Questions du sujet
1. Quel lien y a-t-il entre une trajectoire $\gamma(t)$ du système et le champ $\Phi(X)$ ? 2. Démontrer que si $(X(t), t \in I)$ est une solution de $(S)$, la fonction d’énergie $F(X) = y^2/2 + f(x)$ est constante sur $I$. Pour toute trajectoire issue de $X_0$, on notera $h = F(X_0)$ cette valeur constante, ou énergie de la trajectoire. Il en résulte que si $X = (x, y)$, la conservation de l’énergie $(H)$ $F(X) = h$ donne une équation implicite des trajectoires dans le plan de phase $P$.} 3. I.A.1) Déterminer la solution $t\mapsto x(t)$ d’énergie $h > 0$. Quelle est la période $T$ de cette solution ? 4. I.A.2) Démontrer que la trajectoire associée dans l’espace des phases est une courbe fermée $\Gamma_h$ dont on précisera la nature et tracera le graphe: \begin{enumerate} \item[a)] Donner son équation et ses points caractéristiques en fonction de $\omega$ et $h = F(X_0)$. \item[b)] Indiquer sur le graphe le sens de parcours de cette trajectoire. \end{enumerate} 5. I.A.3) Que vaut la solution $t\mapsto X(t)$ si $X_0 = (0, 0)$ ? Quelles sont toutes les trajectoires d’énergie $0$ ? 6. I.B.1) Calculer la solution générale $t\mapsto x(t)$.} 7. I.B.2) Donner l’équation des trajectoires $\gamma_h$ et les représenter graphiquement selon que $h > 0, h < 0$ ou $h = 0$ (on indiquera le sens de parcours de ces trajectoires). Quelle est la nature de ces courbes, sont-elles fermées ? 8. I.B.3) Que se passe-t-il si $X_0 = (0,0)$ ? Quelles sont toutes les trajectoires d’énergie nulle ? 9. II.A.1) Soit $U = \{x \in \mathbb{R}\ |\ f(x) < h \}$. Démontrer qu’il existe un unique intervalle ouvert non vide maximal $I(x_0) = ]a, b[$ (avec $a, b \in \mathbb{R}$) tel que $x_0 \in I(x_0) \subset U$. 10. II.A.2) En résolvant l’équation $(H)$ par rapport à $y$, obtenir une équation différentielle du premier ordre en $x$. 11. II.A.3) Montrer que la fonction $\tau$, définie par $\tau(x) = \displaystyle \int_{x_0}^x \frac{du}{\sqrt{2(h-f(u))}}$ est un $C^1$-difféomorphisme de $I(x_0) = ]a, b[$ sur $J(x_0) = ]\alpha, \beta[$. Résoudre sur l’intervalle $J(x_0)$ l’équation obtenue à la question précédente.} 12. II.B - Démontrer que la fonction $\Psi : t \mapsto (\psi(t), \psi'(t))$ avec $\psi(t) = \tau^{-1}(t)$ est solution de $(S)$ définie sur l’intervalle $J(x_0) = ]\alpha, \beta[$. 13. II.C.1) On considère une autre solution de $(S)$, notée $X_1: t \mapsto (x_1(t), x'_1(t))$ qui est définie sur le même intervalle $J(x_0)$ telle que $X_1(0) = (x_0, y_0)$. Soit $J_1 = ]u, v[ \subset J(x_0)$ l’intervalle maximal (contenant $0$) sur lequel $x'_1(t) > 0$. On suppose $\alpha < u$ (resp. $v < \beta$). Appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz et en déduire une contradiction (examiner les signes de $\psi'(u), x'_1(u)$). 14. II.C.2) En déduire que $\Psi$ est l’unique solution de $(S)$ définie sur $J(x_0)$ satisfaisant à la condition initiale $\Psi(0) = (x_0, y_0)$. 15. II.D - Démontrer que $Z : t \mapsto (\psi(-t), -\psi'(-t))$ est l’unique solution de $(S)$ sur $]-\beta, -\alpha[$ partant à l’instant $t=0$ du point $Z_0 = (x_0, -y_0)$.} 16. II.E.1) On suppose ici que $-\infty < a, f'(a) \neq 0$ et $b < +\infty, f'(b) \neq 0$. Démontrer les propriétés suivantes: \begin{enumerate} \item[a)] $f(a) = f(b) = h$, $f'(a) < 0, f'(b) > 0$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. \item[b)] Déterminer $\lim_{t\to\alpha^+} \Psi(t)$ et $\lim_{t\to\beta^-} \Psi(t)$, puis montrer que $\Psi$ se prolonge sur $[\alpha, \beta]$. \item[c)] Montrer que la trajectoire $\Psi$ se prolonge par la fonction $t\mapsto Z(t-2\beta)$ définie sur l’intervalle $]\beta, 2\beta-\alpha[$ en une solution $t\mapsto X(t)$ de $(S)$ définie sur $]\alpha, 2\beta-\alpha[$ dont les deux extrémités coïncident. \end{enumerate} 17. II.E.2) On suppose ici que $-\infty < a, f(a) = h$ et $f'(a) = 0, f''(a) \neq 0$. Démontrer que $f''(a) < 0$ et $\alpha = -\infty$. Énoncer le résultat équivalent pour $b$. 18. II.E.3) On suppose ici que $a = -\infty$. Que peut-on dire de la trajectoire sur l’intervalle de temps $]\alpha, 0[$ ? Énoncer le résultat équivalent pour $b$. 