $q_n > 1$.} 11. I.D.4) Soit $n > n_0$. On note $v_n = \max\big(|S_n-x|,\, |u_{2p_n+1}|,\, |u_{2q_n+1-1}|\big)$.\\ Démontrer que $(v_n)_{n> n_0}$ est décroissante. En déduire qu’elle converge vers $0$. 12. I.D.5) Démontrer que $(S_n)$ converge vers $x$ et conclure. 13. I.E.1) Démontrer l’existence d’une constante $\gamma > 0$ telle que : \[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1) \quad \text{quand } n \to +\infty. \] 14. I.E.2) Donner un développement analogue pour $\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}$ en fonction de $\gamma$. 15. I.E.3) \begin{itemize} \item[(a)] Justifier, pour tout naturel $n$ tel que $p_n > 1$ et $q_n > 1$, l’égalité : \[ S_n = \sum_{k=1}^{p_n} \frac{1}{2k} – \sum_{k=1}^{q_n} \frac{1}{2k-1}. \] \item[(b)] En déduire que : $S_n = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{p_n}{n-p_n}\right) – \ln2 + o(1)$. \item[(c)] En déduire un équivalent simple de $p_n$ et de $q_n$. \item[(d)] Déterminer la limite de : \[ \frac{|u_{s(1)}| + |u_{s(2)}| + \cdots + |u_{s(n)}|}{|u_1| + |u_2| + \cdots + |u_n|} \quad \text{quand } n \to +\infty. \] \end{itemize}} 16. II.A \quad Montrer qu’une suite complexe $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ telle que la série $\sum a_n$ converge absolument vérifie (P1). 17. II.B.1) Prouver que la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ possède une limite si la série $\sum |a_{n+1} – a_n|$ converge. 18. II.B.2) Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle telle que la série $\sum u_n$ converge. On note $U_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.$ Prouver, pour tout entier naturel $N$, la relation : \[ \sum_{n=0}^N a_n u_n = \sum_{n=0}^{N-1} (a_n – a_{n+1}) U_n + a_N U_N. \] En déduire que la suite $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifie (P2). 19. II.C \quad Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\sum |a_n|$ diverge.\\ Construire une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres complexes de module 1 telle que la série $\sum a_n u_n$ diverge. Caractériser les suites complexes $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ vérifiant (P1). 20. II.D.1) Dans cette question seulement on suppose que $a_0 = 1$ et, pour tout $n > 1$, $a_n = \frac{9}{4(n+1)}$. Déterminer les 6 premiers termes des suites $(p_n)$, $(\varepsilon_n)$ et $(A_n)$.\\ Écrire une procédure \emph{exemple} qui prend en argument l’entier $n$ et retourne la liste :\newline \textbf{en Maple :} $[[0,p_0,\varepsilon_0,A_0],[1,p_1,\varepsilon_1,A_1],\ldots, [n,p_n,\varepsilon_n,A_n]]$\newline \textbf{en Mathematica :} $\\{{0,p_0,\varepsilon_0,A_0}, \{1,p_1,\varepsilon_1,A_1\},\ldots, \{n,p_n,\varepsilon_n,A_n\}}$} 21. II.D.2) \begin{itemize} \item[(a)] Démontrer que pour tout naturel $N$, il existe un entier $n > N$ tel que $p_n = 1 + p_{n-1}$ (on pourra raisonner par l’absurde).\\ En déduire qu’on peut définir une suite $(n_k)_{k\in\mathbb{N}}$ strictement croissante d’entiers par : \[ \left\{ \begin{array}{l} n_0=0 \\ n_{k+1} = \min \{n \in \mathbb{N}\mid n > n_k \text{ et } p_n=1+p_{n-1}\} \end{array} \right. \] pour $k>0$. \item[(b)] Dans le cas général, calculer $p_{n_k}$, $\varepsilon_{n_k}$.\\ Prouver que la suite $(\varepsilon_n)$ tend vers 0 et que la série $\sum \varepsilon_n a_n$ diverge. \item[(c)] Déterminer $n_1$, $n_2$ et $n_3$ pour l’exemple de la question III.B.1). \end{itemize} 22. II.D.3) Dans cette question seulement on suppose que : $\forall n \in \mathbb{N}$, $a_n = \frac{1}{n+1}$. \begin{itemize} \item[a)] Écrire une fonction \emph{indexer} qui prend en argument l’entier $n$ et qui retourne :\\ \textbf{en Maple :} \[ [0,n_0], [1,n_1], \ldots, [q,n_q] \] \textbf{en Mathematica :} \[ \{0,n_0\}, \{1,n_1\}, \ldots, \{q,n_q\} \] où $q$ est le plus grand des entiers $k$ tels que $n_k \leq n$. Par exemple, l’appel de \emph{indexer}(10000) retourne $[0,0],[1,1],[2,2],[3,51]$ (resp.