Questions du sujet
1. I.A – Soit $(I, f), (I, g) \in \epsilon$. Montrer que $f'(0) = g'(0)$. 2. I.B – Soit $f$ une application de $[0,1]$ dans lui-même telle que $( [0,1], f)$ appartient à $\epsilon$. 3. I.B.1) Montrer que $f’ (0) \in ]0,1[$. 4. I.B.2) Montrer que la suite de fonctions $(f^n)_{n \geq 0}$ converge simplement vers $0$ sur $[0,1]$. 5. I.B.3) Montrer que cette convergence est uniforme.} 6. I.C – Soit $(a_n)_{n \geq 0}$ une suite de réels strictement positifs. On suppose que la série de terme général $(a_n)$ converge absolument et on pose, si $n$ : \[ P_n = \prod_{k=0}^n u_k \] En considérant la série de terme général $\ln \frac{P_{n+1}}{P_n}$, montrer que la suite $(P_n)$ converge vers un réel strictement positif. 7. I.D – Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(\varphi_n)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}_+^*$. On suppose que la série de fonctions de terme général $(\varphi_n)$ converge normalement sur $I$. On pose, si $n$: \[ Q_n = \prod_{k=0}^n \varphi_k \] Montrer que la suite de fonctions $(Q_n)_{n \geq 0}$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$.} 8. II.A – Si $x \in [0, 1]$, calculer $h_\lambda(f(x))$. 9. II.B.1) Montrer qu’il existe $a \in ]0,1]$ tel que $f([0,a]) \subset [0,a]$ et $f(x) \leq (\lambda + \varepsilon)x$ pour tout $x \in [0,a]$. 10. II.B.2) Montrer qu’il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que \[ |f(x) – \lambda x| \leq Cx^2 \] pour tout $x \in [0,1]$. 11. II.C.1) Montrer qu’il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que \[ f^n(x) \in [0,a] \] pour tout $n \geq n_0$ et tout $x \in [0,1]$. 12. II.C.2) Montrer qu’il existe $C \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $n \geq n_0$, $x \in [0,1]$ : \[ |u_{n+1}(x) – u_n(x)| \leq C\lambda^n \] où $u_n = f^n$.} 13. II.C.3) Pour $n \geq n_0$ et $x \in [0,1]$, majorer $|u_{n+1}(x) – u_n(x)|$ et prouver que la suite de fonctions $(u_n)_{n \geq 0}$ converge uniformément sur $[0,1]$. Sa limite sera notée $u$. 14. II.D.1) Montrer que la série de fonctions de terme général $\frac{u_{n+1}'(x)}{u_n'(x)} – 1$ converge normalement sur $[0,1]$. 15. II.D.2) En déduire que $u$ est un $C^1$-difféomorphisme de $[0,1]$ sur son image. 16. II.E – Conclure que $( [0,1], f)$ et $( [0,1], g)$ sont conjugués.} 17. III.A.1) Pour $q \in \mathbb{N}^*$, soit la fonction $\theta_q$ définie sur $[0,1]$ par : \[ \forall x \in [0,1],~ \theta_q(x) = x + x^{q+1} \] Montrer que $( [0,1], \theta_q)$ est dans $\epsilon_1^*$. Préciser $\nu(\theta_q)$. 18. III.A.2) Dans la suite de III.A, on considère une fonction $f$ de $[0,1]$ dans lui-même telle que $( [0,1], f) $ appartient à $\epsilon_1^*$ et on pose $q = \nu(f)$ puis $a = \frac{f^{(q+1)}(0)}{(q+1)!}$. 19. III.A.2.a) Vérifier que $a$ est strictement positif. 20. III.A.2.b) Si $g$ appartient à $\epsilon_1^*$ et est conjugué à $f$, vérifier que $g$ est aussi dans $\epsilon_1^*$ avec $\nu(g) = q$. 21. III.A.3.a) Montrer qu’il existe $r, r’ > 0$ et $h \in C^1([0, r], [0, r’])$ tels que $h$ induise un $C^1$-difféomorphisme de $[0, r]$ sur $[0, r’]$ dont l’inverse $h^{-1}$ est de classe $C^1$.} 22. III.A.3.b) Établir : quand $y \rightarrow 0$, $h^{-1}(y) = y – \beta y^k + o(y^k)$. 23. III.A.3.c) Déterminer les développements limités à l’ordre $2q+1$ en $0$ de $h \circ f \circ h^{-1}$ puis de $g$. 24. III.A.4) De ce qui précède déduire l’existence d’un réel $E$ et d’un couple $( [0,1], g)$ de $\epsilon_1^*$ conjugué à $( [0,1], f)$ et tels que : \[ \text{quand}~ y \rightarrow 0,~ g(y) = y + y^{q+1} + \frac{E}{q} y^{2q+1} + o(y^{2q+1}) \] 25. III.B.1.a) Identifier $T_q = \tau_q \circ \theta_q \circ \tau_q^{-1}$. 26. III.B.1.b) Quelles propriétés de $G$ déduit-on des propriétés ii) et iii) du début de l’énoncé ?} 27. III.B.1.c) Déterminer un nombre réel $R$ tel que : \[ x \rightarrow +\infty,~ G(x) = x + \frac{1}{q} + O\left(\frac{1}{x^{1+1/q}}\right) \] 28. III.B.2.a) Montrer qu’il existe un entier naturel $n_0$ tel que : \[ n \geq n_0,~ \forall x \in [1+1/q, +\infty[,~ G^n(x) \geq x + \frac{n}{2q} \] 29. III.B.2.b) Montrer qu’il existe $C>0$ tel que : \[ n \geq n_0,~ \forall x \in [1+1/q, +\infty[,~ |u_{n+1}(x) – u_n(x)| \leq \frac{C}{n} \] où $u_n(x) = G^n(x) – nR$. 30. III.B.2.c) Pour tous entier naturel strictement positif $n$ et réel supérieur ou égal à $1$, on pose $v_n(x) = u_n(x) – Rn\ln n$, où $R$ est la constante définie au III.B.1.c). Démontrer, en procédant comme au II.C.3), que la suite de fonctions $(v_n)_{n \geq 0}$ converge vers une fonction $v$ et que cette convergence est uniforme sur tout segment inclus dans $[1+1/q, +\infty[$. 