Questions du sujet
1. I.A – Montrer qu’une droite $F$ engendrée par un vecteur $u$ est stable par $f$ si et seulement si $u$ est un vecteur propre de $f$. 2. I.B.1) Montrer qu’il existe au moins deux sous-espaces de $E$ stables par $f$ et donner un exemple d’un endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$ qui n’admet que deux sous-espaces stables. 3. I.B.2) Montrer que si $E$ est de dimension finie $n \geq 2$ et si $f$ est non nul et non injectif, alors il existe au moins trois sous-espaces de $E$ stables par $f$ et au moins quatre lorsque $n$ est impair. Donner un exemple d’endomorphisme de $\mathbb{R}^{2}$ qui n’admet que trois sous-espaces stables. 4. I.C.1) Montrer que tout sous-espace engendré par une famille de vecteurs propres de $f$ est stable par $f$. Préciser l’endomorphisme induit par $f$ sur tout sous-espace propre de $f$. 5. I.C.2) Montrer que si $f$ admet un sous-espace propre de dimension au moins égale à $2$ alors il existe une infinité de droites de $E$ stables par $f$.} 6. I.C.3) Que dire de $f$ si tous les sous-espaces de $E$ sont stables par $f$ ? 7. I.D.1) Montrer que si $f$ est diagonalisable alors tout sous-espace de $E$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $f$. On pourra partir d’une base de $F$ et d’une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $f$. 8. I.D.2) Montrer que si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ et si tout sous-espace de $E$ stable par $f$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $f$, alors $f$ est diagonalisable. Qu’en est-il si $\mathbb{K} = \mathbb{R}$~? 9. II.A.1) Montrer que tout sous-espace $F$ de $E$ tel que $F = \bigoplus_{i=1}^p (F \cap E_i)$ est stable par $f$. 10. II.A.2) Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$ et $x$ un vecteur non nul de $F$. Justifier l’existence et l’unicité de $(x_i)_{1 \leq i \leq p}$ dans $E_1 \times \cdots \times E_p$ tel que $x = \sum_{i=1}^{p} x_i$.} 11. II.A.3) Si on note $H_x = \{ i \in [[1, p]] ~|~ x_i \neq 0 \}$, $H_x$ est non vide et, quitte à renuméroter les valeurs propres (et les sous-espaces propres), on peut supposer que $H_x = [[1, r]]$ avec $1 \leq r \leq p$. Ainsi on a $x = \sum_{i=1}^r x_i$ avec $x_i \in E_i \setminus \{0\}$ pour tout $i$ de $[[1, r]]$. On note $V_x = \text{Vect}(x_1, \ldots, x_r)$. Montrer que $\mathcal{B}_x = (x_1, \ldots, x_r)$ est une base de $V_x$. 12. II.A.4) Montrer que pour tout $j$ de $[[1, r]]$, $f^{j-1}(x)$ appartient à $V_x$ et donner la matrice de la famille $(f^{j-1}(x))_{1\leq j \leq r}$ dans la base $\mathcal{B}_x$. 13. II.A.5) Montrer que $(f^{j-1}(x))_{1\leq j\leq r}$ est une base de $V_x$. 14. II.A.6) En déduire que pour tout $i$ de $[[1, p]]$, $x_i$ appartient à $F$ et conclure. 15. II.B.1) Préciser la dimension de $E_i$ pour tout $i$ dans $[[1, p]]$.} 16. II.B.2) Combien y a-t-il de droites de $E$ stables par $f$ ? 17. II.B.3) Si $n \geq 3$ et $k \in [[2, n-1]]$, combien y a-t-il de sous-espaces de $E$ de dimension $k$ et stables par $f$ ? 18. II.B.4) Combien y a-t-il de sous-espaces de $E$ stables par $f$ dans ce cas ? Les donner tous. 19. III.A.1) Vérifier que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $\mathbb{K}_n[X]$ est stable par $D$ et donner la matrice $A_n$ de l’endomorphisme induit par $D$ sur $\mathbb{K}_n[X]$ dans la base canonique de $\mathbb{K}_n[X]$. 20. III.A.2) Soit $F$ un sous-espace de $\mathbb{K}[X]$, de dimension finie non nulle, stable par $D$. \begin{itemize} \item[a)] Justifier l’existence d’un entier naturel $n$ et d’un polynôme $R$ de degré $n$ tels que $R \in F$ et $F \subset \mathbb{K}_n[X]$. \item[b)] Montrer que la famille $(D^k(R))_{0 \leq k \leq n}$ est une famille libre de $F$. \item[c)] En déduire que $F = \mathbb{K}_n[X]$. \end{itemize}} 21. III.A.3) Donner tous les sous-espaces de $\mathbb{K}[X]$ stables par $D$. 