Questions du sujet
1. I.A.1) Écrire la matrice de $T_n$ dans la base $(1,X,\ldots,X^n)$ de $\mathbb{C}_n[X]$. 2. I.A.2) Vérifier que $M_n$ est inversible ; expliciter $M_n^{-1}$. 3. I.B.1) Montrer que $(H_i)_{0 \leq i \leq n}$ est une base de $\mathbb{C}_n[X]$. 4. I.B.2) Si $j \in \mathbb{Z}$ et $i \in \mathbb{N}^*$, donner une expression simple de $H_i(j)$ montrant que $H_i(j) \in \mathbb{Z}$. On distinguera les trois cas : $j < 0$, $0 \leq j \leq i-1$, $j \geq i$. 5. I.C.1) Vérifier l’égalité suivante : \[ \begin{pmatrix} P(0)\\ P(1)\\ \vdots\\ P(n) \end{pmatrix} = M_n^t \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} \] où $M_n^t$ est la transposée de la matrice $M_n$.} 6. I.C.2) Établir : \[ \forall i \in \{0,\ldots,n\} \qquad a_i = \sum_{j=0}^i (-1)^{i-j} \binom{i}{j} P(j) \] Si $i \geq n+1$, que vaut $a_i$ ? 7. I.C.3) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item[a)] $\forall i \in \{0,\ldots,n\},\, P(i) \in \mathbb{Z}$ \item[b)] $\forall i \in \{0,\ldots,n\},\, a_i \in \mathbb{Z}$ \item[c)] $P \in \mathbb{Z}[X]$ \end{enumerate} En particulier les polynômes $P \in \mathbb{C}[X]$ tels que $P(\mathbb{N}) \subset \mathbb{Z}$ sont les combinaisons linéaires à coefficients dans $\mathbb{Z}$ des polynômes de Hilbert. 8. I.D) Soit $(u_j)_{j\in\mathbb{N}}$ une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item[a)] il existe $P \in \mathbb{C}_n[X]$ tel que : $\forall j \in \mathbb{N},\, u_j = P(j)$ \item[b)] $\forall i \in \mathbb{N},\, i \geq n+1 \Longrightarrow \sum_{j=0}^i (-1)^{i-j} \binom{i}{j} u_j = 0$ \end{enumerate} 9. II.A.1) Si $p \in \mathbb{N}$, prouver : \[ a_p r^p = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-ipt} f(re^{it}) \, dt \] 10. II.A.2) Montrer : \[ f^{(p)}(\omega) = \frac{p!}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{f(re^{it})}{(re^{it}-\omega)^{p+1}} dt \] } 11. II.B.1) Justifier la définition de $M_f(r)=\max\{|f(z)| : z \in C_r\}$. 12. II.B.2) Montrer : $|f^{(p)}(\omega)| \leq \frac{p!}{(r-|\omega|)^p} M_f(r)$. 13. II.B.3) Montrer : $|f^{(p)}(\omega)| \leq \frac{p!}{r^p} M_f(r)$.\\ Indication : si $\omega \neq 0$, on pourra appliquer, avec justification, le résultat de II.B.2 à $f(z+\omega)$ puis faire tendre $|\omega|$ vers 0. 14. II.C.1) Si $|\omega|FAQ
Pour établir la matrice d’un endomorphisme (par exemple $T_n$ dans le sujet Centrale PSI 2003), il faut comprendre comment agit l’endomorphisme sur chaque vecteur de base, ici chaque $X^k$. Ensuite, tu exprimes $T_n(X^k)$ comme combinaison linéaire de la base $(1, X, \ldots, X^n)$. Les coefficients obtenus remplissent alors les colonnes de ta matrice. Ce procédé est fondamental pour tous les problèmes liés aux changements de base et aux applications linéaires en espace de polynômes. Découvre la méthode détaillée en débloquant le corrigé sur Prépa Booster !