\ $\{0,0\},\{1,1\},\{2,2\},\{3,51\}$). \end{itemize} 23. II.E \begin{itemize} \item[a)] Soit $(a_n)$ une suite de réels quelconques telle que, pour toute suite $(\varepsilon_n)$ de réels tendant vers 0, la série $\sum \varepsilon_n a_n$ converge. Prouver que la série $\sum \varepsilon_n |a_n|$ converge. \item[b)] En déduire que la série $\sum |a_n|$ converge. \end{itemize} 24. II.F.1) Soit maintenant $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels telle que, pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, la convergence de la série $\sum x_n$ entraîne la convergence de la série $\sum a_n x_n$.\\ Prouver que la suite $(a_n)$ est bornée. 25. II.F.2) Soit $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite réelle de limite nulle. Prouver la convergence de la série $\sum \varepsilon_n (a_{n+1} – a_n)$.} 26. II.F.3) Prouver que la série $\sum |a_{n+1} – a_n|$ converge. 27. II.F.4) Caractériser les suites vérifiant (P2).}FAQ
Le sujet de l’épreuve Centrale PSI 2009 balaye tout ce qu’on attend d’un bon préparationnaire sur les suites : convergence, divergence, manipulation de suites récurrentes, propriétés d’injectivité/surjectivité, et surtout raisonnement rigoureux sur les séries, que ce soit absolument ou non. Les questions sur les relations de récurrence, les séries à termes positifs ou alternés, et les applications pratiques (étude de bijections, construction de suites complexes) sont au cœur de l’épreuve. Si tu veux progresser, assure-toi également de bien savoir manipuler les critères de convergence, les développements asymptotiques (ex : ln n + γ) et de comprendre les subtilités des séries semi-convergentes.
En mathématiques, spécialement dans le contexte du concours Centrale et dans ce sujet de 2009, prouver qu’une application (ici une suite transformée en ‘fonction’) est injective ou bijective permet de démontrer des résultats d’unicité ou de compréhension approfondie de la structure des suites : savoir quelles valeurs sont atteintes, combien de fois, et si chaque entier naturel correspond bien à un terme unique. Cette notion fait le lien direct avec la construction de suites à partir de règles de sélection ou en rapport avec des récurrences d’indices. Mets-toi dans la peau d’un problème d’admissibilité : rien ne doit t’échapper sur ce point !
La maîtrise du principe de récurrence est indispensable en PSI, notamment lorsqu’il s’agit de démontrer les propriétés de suites définies de façon récurrente (croissance, décroissance, bornitude, convergence). Tu dois toujours bien identifier l’hypothèse initiale et la manière dont le passage de n à n+1 fait progresser ta démonstration. Le sujet Centrale 2009 illustre parfaitement l’utilité du raisonnement par l’absurde et des preuves par récurrence pour atteindre des conclusions sur la croissance vers l’infini ou la régularité de certains comportements de suites. Astuce : ne t’arrête jamais à une simple intuition – détaille toujours chaque étape pour gagner un maximum de points.
Les séries alternées et semi-convergentes mettent en lumière toute la subtilité des critères de convergence et la frontière entre la convergence absolue et la simple convergence. Ce sont des objets mathématiques fascinants : par exemple, la série harmonique alternée converge, mais pas la série harmonique simple… Comprendre ces différences, manipuler le o(1), savoir calculer ou estimer leur somme sont des compétences très valorisées en concours. L’épreuve Centrale PSI 2009 te propose justement de jongler avec ces concepts, en lien avec les suites définies à partir de ces séries. Pour progresser sur ces sujets, n’hésite pas à débloquer les corrigés et à t’exercer sur les autres annales disponibles sur Prépa Booster !
Quand un sujet d’épreuve te demande d’écrire des fonctions (Maple, Python, Mathematica…), commence toujours par bien comprendre la logique mathématique de la suite : initialisation, formule de récurrence, bornes de l’indice. Explique chaque étape dans le code, teste pour des petits cas, et trace éventuellement des graphes pour visualiser. Le sujet Centrale PSI 2009 te pousse à simuler le comportement des suites et des séries, notamment via l’affichage de points ou la comparaison à des droites. Truc de prof : soigner la clarté et les noms de variables, et toujours commenter son code pour que l’examinateur voie que tu maîtrises la double casquette Maths/Info – une qualité imparable pour le concours.