19. II.E.4) Pour les trajectoires $\Gamma_h$ ou $\gamma_h$ étudiées en partie I, préciser les points $a, b$ et leur nature (type II.E.1, II.E.2 ou II.E.3).} 20. III.A - Quelle est la solution de $(S)$, définie sur $\mathbb{R}$, partant de $X_0 = E$ ? 21. III.B - Déterminer les solutions de $(L)$ (on posera $f''(e) = \pm \gamma^2$ avec $\gamma \in \mathbb{R}_+$). 22. III.C - Le point d’équilibre $(e, 0)$ est dit stable si les solutions de $(L)$ restent bornées lorsque $t \to \pm\infty$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(e, 0)$ soit un équilibre stable. 23. III.D.1) Démontrer qu’il existe un intervalle $[c, d]$ contenant $e$ tel que la restriction de $f$ à $[c, e]$ (resp. $[e, d]$) soit un $C^1$-difféomorphisme sur son image $[0, f(c)]$ (resp. $[0, f(d)]$). 24. III.D.2) En déduire l’existence de $H > 0$ tel que, pour tout $h \in ]0, H]$, l’équation $f(x) = h$ admet deux solutions $x_-(h), x_+(h)$ avec $x_-(h) < e < x_+(h)$ et $\lim_{h\to0} x_-(h) = \lim_{h\to0} x_+(h) = 0$.} 25. III.D.3) Démontrer que $(e, 0)$ est un minimum local strict de $F(X)$, en déduire qu’il existe $R > 0$ tel que, pour toute condition initiale $X_0 \in B(E, R)$ (disque de centre $E$ et de rayon $R$), la trajectoire associée est périodique. Déterminer la période $T(h)$ comme intégrale fonction de $h$. 26. III.E.1) Donner le développement limité à l’ordre 2 de $f(u)$ au voisinage de $e$. En déduire une expression de $h_n$ en fonction de $x_{+n}$ et $v$. 27. III.E.2) En paramétrant le segment $[e, x_{+n}]$ par $v \in [0, 1]$, démontrer l’existence d’une suite de fonctions continues $(\varepsilon_{+n})$ qui tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l’infini, telle que \[ \int_{x_{+n}}^e \frac{du}{\sqrt{2(h_n-f(u))}} = \int_0^1 \frac{dv}{\sqrt{(1-v^2)f”(e) + \varepsilon_{+n}(v)}} \] Énoncer le résultat analogue sur l’intervalle $[x_{-n}, e]$. 28. III.E.3) En déduire $\lim_{n\to\infty} T_n$ puis $\lim_{h\to 0} T(h)$ (énoncer précisément le théorème utilisé). Quelle période retrouve-t-on ?} 29. IV.A – Déterminer tous les points d’équilibre. Lesquels sont stables ? 30. IV.B – Démontrer que toute trajectoire du système d’énergie $h \in ]0,1[$ est périodique. Comment sont définis les points $a, b$ ? 31. IV.C – Pour une condition initiale $X_0 \in P_+$ d’énergie $h > 1$, préciser les points $a, b$ et leur type (cf. II.E). Démontrer qu’alors on a $\alpha = -\infty, \beta = +\infty$, tracer qualitativement la trajectoire en indiquant le sens du parcours. 32. IV.D – On prend ici une condition initiale $X_0 = (0, y_0)$ d’énergie $h=1$. Que vaut $y_0 > 0$ ? 33. IV.D.1) Préciser les points $a, b$ et utiliser II.E. Quelle est le type des points $a, b$ ? Que valent ici $\alpha, \beta$ ? Interpréter le résultat par rapport au pendule.} 34. IV.D.2) Calculer explicitement la fonction $\tau(x)$, en déduire $x(t)$. 35. IV.D.3) Démontrer que la trajectoire $X(t)$ et sa symétrique $Z(t)$ séparent les trajectoires périodiques des trajectoires non périodiques. 36. IV.D.4) Représenter qualitativement les trois familles de trajectoires dans le plan $P$, avec les sens de parcours. 37. IV.E.1) On perturbe le pendule, et la fonction $f$ devient ici $f(x) = -\cos(x) + \frac{1}{20}x^2$. Déterminer le nombre de points d’équilibre et leur stabilité. 38. IV.E.2) Démontrer que toutes les trajectoires sont ici du type II.E.1, à l’exception de celles passant par les équilibres instables. 39. IV.E.3) Établir un programme pour calculer la position du point d’équilibre $(e, 0)$ le plus proche à droite de $(0, 0)$.}FAQ
Le plan de phase, souvent noté P, représente graphiquement tous les états possibles d’un système à deux variables, typiquement la position x et la vitesse y (ou impulsion). C’est un outil puissant qui permet de visualiser directement le comportement qualitatif des solutions d’un système différentiel, indépendamment du temps. Tu y vois apparaître des trajectoires fermées, des points d’équilibre, et des zones de stabilité ou d’instabilité. Pour réussir à l’épreuve Centrale PSI, il faut être à l’aise avec l’analyse de ces courbes et savoir en tirer des conclusions sur la physique du système étudié.