22. III.B.1) Déterminer l’ensemble des vecteurs $u$ de $E$ tels que la famille $\mathcal{B}_{u,n} = (f^{n-k}(u))_{1\leq k \leq n}$ soit une base de $E$. 23. III.B.2) Dans le cas où $\mathcal{B}_{u,n}$ est une base de $E$, quelle est la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}_{u,n}$~? 24. III.B.3) Déterminer une base de $E$ telle que la matrice de $f$ dans cette base soit $A_{n-1}$. 25. III.B.4) Donner tous les sous-espaces de $E$ stables par $f$. Combien y en a-t-il ? Donner une relation simple entre ces sous-espaces stables et les noyaux $\ker(f^i)$ pour $i$ dans $[[0, n]]$.} 26. IV.A – Si on note $X_k = \begin{pmatrix} \delta_{1,k} \\ \vdots \\ \delta_{n,k} \end{pmatrix}$ où $\delta_{i,k} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = k \\ 0 & \text{si } i \neq k \end{cases}$ et $\mathcal{B}_n = (X_1, \ldots, X_n)$ la base canonique de $E$, quelle est la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}_n$~? 27. IV.B – Montrer que si $n$ est impair, alors $f$ admet au moins une valeur propre réelle. 28. IV.C.1) Vérifier que $X$ et $Y$ sont dans $E$ et montrer que la famille $(X, Y)$ est libre dans $E$. 29. IV.C.2) Montrer que le plan vectoriel $F$ engendré par $X$ et $Y$ est stable par $f$ et donner la matrice de $f_F$ dans la base $(X, Y)$. 30. IV.D – Que penser de l’affirmation : « tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie admet au moins une droite ou un plan stable » ?} 31. IV.E – Existe-t-il un endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ n’admettant ni droite ni plan stable ? 32. IV.F.1) Construire une matrice $P$ inversible et une matrice $T = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & 0 \\ -\beta & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix}$ avec $(\alpha, \beta, \gamma) \in (\mathbb{R}^*)^{3}$ telles que $P^{-1}AP = T$ et déterminer un plan $F$ et une droite $G$ stables par l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associé à $A$ et supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$. 33. IV.F.2) Déterminer l’unique solution du problème de Cauchy $\mathcal{P}_U : \begin{cases} X’ = AX \\ X(0) = U \end{cases}$ lorsque $U$ appartient à $G$. 34. IV.F.3) Pour tout $\sigma = (a, b) \in \mathbb{R}^2$, on considère le problème de Cauchy $\mathcal{C}_\sigma$~: \[ \begin{cases} x’ = -x + 2y \\ y’ = -2x – y \\ x(0) = a,~ y(0) = b \end{cases} \] et $\varphi=(x, y)$ dans $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2)$ l’unique solution de $\mathcal{C}_\sigma$. Préciser $x'(0)$ et $y'(0)$ ; montrer que $x$ et $y$ sont solutions d’une même équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants et ainsi en déduire $\varphi$ en fonction de $a$ et de $b$. 35. IV.F.4) Déterminer les trajectoires rectilignes et les trajectoires planes du système différentiel $X’ = AX$.} 36. V.A.1) Montrer qu’il existe un unique produit scalaire sur $E$ pour lequel $\mathcal{B}$ est orthonormée. Ce produit scalaire est noté de manière usuelle par $\langle u, v \rangle$ ou plus simplement $u \cdot v$ pour tout $(u, v)$ de $E^2$. 37. V.A.2) Si $u$ et $v$ sont représentés par les matrices colonnes respectives $U$ et $V$ dans la base $\mathcal{B}$, quelle relation simple existe-t-il entre $u \cdot v$ et le produit matriciel ${}^tU V$ (où ${}^tU$ est la transposée de $U$)~? 38. V.B – Soit $H$ un hyperplan de $E$ et $D$ son supplémentaire orthogonal. Si $(u)$ est une base de $D$ et si $U$ est la matrice colonne de $u$ dans $\mathcal{B}$, montrer que $H$ est stable par $f$ si et seulement si $U$ est un vecteur propre de la transposée de $A$. 39. V.C – Déterminer ainsi le(s) plan(s) stable(s) de $f$ lorsque $n = 3$ et $A$ est la matrice considérée en IV.F. 40. V.D.1) Montrer que si $f$ est diagonalisable alors il existe $n$ hyperplans de $E$, $(H_i)_{1\leq i\leq n}$, tous stables par $f$ tels que $\bigcap_{i=1}^n H_i = \{0\}$.} 41. V.D.2) Un endomorphisme $f$ de $E$ pour lequel il existe $n$ hyperplans de $E$ stables par $f$ et d’intersection réduite au vecteur nul est-il nécessairement diagonalisable~?}FAQ