Les polynômes de Hilbert sont une famille spéciale de polynômes dont les valeurs sur les entiers naturels sont elles-mêmes entières. Ils servent souvent de base pour caractériser tous les polynômes à coefficients complexes qui prennent des valeurs entières sur $\mathbb{N}$. Cette propriété est essentielle chaque fois que tu dois démontrer qu’un polynôme vérifie $P(\mathbb{N}) \subseteq \mathbb{Z}$, ce qui apparaît très régulièrement dans les sujets de concours. Les exercices sur la base de Hilbert aiguisent tes réflexes d’algèbre linéaire et d’arithmétique ! Pour voir comment bien utiliser cette base dans les exercices, pense à débloquer les corrigés détaillés.
La majoration des dérivées grâce à la formule de Cauchy est un incontournable de l’analyse complexe. Pour une fonction holomorphe sur un disque, cette formule te permet d’exprimer la dérivée d’ordre $p$ en un point $\omega$ comme une intégrale sur le cercle de rayon $r$ centré en ce point, puis d’en déduire que $|f^{(p)}(\omega)|$ est bornée par $p!$ fois la borne maximale de $|f|$ sur le cercle, divisée par la distance à la puissance $p$. Cette estimation est cruciale pour évaluer la croissance des séries entières et les propriétés analytiques des fonctions rencontrées aux concours. Tu veux des exemples détaillés, étape par étape ? Prépa Booster te propose des corrigés ultra pédagogiques.
Ces bases te permettent de simplifier l’expression des polynômes sachant que tu connais leurs valeurs sur certains entiers, ou tu veux qu’ils prennent des valeurs entières. La base de Lagrange est idéale pour l’interpolation, tandis que la base de Hilbert offre un cadre naturel si tu veux manipuler des polynômes sur $\mathbb{N}$ qui prennent des valeurs entières. Ces outils sont incontournables pour traiter les questions d’arithmétique polynomiale, d’interpolation ou de caractérisation des suites polynomiales qu’on retrouve très souvent dans les sujets Centrale ou Mines. Pour expérimenter ça sur des problèmes concrets, découvre tous les exercices corrigés sur Prépa Booster.
Le rayon de convergence d’une série entière $\sum a_n z^n$ se calcule en général par le critère de Cauchy-Hadamard ou le critère de d’Alembert, et délimite la région où la série définit une fonction holomorphe. Dans les sujets de concours, savoir estimer ou exploiter ce rayon de convergence permet de caractériser la régularité et la croissance des solutions, d’établir des prolongements analytiques ou d’étudier la nullité d’une fonction. Tu maîtriseras ce point fondamental avec les corrigés interactifs et le dashboard de Prépa Booster, adaptés à ton parcours.
Une suite $(u_j)$ sur $\mathbb{N}$ est dite polynomiale d’ordre $n$ s’il existe un polynôme $P$ de degré au plus $n$ tel que $u_j = P(j)$ pour tout $j$. La caractérisation classique repose sur l’opérateur de différence finie d’ordre $n+1$, qui doit donner 0 à partir d’un certain rang, une propriété souvent mise en avant dans les sujets d’arithmétique polynomiale et d’algèbre linéaire. Ces idées apparaissent à plusieurs reprises dans les épreuves de concours comme le Centrale PSI. D’autres subtilités sont à explorer dans les corrigés experts sur Prépa Booster !
Les sujets de mathématiques du concours Centrale en PSI comportent généralement plusieurs grands problèmes qui mettent en jeu l’algèbre, l’analyse, l’arithmétique et parfois la géométrie, souvent à travers des questions progressives de difficultés variées. On y trouve des manipulations matricielles, des cas concrets d’analyse complexe (séries entières, formules intégrales, estimation de dérivées), et beaucoup de démonstrations. Pour t’entraîner sur l’ensemble des types d’exercices et suivre tes progrès, tu trouveras sur Prépa Booster des corrigés de tous les sujets récents et un dashboard de révisions personnalisé.