31. III.B.2.d) Si $x \geq 1$, vérifier que $\lim_{n \to +\infty} v_n(x) = +\infty$.} 32. III.B.3.a) Montrer que $v(Gx) = v(x) + 1$. 33. III.B.3.b) Montrer que $v \in C^1([1+1/q, +\infty[)$ et, en procédant comme en II.D.1), prouver que $v$ est un $C^1$-difféomorphisme de $[1+1/q, +\infty[$ sur son image. 34. III.B.4.a) Montrer que $v'(x) \rightarrow 1$ quand $x \rightarrow +\infty$. 35. III.B.4.b) Conclure, si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans lui-même telle que $( [0,1], f)$ soit dans $\epsilon_1^*$ et $\nu(f) = q$, que $( [0,1], f)$ est conjugué à $( [0,1], \theta_q)$.} 36. III.C.1.a) Utiliser ce qui précède pour montrer que $(w_n)$ admet un équivalent du type $a/n^\alpha$ avec $a$ et $\alpha$ réels. Déterminer $a$ et $\alpha$. 37. III.C.1.b) Montrer qu’il existe des nombres réels $b$ et $c$ tels que : \[ w_n = \frac{a}{n^\alpha} + \frac{b}{n^{3\alpha}} + \frac{c \ln n}{n^{5\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{5\alpha}}\right) \] 38. III.C.2) Établir un programme permettant de calculer $(w_n)$ (on utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel).}FAQ
La convergence simple d’une suite de fonctions, c’est lorsque pour chaque point de l’ensemble de définition, la suite des valeurs converge simplement. La convergence est dite uniforme si la vitesse de convergence ne dépend pas du point : il existe un rang à partir duquel toutes les fonctions de la suite sont aussi proches que voulu de la limite, uniformément sur tout l’ensemble. Cette distinction est essentielle dans de nombreux sujets de concours, car elle influence la possibilité d’intervertir les limites, l’intégration ou la dérivation terme à terme.
La notion de conjugaison de fonctions, en particulier sur des intervalles de la forme [0,1], est fondamentale pour comparer et classer les dynamiques d’applications. Deux applications conjuguées partagent en effet des propriétés dynamiques essentielles, ce qui permet de réduire l’étude de l’une à l’étude de l’autre via un changement de variable bijectif. Ce concept intervient souvent dans les sujets de concours pour mettre en avant la structure profonde des suites d’itérées ou des systèmes dynamiques.
Dans ce sujet, les séries et produits infinis interviennent pour étudier le comportement asymptotique de suites, notamment via les produits du type \( \prod_{k=0}^n u_k \) ou les séries associées. Leur convergence (absolue, normale) et l’analyse des termes généraux permettent de tracer les grandes lignes du comportement global des suites et des fonctions sur lesquelles on travaille. Ces outils sont incontournables dans tout parcours de préparation aux concours pour maîtriser la compréhension fine des objets analysés.
Une série de fonctions converge normalement sur un ensemble si la série des normes (souvent la norme de la convergence uniforme) est convergente. Cette propriété assure la convergence uniforme de la série de fonctions, ce qui permet de dériver et intégrer terme à terme. C’est une notion clé en analyse, souvent exploitée dans les sujets type Centrale pour justifier des passages à la limite parfaitement rigoureux et maîtrisés.
Les développements limités permettent d’approcher finement une fonction au voisinage d’un point, ici en zéro, à un ordre précis (souvent jusqu’à l’ordre 2q+1 dans ce sujet). Savoir les manipuler, les justifier et les écrire correctement est crucial pour relier l’asymptotique local à la dynamique globale d’une fonction, en particulier quand il s’agit de conjuguer des applications ou d’identifier la dynamique complète d’une suite d’itérées.
Un $C^1$-difféomorphisme, c’est une application bijective, de classe $C^1$ avec une réciproque également de classe $C^1$. Ce concept assure de pouvoir effectuer des changements de variable élégants et rigoureux, et garantit la préservation de certaines propriétés dynamiques ou géométriques lors de conjugaisons de fonctions. Les questions de la filière PSI évaluent fréquemment cette maîtrise fine du $C^1$ et de ses implications.
L’itération d’une fonction, c’est-à-dire l’application répétée de la fonction à elle-même, permet d’observer comment évolue un point au fil du temps sous l’action de la fonction. Cela conduit à l’étude de suites de fonctions ou d’orbites, notions centrales en systèmes dynamiques et en analyse des suites récurrentes. Comprendre la stabilité, la convergence ou la vitesse de convergence de ces suites est fondamental pour l’épreuve Centrale PSI.
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