C’est une conséquence directe de la définition des vecteurs propres et des sous-espaces stables. Si u est un vecteur propre de f, alors f(u) = λu, donc la droite engendrée par u est stable par f. Réciproquement, si la droite est stable, alors f(u) doit être colinéaire à u, ce qui signifie que u est un vecteur propre.
Prenons l’exemple d’une homothétie non triviale : f(x, y) = (λx, λy) avec λ ≠ 0, 1. Les seuls sous-espaces stables sont {0} et ℝ² lui-même. Si tu veux approfondir ce type d’exemples, n’hésite pas à consulter les corrigés détaillés sur Prépa Booster !
Si f est non injectif, alors Ker(f) est un sous-espace stable non trivial. En plus de {0} et E, cela fait déjà trois sous-espaces stables. Si la dimension est impaire, on peut en trouver un quatrième en utilisant des arguments de dimension. Pour voir des exemples concrets, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Un sous-espace engendré par des vecteurs propres est un espace vectoriel formé de toutes les combinaisons linéaires de ces vecteurs propres. Il est stable par f car f appliqué à une combinaison linéaire de vecteurs propres donne une autre combinaison linéaire de ces mêmes vecteurs (avec des coefficients modifiés par les valeurs propres).
Si f est diagonalisable, on peut décomposer E en somme directe de sous-espaces propres. Pour tout sous-espace F, on peut construire un supplémentaire stable en complétant une base de F avec des vecteurs propres indépendants. C’est une propriété très utile en algèbre linéaire !
Cela signifie que f est une homothétie, c’est-à-dire qu’il existe un scalaire λ tel que f(u) = λu pour tout u dans E. En effet, seuls les multiples de l’identité préservent tous les sous-espaces.
Si F est la somme directe de ses intersections avec les sous-espaces propres E_i, alors pour tout x dans F, f(x) reste dans F car chaque composante x_i de x dans E_i est transformée en λ_i x_i, qui reste dans E_i. C’est une conséquence directe de la stabilité des E_i.
Les sous-espaces ℝ_n[X] (polynômes de degré ≤ n) sont stables par D car la dérivée d’un polynôme de degré n est un polynôme de degré ≤ n-1. C’est un exemple classique d’endomorphisme nilpotent en dimension infinie.
Si tu as un vecteur u tel que la famille (u, f(u), …, f^{n-1}(u)) forme une base de E, alors la matrice de f dans cette base est une matrice compagnon. C’est particulièrement utile pour les endomorphismes cycliques !
C’est une conséquence du théorème de décomposition des endomorphismes en dimension 3. Soit f admet une valeur propre réelle (et donc une droite stable), soit son polynôme caractéristique a une racine complexe et on peut trouver un plan stable associé à la partie réelle et imaginaire.
Pour un endomorphisme nilpotent, les sous-espaces stables sont exactement les noyaux itérés ker(f^k) pour k allant de 0 à n (où n est l’indice de nilpotence). C’est une propriété fondamentale des endomorphismes nilpotents.
Si tu cherches un hyperplan stable, tu peux considérer son supplémentaire orthogonal qui est une droite. Si cette droite est engendrée par un vecteur propre de la transposée de A, alors l’hyperplan correspondant est stable par f. C’est une astuce très utile en algèbre linéaire !