L’énergie conservée, notée ici F(X), exprime une constante de mouvement pour le système (comme l’énergie mécanique totale dans un oscillateur). Cela permet de ramener une équation différentielle d’ordre 2 à une équation planaire (en x et y) et d’obtenir une équation implicite des trajectoires. Saisir ce principe te donne un regard plus global sur le comportement du système, en t’évitant parfois des intégrations fastidieuses. Les courbes d’énergie constante sont souvent la clé pour comprendre la nature des solutions (oscillations, trajectoires libres, etc.).
Un point d’équilibre (ou un point fixe) est stable si, quand tu pars d’une condition initiale proche, la trajectoire reste à proximité de ce point pour tous les temps. En pratique, il faut linéariser le système autour de ce point et regarder la nature des valeurs propres (ou du développement limité du potentiel). S’ils sont tous à partie réelle négative, c’est stable. C’est fondamental dans les problèmes type oscillateur non linéaire ou pendule, très fréquents dans les concours de la filière PSI.
Une trajectoire périodique décrit un mouvement qui revient exactement à son point de départ après un certain temps (la période). Graphiquement, ça forme une courbe fermée dans le plan de phase. Une trajectoire fermée est donc toujours périodique dans ce contexte. À l’inverse, certaines solutions, dites non périodiques, correspondent à des trajectoires ouvertes (par exemple avec énergie suffisante pour « sortir » du potentiel, comme dans le cas du pendule en rotation complète). Savoir caractériser ces cas est essentiel pour gagner des points sur les questions de classification des trajectoires.
Les changements de variable permettent de simplifier la résolution des équations différentielles, notamment lorsqu’on a une énergie conservée. Par exemple, en utilisant τ(x), on ramène une équation du second ordre à une équation en x (ou t), ce qui rend les intégrations possibles et permet, avec un peu de méthode, d’exploiter les propriétés des fonctions inverses et des difféomorphismes. Cela illustre à quel point il est crucial de maîtriser l’analyse et les techniques de transformation pour gagner du temps et structurer sa copie ! Découvre tous les corrigés de ce type de manip en débloquant les solutions sur Prépa Booster.
Pour un système non linéaire, tu dois en général exprimer la période T à l’aide d’une intégrale du type T = ∫… qui dépend de l’énergie h et du potentiel f(x). Contrairement au cas linéaire, il n’y a souvent pas de formule explicite simple, mais les intégrales permettent une étude qualitative ou numérique de la période. L’analyse du développement limité autour d’un point d’équilibre te donne aussi la période près de ce point. Tout ceci fait partie des fondamentaux à maîtriser pour l’épreuve.
Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l’existence et l’unicité de la solution d’une équation différentielle, sous réserve que l’équation soit bien posée (continuité et lipschitzianité). Cela t’interdit d’avoir deux trajectoires distinctes passant par le même point au même instant. C’est un des piliers de la rigueur en analyse des systèmes dynamiques, et il joue un rôle important pour prouver que les solutions que tu trouves sont bien toutes les solutions.
Le modèle du pendule simple est emblématique car il rassemble tous les ingrédients essentiels : non-linéarité, énergie conservée, points d’équilibre stables/instables, périodes, bifurcations. Maîtriser ce classique te donne une méthode transférable à de nombreux autres systèmes physiques ou mathématiques, que ce soit en mécanique, en électrocinétique ou en analyse de stabilité. C’est aussi une excellente porte d’entrée pour anticiper la structure des exercices du concours Centrale PSI.
Les changements de référentiel (ou de variable) permettent de simplifier considérablement les équations et d’obtenir des représentations graphiques plus lisibles. La capacité à lire, tracer et interpréter les courbes dans le plan de phase, à identifier le sens de parcours ou la nature des points caractéristiques fait toute la différence entre une copie correcte et une copie excellente. Si tu veux accéder à des corrigés détaillés et progresser rapidement, n’hésite pas à débloquer les corrigés écrits et les exercices sur Prépa Booster.